1、indefinite integral,第五章 不定积分,原函数与不定积分的定义不定积分的几何意义不定积分的性质,第一节 不定积分的概念及性质,（1） 从运算与逆运算看,初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。,微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分运算的逆运算是什么？,问题：,一、原函数的概念,（2） 从物理问题看,（3） 从几何问题看,定义,原函数的定义,例,什么样的函数存在原函数呢？ 原函数是不是只有一个呢？,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,例,（ 为任意常数）
2、,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。,问题：,如何表示这种求原函数的运算？即如何表示 ？,注：求函数 f（x）的原函数，,实质上就是问它是由什么函数求导得来的，,而若求得f（x）得一个原函数F（x），其全体原函数应为,二、不定积分的定义：,定义,不定积分,不定积分和原函数的关系：,不定积分=原函数+任意常数,原函数是不定积分其中之一。,的原函数的图形称为 的积分曲线。,三、不 定 积 分 的 几 何 意 义,例1 求,解,解,例2 求,例,不定积分=原函数+任意
3、常数,例,不定积分=原函数+任意常数,例3 求积分,解,例4 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程,解 设所求的曲线方程为yf(x)，,所以曲线方程为yx 2C,因所求曲线通过点(1，2)，故21C， C1于是所求曲线方程为yx 21,按题设,已知切线如何求函数的曲线？,，,不定积分的求法：,利用回忆微分法和函数的求导公式求不定积分,实例,四、基 本 积 分 公 式,逆运算,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,积分回忆微分,见书145-146页,基本积分表,基本积分表,基
4、本积分表,利用积分基本公式求不定积分,例5 求积分,解,根据积分公式（3）,五、 不 定 积 分 的 性 质,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,不定积分的线性性质,e x 3sin x C , tan x x C , 4cot x C ,例,11,tan,2,x,dx,例,12,sin,2,dx,例,13,dx,例14. 求,解: 原式,说明：1分项积分后，我们只写一个C 2. 检验结果是否正确，只要将结果求 导，看它的导数是否等于被积函数。,例15 求积分,解,例16 求积分,解,例17 求积分,解：,例18 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积
5、分表.,练 习,答 案,练 习,答 案,答 案,练 习,答 案,答 案,思 考 题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思 考 题 解 答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,内 容 小 结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,对于规则的图形（正方形、矩形、圆等）的面积及规则形状（正方体、圆柱、圆锥等）的体积，这些问题我们在中学已经学过。通过对积分的学习，我们就可以求不规则图形的面积、不规则物体的体积。,f(x),a,b,x,.,.,111111111,.,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转,V =,求旋转体体积,例,不定积分=原函数+任意常数,
