1、第二十八章 锐角三角函数1 锐角三角函数定义一、填空题1如图所示，B、B是MAN 的 AN 边上的任意两点，BCAM 于 C 点，BCAM 于 C点，则BAC _，从而 ，又可AB)(得 _，即在 Rt ABC 中(C90)，当A 确定时，它的_与A_的比是一个_值； _，即在 Rt ABC 中(C90)，当A 确定时，它的_与BC_的比也是一个_； _，即在 Rt ABC 中(C90)，当A 确定时，它的_与A_的比还是一个_第 1 题图2如图所示，在 RtABC 中，C90第 2 题图 _， _；对)(sinA对)(sinB _， _；coco _， _对A)(tan )(tan对3因为对
2、于锐角 的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有_与它_，所以 sin、cos 、tan 都是_又称为 的_4在 RtABC 中，C90，若 a9，b12，则 c _，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_5在 RtABC 中，C90，若 a1，b3，则 c _，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_6在 RtABC 中，B90，若 a16，c30，则 b_，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_，cosC_，tanC_7在 RtABC 中，C90，若A30，则B _，sinA_，cosA_，tanA_，si
3、nB_，cosB_，tanB_二、解答题8已知：如图，RtTNM 中，TMN90，MRTN 于 R 点，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR9已知 RtABC 中， 求 AC、AB 和 cosB,12,43tan,90BCAC综合、运用、诊断10已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tan B11已知：如图，O 的半径 OA16cm，OCAB 于 C 点， 43sinAO求：AB 及 OC 的长12已知：O 中，OCAB 于 C 点，AB16cm， 53sinAOC(1)求O 的半径 OA 的长及
4、弦心距 OC；(2)求 cosAOC 及 tanAOC13已知：如图，ABC 中，AC 12cm，AB16cm ， 31sinA(1)求 AB 边上的高 CD；(2)求ABC 的面积 S；(3)求 tanB14已知：如图，ABC 中，AB9，BC 6，ABC 的面积等于 9，求 sinB拓展、探究、思考15已知：如图，RtABC 中，C90，按要求填空：(1) ,sincaA _；(2) ,oscbb_，c_；(3) ,tanAa_，b_；(4) _， _；,23siBcosBtan(5) _， _；,5coinA(6) 3， _， _tassi16已知：如图，在直角坐标系 xOy 中，射线
5、OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0)，以原点 O 为圆心，OA 长为半径画弧，交 y 轴于 B 点，交 OM 于P 点，作 CAx 轴交 OM 于 C 点设XOM 求：P 点和 C 点的坐标(用 的三角函数表示)17已知：如图，ABC 中，B30，P 为 AB 边上一点，PDBC 于 D(1)当 BPPA21 时，求 sin1、cos 1、tan1；(2)当 BPPA12 时，求 sin1、cos 1、tan1测试 2 锐角三角函数学习要求1掌握特殊角(30，45， 60)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角2初步了解锐
6、角三角函数的一些性质课堂学习检测一、填空题1填表锐角 30 45 60sincostan二、解答题2求下列各式的值(1) o45cs230sin(2)tan30sin60sin30 (3)cos453tan30cos302sin60 2tan45(4) 45sin30cotan130si45co 2223求适合下列条件的锐角 (1) (2)21cos3tan(3) (4)2sin 3)16cos(4用计算器求三角函数值(精确到 0.001)(1)sin23_； (2)tan54534 0_5用计算器求锐角 (精确到 1)(1)若 cos0.6536，则 _；(2)若 tan(210317)1.
