1、微分法:,积分法:,互逆运算,第五章 不定积分,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,一、 原函数与不定积分的概念,引例: 已知平面曲线上任一点处的切线斜率为2x，,且曲线过点 (1, 2)，试求此曲线方程 f (x)。,由导数的几何意义，曲线在切点的斜率就是函数的点导数，因此问题转化为：,1、原函数的概念,问题讨论:,1. 具备什么条件的函数才有原函数？,定理5.2(原函数存在定理),存在原函数 ,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,即：连续函数必有原函数！,2. 若原函数存在, 原函数是否唯一？,
2、若不唯一，它们之间有什么联系？,问题讨论:,( 其中C 为任意常数 ),不唯一,任意两个原函数之间只相差一个常数,定义 2, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,C 称为积分常数,2、不定积分的概念,例如,3、不定积分的几何意义:,的图形,的所有积分曲线组成的,积分曲线族,一个积分曲线族,特点：,在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线斜率都是 f (x),即：各切线相互平行,(1) 解:,(2) 解：,例1、求下列各不定积分,例2 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有
3、,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、不定积分的性质,性质 (2) 可推广到有限多个函数之和的情形.,1、线性运算性质,或,或,2、从不定积分定义可知:,微分运算与积分运算是互逆的.,三、 基本积分公式 (P153）,利用逆向思维,( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂函数的积分公式,例如 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角函数的积分公式,或,或,反三角函数与指数函数的积分公式,四、不定积分的求法,(一) 直接积分法利用基本积分公式和运算法则求一些简单函数的积分,例3、求下列不定积分.,要判断结果是否正确，只需将结果求导，看是否等于不定积分
4、的被积函数！,注：有时被积函数须经过适当地代数或三角恒等变形，将被积函数化为可直接积分的形式关键：化积、商的积分为和、差的积分,例4. 求 下列不定积分.,解: 原式 =,解: 原式 =,(5) 解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(6) 解: 原式 =,解：,例5. 求 下列不定积分.,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分公式 (见P 153),2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,练习册P40,41,
