1、4.7 定积分的应用,一、 微元法,二、 平面图形的面积,三、 旋转体的体积,复习: 1、定积分的概念,2、微积分基本公式,3、定积分的计算,曲边梯形面积,变速直线运动路程,极限,和式,微积分基本公式,定积分的计算,1.学习目标:用定积分表示可以无限累加的量,例如:平面图形的面积,旋转体的体积;变力做功,液体的压力等,2.思想方法:微元法,一、 微元法,求曲边梯形面积的四步骤 ：,（1）分割:把区间a，b分成个n小区间；,（2）近似代替：,（3）求和：,（4）取极限：,只与积分区间和被积函数有关,1.积分区间 -,关键:,2.积分表达式 -,任意小区间,微元法的步骤：,1、确定积分变量，并求出
2、相应的积分区间,2、在区间 上任取一小区间 ，并,在该小区间上找出所求量 的近似值,3、写出所求量 的积分表达式 ，,然后计算它的值.,二、 平面图形的面积,例1. 计算两条抛物线,在第一象限,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,计算由区间a, b上的两条连续曲线 以及两条直线x= a与x= b所围成的平面图形的面积。,由微元法，取x为积分变量， 其变化范围为区间a, b ，任意一个小区间x, x+dx上，面积 近似值,计算抛物线,和直线,所围图形的面积 .,学生练习:,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,类似地可得，由区间c,d上的两条连续曲线与 ，（ 当 ）以及两直线 与 所围成的平面图形的面积为,计算抛物线,和直线,所围图形的面积 .,学生练习:,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,旋转体的体积为,取积分变量为 x,例3. 求由曲线 ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形,解,绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.,由旋转体的体积公式,得,如图,选x为积分变量,小结:,1. 微元法,2. 平面图形的面积:,3. 旋转体的体积:,
