1、第三章 整式及其加减知识点一、字母表示数1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；加法交换律 ab ba 加法结合律 abca（bc）1乘法交换律 abba 乘法结合律（ab）ca（bc ） 乘法分配律 a（bc ）ab ac2用字母表示计算公式：长方形的周长 2（a b）,面积 ab （a 、 b 分别为长、宽）1正方形的周长 4a，面积 a2（a 表示边长）2长方体的体积 abc，表面积 2ab2bc2ac（a 、 b、 c 分别为长、宽、高）3正方体的体积 a3,表面积 6a2（a 表示棱长）4圆的周长 2r,面积 r2（r 为半径）5三角形的面积 ah（a 表示底边长，h
2、 表示底边上的高）6 12、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。4、注意书写格式的规范：(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面； (3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数； (4) 除法运算写成分数形式 ，分数线具 “ ”号和“括号”的双重作用。 (5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。典型例题：例题 1.有一大捆
3、粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为 m 千克，再从中截取 5 米长的钢筋，称出它的质量为 n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）米A、 B、 C、 D、( 5)mnmn55m55mn例题 2.用代数式表示“ 2a 与 3 的差”为（ ）A2a 3 B3 2a C2 （a 3 ）D 2 （3a）例题 3.如图 131，轴上点 A 所表示的是实数 a，则到原点的距离是（ ）A、a Ba Ca D|a|例题 4.已知 a= x+20， b= x+19，c= x+21，那么代数式 a2+b2+c2abbc ac 的值为（ ）120120120A、4 B、3 C、2 D、1练习：1
4、、温度由 t下降 3后是_.2、 飞机每小时飞行 a 千米，火车每小时行驶 b 千米，飞机的速度是火车速度的_ 倍.3、无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（ ）A. B. C. D. 112a12a4、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为 a，排数比每排同学数的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（ ）A. B. C. D. 23a)3(a3)(5、轮船在 A、 B 两地间航行，水流速度为 千米时，船在静水中的速度为 千米时，则轮船逆流航行的速度为mn_千米时6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价 40%，丙x超市第一次降价 3
5、0%，第二次降价 10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（ ）（A）甲 （B）乙 （C ）丙 （D）乙或丙7、下列说法中： 一定是负数； 一定是正数； 若 ，则 三个有理数中负因数的个数是a|a0abccb、0 或 2，其中正确的序号是 8、设三个连续整数的中间一个数是 ,则它们三个数的和是 n9、设三个连续奇数的中间一个数是 ,则它们三个数的和是 x10、设 为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被 5 整除的数为 ；被 4 除余 3 的数为 n二、代数式1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+
6、2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）注意：列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。例：下列不是代数式的是（ ）0.A.sBt1.Cx20.1Dxy2、单项式：表示数与字母的积的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。注意：书写时，系数是 1 的时候可省略； 是数字，不是字母。例： 的系数是 ；如 的系数是 ；如 的系数是 ；2ab2x21x3、多项式：几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。每
7、个单项式称为项。例：代数式 有 项，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，第四项的系数是 251xy4、单项式多项式统称为整式。练习：1、 某商品售价为 元，打八折后又降价 20 元，则现价为 _元a2、橘子每千克 元，买 10 以上可享受九折优惠，则买 20 千克应付_ 元钱.kg3、如图，图 1 需 4 根火柴，图 2 需_根火柴，图 3 需_根火柴，图 需_根火柴。n（图 1） （图 2） （图 n）4、温度由 t下降 3后是_ .5、飞机每小时飞行 a 千米，火车每小时行驶 b 千米，飞机的速度是火车速度的_ 倍.6、无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（ ）A. B. C. D.