7、7515，则 _综合、运用、诊断6已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE 16cm， 132sinA求此菱形的周长7已知：如图，在ABC 中，BAC 120，AB10，AC 5求：sinACB 的值8已知：如图，RtABC 中，C90，BAC30，延长 CA 至 D 点，使ADAB求：(1)D 及DBC ；(2)tanD 及 tan DBC；(3)请用类似的方法，求 tan22.59已知：如图，RtABC 中，C90， ，作DAC30，AD3BCA交 CB 于 D 点，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD10已 知 ： 如 图 ABC 中 ，
8、D 为 BC 中 点 ， 且 BAD 90， ， 求 ：31tanBsin CAD、cos CAD、tanCAD拓展、探究、思考11已知：如图，AOB90，AOOB ，C 、D 是 上的两点，AODAOC，求证：(1)0sin AOCsinAOD1；(2)1cos AOC cosAOD0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_12已知：如图，CAAO，E、F 是 AC 上的两点，AOFAOE(1)求证：tanAOFtan AOE；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而_13已知：如图，RtABC 中，C90，求证：(1)sin2Acos 2A1；(2) c
9、osinta14化简： (其中 0 90)cosin2115(1)通过计算(可用计算器 )，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：sin30_2sin15cos15 ； sin36_2sin18cos18 ；sin45_2sin22.5cos22.5 ； sin60 _2sin30cos30；sin80_2sin40cos40 ； sin90_2sin45cos45 猜想：若 0 45，则 sin2_2sincos(2)已知：如图，ABC 中，AB AC1，BAC2 请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论16已知：如图，在ABC 中，ABAC ，ADBC 于 D，BEAC 于 E，交 AD
10、 于 H点在底边 BC 保持不变的情况下，当高 AD 变长或变短时，ABC 和HBC 的面积的积 SABC SHBC 的值是否随着变化 ?请说明你的理由测试 3 解直角三角形(一)学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型课堂学习检测一、填空题1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示) ：在 Rt ABC 中，C90，ACb，BC a，ABc ，第 1 题图三边之间的等量关系：_两锐角之间的关系：_边与角之间的关系：_； _；BAcosin BAsinco_； _ta1t tat1直角三角形中成比例的线段(如图所示) 第小题图在 Rt ABC 中，C90，
11、CDAB 于 DCD2_；AC 2_ ；BC2_；ACBC_直角三角形的主要线段(如图所示 )第小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_若 r 是 RtABC(C90) 的内切圆半径，则 r_ _直角三角形的面积公式在 Rt ABC 中，C90，SABC _(答案不唯一)2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_) 及已知一边和一个锐角(_和一个锐角或 _和一个锐角)3填写下表：已知条件 解法一条边和 斜边 c 和锐角 A B_，a_，b
12、_一个锐角 直角边 a 和锐角A B_，b_，c_两条直角边 a 和 b c_，由_求 A，B_两条边直角边 a 和斜边 c b_，由_求A ，B_二、解答题4在 RtABC 中，C90(1)已知：a35， ，求A、B，b；235c(2)已知： ， ，求A、B，c；32ab(3)已知： ， ，求 a、b；32sin6c(4)已知： 求 a、c；,92tanbB(5)已知：A60，ABC 的面积 求 a、b、c 及B,312S综合、运用、诊断5已知：如图，在半径为 R 的O 中，AOB2 ，OCAB 于 C 点(1)求弦 AB 的长及弦心距；(2)求O 的内接正 n 边形的边长 an及边心距 r
13、n6如图所示，图中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图中 AB、BC 两段)，其中CCBB3.2m结合图中所给的信息，求两段楼梯 AB 与 BC 的长度之和(结果保留到 0.1m)( 参考数据： sin300.50，cos300.87，sin350.57，cos350.82)7如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为 12的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为 C，求 AC 的长度(精确到 1cm)拓展、探究、思考8如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设
14、计高度是若干层，每层高均为 3m，冬天太阳光与水平面的夹角为 30(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离 BD 至少为多少米?( 保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离 BD21m ，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9王英同学从 A 地沿北偏西 60方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m到 C 地，此时王英同学离 A 地多少距离?10已知：如图，在高 2m，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)测试 4 解直角三角形(二)学习要
15、求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形课堂学习检测1已知：如图，ABC 中，A30，B60，AC10cm求 AB 及 BC 的长2已知：如图，RtABC 中，D 90，B 45，ACD60BC10cm求AD 的长3已知：如图，ABC 中，A30，B135，AC10cm求 AB 及 BC 的长4已知：如图，RtABC 中，A30，C90，BDC60，BC6cm求 AD的长综合、运用、诊断5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30，测得岸边点 D 的俯角为 45，又知河宽 CD 为 50m现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC，求山的高度及缆绳
16、AC 的长(答案可带根号)6已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里， )732.17已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC60，DAE45点 D 到地面的垂直距离 ，求点 B 到地面的垂直距离 BCm23E8已知：如图，小明准备测量学校旗杆 AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，
17、旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长 BC20m，斜坡坡面上的影长 CD8m，太阳光线 AD 与水平地面成 26角，斜坡 CD 与水平地面所成的锐角为 30，求旗杆 AB 的高度(精确到 1m)10已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根 2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为 2m问路灯高度为多少米?11已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地 A 出发，沿北偏东 60方向走了 500到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m，到达目的地
18、 C 点求m3(1)A、C 两地之间的距离；(2)确定目的地 C 在营地 A 的什么方向?拓展、探究、思考13已知：如图，在ABC 中，ABc，ACb，锐角A (1)BC 的长；(2)ABC 的面积15已知：如图，在 RtADC 中，D90，A ，CBD ，ABa用含 a 及、 的三角函数的式子表示 CD 的长16已知：ABC 中，A30，AC 10， ，求 AB 的长25BC测试 5 综合测试1计算(1) (2)45tan260tacos 60cos3stant45in0i2222已知：如图，ABC 中，ACB 90，CDAB 于 D，AB32，BC12求：sinACD 及 AD 的长4已知
19、：如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC6，BE2EC，DMAE 于 M 点求 DM 的长5已知：如图，四边形 ABCD 中，A45，C 90，ABD75，DBC30，AB2a求 BC 的长6已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 90，D60， AB3，5A求 BC 的长答案与提示第二十八章 锐角三角函数测试 11BAC，AB ，AC ，对边，斜边，固定；ABC ，邻边，斜边，固定值； ，对边，邻边，固定值C2A 的对边， B 的对边，,ca;cbA 的邻边， B 的邻边，baA 的对边， B 的邻边，,3唯一确定的值，对应， 的函数，锐角三角函数4 34,5,155 .3,10,01,6
20、8,7,5,78347 .3,21,2,10o8 37tanta,43coscs,47sinsi NTMRNTMRNTMR9 53o,20,16BAC10 .2tan,cs,5sinB11AB2AC 2AOsinAOC24cm， cm742ACO12 3tan,5cos)2(;m3,c40)1(OCA13(1)CD ACsinA4cm；(2) ;c321DBS(3) 42tanB14 31si15(1) (2);inA;cos,Ab(3) (4);ta,b ;321(5) (6);43,50,16P(cos ，sin )，C(1，tan )提示：作 PDx 轴于 D 点17(1) .31tan
21、,2cos,1sin(2) ,2t,7,7i提示：作 AEBC 于 E，设 AP2测试 21锐角 30 45 60sin 2123cos 31tan 31 32(1)0； (2) (3) (4);123;2543(1) 60 ；(2) 30 ；(3)22.5 ；(4)464(1)0.391；(2)1.4235(1)491111；(2)24 52446104cm提示：设 DE12xcm，则得 AD13xcm，AE5xcm利用 BE16cm列方程 8x16解得 x27 提示：作 BDCA 延长线于 D 点,218(1)D15 ，DBC 75；(2) (3);32tan,3tanBC.125.tan
22、9(1)15；(2) .3ta,46cos,46si BADADBA10 提示：作 DEBA，交 AC 于 E 点，或延长 AD 至 F，使 DF23,1,3AD，连结 CF11提示：作 CEOA 于 E，作 DFOA 于 F (3)增大， (4)减小12(2)增大13提示：利用锐角三角函数定义证14原式 cosin2cossin2)(|csi|).450(sino,9i 15(1)略sin2 2sin cos(2) ,2sin1si21BEACSB,coiADABCsin2 2sin cos16不发生改变，设BAC2 ，BC 2m，则 .)tan(t42mSHBCA 测试 31a 2b 2c
23、 2； A B90； ;,abcADBD ，ADAB，BD BA，ABCD：一半，它的外心， (或 )2cbaab 或 (h 为斜边上的高) 或 或 或ab21cAsin1Bcsi2).(1cbar(r 为内切圆半径)2两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边390A，sinA，cosA ；;sin,ta,90o;90,2Abc.,si,Bcb4(1)A45，B45，b35；(2)A 60，B30，c4；(3) ;52,a(4) 136(5) .30,64,2, Bcba5(1)AB2Rsin ，OCRcos ；(2) nrnn18os,180si6AB6.40 米，BC5.
24、61 米，ABBC 12.0 米7约为 222cm8(1) 米31(2)4 层，提示：设甲楼应建 x 层则 .2130tan9 m310106 米测试 41 cm310,c320BCA2 cm)5(3 提示：作 CDAB 延长线于 D 点c25;c4 cm5山高 m)31(0,)31(2AC6约为 27.3 海里7 m8约为 17m，提示：分别延长 AD、BC，设交点为 E，作 DFCE 于 F 点9约 477.13m1010m11(1)AC1 000m； (2)C 点在 A 点的北偏东 30方向上12面积增加 24m2，需用 240 000m2 土石13(1) 提示：作 CDAB 于 D 点
25、，则 CDbsin ，.cosbBCADbcos 再利用 BC2CD 2DB 2 的关系，求出 BC(2) acsin2114(1)ABbcos acos . 提示：作 CDAB 于 D 点(2)提示：由 bsinCDasin 可得 bsinasin ，从而 siniba15提示：ABAD BDCD tan(90 )CD tan(90 )CDtan(90 )tan(90 ) ，或90tan()90tan(CDtanCD16 或 提示：AB 边上的高 CD 的垂足 D 点可能在 AB 边上( 这时 AB53.，也可能在 AB 边的延长线上( 这时 ) 53AB17 .sin21ab测试 51(1
26、) (2);2352 2,8sinADC3(1) 或 (2)1(2mB56BC725m4 5185 提示：作 BEAD 于 E 点aC26BC6提示：分别延长 AB、DC，设它们交于 E 点7(1) 提示：作O 的直径 BA，连结 A CsinmR(2) 提示：当 A 点在优弧 BC 上且 AOBC 时，ABC 有面积的最大值2ta48提示： 2sincosincos mBCBE第二十八章 锐角三角函数全章测试一、选择题1Rt ABC 中，C90，若 BC4， 则 AC 的长为( ),32sinAA6 B C D5251322O 的半径为 R，若AOB ，则弦 AB 的长为( )A B2Rsi
27、n C DRsin sin2cosR3ABC 中，若 AB6，BC 8，B120，则ABC 的面积为( )A B12 C D12 343484若某人沿倾斜角为 的斜坡前进 100m，则他上升的最大高度是 ( )A B100sin m C D100cos msin0cos105铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为 23，顶宽为 3m，路基高为4m，则路基的下底宽应为( )A15m B12m C9m D7m6P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于 A、B 点，若APB2 ，O 的半径为R，则 AB 的长为 ( )A B C DtansiRsintaRtansi2Rsinta2R7在
28、RtABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，若 CBa，B ，则 AD 等于( )Aasin 2 Bacos 2 Casin cos Dasin tan8已知：如图，AB 是O 的直径，弦 AD、BC 相交于 P 点，那么 的值为( )ABCAsinAPC BcosAPC Ctan APC D APCtan19如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 AB已知观测点 C 到旗杆的距离(CE 的长度) 为 8m，测得旗杆的仰角ECA 为 30，旗杆底部的俯角ECB 为 45，那么，旗杆 AB 的高度是( ) 第 9 题图A Bm)382(m)38(C D10如图所示，要在离地面 5m 处引拉线
29、固定电线杆，使拉线和地面成 60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l15.2m、l 26.2m、l 37.8m 、l 410m，四种备用拉线材料中，拉线 AC 最好选用( )第 10 题图Al 1 Bl 2 Cl 3 Dl 4二、填空题11在ABC 中，C90，ABC60，若 D 是 AC 边中点，则 tanDBC 的值为_12在 RtABC 中，C90，a10，若ABC 的面积为 ，则A_350度13如图所示，四边形 ABCD 中，B90，AB2，CD8，ACCD，若则 cosADC _,31sinACB第 13 题图14如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度 ，拱形的半径 R
30、30m，则m30AB拱形的弧长为_第 14 题图15如图所示，半径为 r 的圆心 O 在正三角形的边 AB 上沿图示方向移动，当O 的移动到与 AC 边相切时，OA 的长为_第 15 题图三、解答题16已知：如图，AB52m，DAB43，CAB40，求大楼上的避雷针 CD的长(精确到 0.01m)17已知：如图，在距旗杆 25m 的 A 处，用测角仪测得旗杆顶点 C 的仰角为 30，已知测角仪 AB 的高为 1.5m，求旗杆 CD 的高( 精确到 0.1m)18已知：如图，ABC 中，AC 10， 求 AB,31sin,54siBC19已知：如图，在O 中， AC，求证：ABCD(利用三角函数
31、证明) 20已知：如图，P 是矩形 ABCD 的 CD 边上一点，PEAC 于 E，PFBD 于F，AC15，BC8，求 PE PF21已知：如图，一艘渔船正在港口 A 的正东方向 40 海里的 B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往 C 岛运送一批物资到 A 港，已知 C 岛在 A 港的北偏东60方向，且在 B 的北偏西 45方向问该船从 B 处出发，以平均每小时 20 海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到 A 港(精确到 1 小时)( 该船在 C岛停留半个小时)? )45.26,73.1,4.2(22已知：如图，直线 yx12 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 点，将AOB
32、 折叠，使A 点恰好落在 OB 的中点 C 处，折痕为 DE(1)求 AE 的长及 sinBEC 的值；(2)求CDE 的面积23已知：如图，斜坡 PQ 的坡度 i1 ，在坡面上点 O 处有一根 1m 高且垂直3于水平面的水管 OA，顶端 A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点 M 比点 A 高出 1m，且在点 A 测得点 M 的仰角为30，以 O 点为原点，OA 所在直线为 y 轴，过 O 点垂直于 OA 的直线为 x 轴建立直角坐标系设水喷到斜坡上的最低点为 B，最高点为 C(1)写出 A 点的坐标及直线 PQ 的解析式；(2)求此抛物线 AMC 的解析
33、式；(3)求x Cx B；(4)求 B 点与 C 点间的距离答案与提示第二十八章 锐角三角函数全章测试1B 2A 3A 4B 5A6C 7C 8B 9D 10B11 1260 13 1420m 153 .32r16约 4.86 m17约 15.9m18AB24提示：作 ADBC 于 D 点19提示：作 OEAB 于 E，OFCD 于 F设O 半径为 R，AC 则 AB2Rcos ，CD2Rcos ，ABCD20 提示：设BDCDCA PEPFPCsin PDsin CDsin 1568,sin15686PFE21约 3 小时，提示：作 CDAB 于 D 点设 CDx 海里22(1) 提示：作 CFBE 于 F 点，设 AECEx，则 EF3sin.25BECA由 CE2CF 2EF 2 得.9x.5x(2) 提示：475 .42sin1oAEDAEDSAECD 设 ADy，则 CDy，OD12y，由 OC2OD 2CD 2 可得 15y23(1)A(0，1)， ;3x(2) .1321)(12xy(3) m5(4) .5230cos|BCx