8、112a12a7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为 a，排数比每排同学数的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（ ）A. B. C. D. 23a)3(a3)(8、填空 的系数为_，次数为_ ： 的次数为_ ； 的系数是 ； 的xy 2b2ab2x系数是 ； 的系数是 ；代数式 有 项，第二项的系数是 ，第三21x251xy项的系数是 ，第四项的系数是 9、下列不是代数式的是（ ）0.A.sBt1.Cx20.1Dxy三、合并同类项1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意:两个相同:字母相同；相同字母的指数相同.两个无关:与系数无关;与字母顺序无关.如：100
9、a 和 200a，240b 和 60b，-2ab 和 10ba2、合并同类项法则：（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数 ,字母和字母的指数不变.（3）不同种的同类项间，用“+”号连接（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄如：合并同类项 3x2y 和 5x2y，字母 x、y 及 x、y 的指数都不变， 只要将它们的系数 3 和 5 相加，即3x2y+5x2y=（3+5）x 2y=8x2y3合并同类项的步骤：（1 ）准确的找出同类项（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起（ 3）利用法则，把同类项的系数相加，
10、字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果4. 注意: （1）不是同类项不能合并（2） 求代数式的值时 ,如果代数式中含有同类项, 通常先合并同类项再代入数值进行计算.例 1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：（1） a2b 和- a2 b （2）2m 2 np 和 -pm2n (3) 0 和-1357例 2. 下列各组中： ； ； ； ； 与 ；xy51与 51yx与2251yxa与 38x与 221x与 与 ，同类项有 （填序号）2x2例 3. 如果 xky 与 x2y 是同类项，则 k=_， xky+（- x2y）=_13 3例 4直接写出下列各式的结果：（1） - xy+ xy=_；
11、 （2）7a 2b+2a2b=_；（3）-x-3x+2x=_； （4）x 2y- x2y- x2y=_； （5）3xy 2-7xy2=_13例 5合并下列多项式中的同类项（1） 4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4； （2）a 2-2ab+b2+a2+2ab+b2（3） （4）561x 2645xyxyx例 6.若 ， ，则 0,y20axy练习：1、单项式 与 是同类项，则 ， 2baxy3xy2、下列各组中： ； ； ； ； 与 ；51与 2251与2251yxa与 38x与 221x与 与 ，同类项有 （填序号）3x23、合并同类项： 22361x22264xyxyx4、若
12、， ，则 0,xy10aya四、去括号法则1. 去括号法则：（1）括号前是 “+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改变。 （2 ）括号前是“”号，把括号和前面的“ ”号去掉，括号里的各项的符号都要改变。2. 去括号法则中乘法分配律的应用：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。3. 多重括号的化简原则（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号例 1、一个两位数，十位数字是 ，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个两位数是 x例 2、去括号，合并同类项（1）3（2s 5 ）+6s (2)3x5x（ x4）12（3）6a 24ab4(
13、2a 2+ ab) （4）1 )6()(322yy（5） （6）()xy ()()mnx（7） （8） )35(122x )21(4)321(aa（9） （10）)()(baa mnnm2226练习：1、化简： ()xy2()3()2mnx2、一个两位数，十位数字是 ，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个两位数是 x3、化简：(1) (2) )35(122x )21(4)1(aa(3) (4) )()(baa mnnm2263五、代数式求值先化简，再求值代数式求值 1） 、用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。2）求代数式的值时应注意以下问题:（1
14、）严格按求值的步骤和格式去做 （2 ）一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母， 代入时要注意对应关系，千万不能混淆 （3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变（4）字母取负数代入时要添括号（5）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号例 1 当 x= ，y=-3 时，求下列代数式的值:（1）3x 2-2y2+1； （2）32()1xy例 2 当 时，求代数式 的值x5(41)x例 3 已知 互为倒数， 互为相反数，求代数式 的值ba， nm， 2(23)mnab例 4 化简，求值： ，其中 ， 1)32(6922a1b ,其中)()1(2yx
15、yx 3,yx经典例题例题 1.若 abx 与 ayb2 是同类项，下列结论正确的是（ ）AX2，y=1 BX=0 ，y=0 CX2，y=0 D、X=1，y=1例题 2. 2xx 等于（ ）Ax Bx C3x D3x例题 3.x（2xy ）的运算结果是（ ）Ax+y Bxy Cxy D3xy练习：1、当 时，求代数式 的值25(41)2、已知 互为倒数， 互为相反数，求代数式 的值ba， nm， 2(23)mnab3、已知 ,求 的值。32n734、化简，求值： ，其中 ， 1)(6922bab2a1b ,其中)3()31(2yxyx 3,yx5、已知 ， ，求22A211,2,BAB六、探索
16、规律列代数式例题 1.观察下列数表：根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为_（用含有 n 的代数式表示，n 为正整数）例题 2.观察下列各等式：（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的_ ；如果等号左边的第一个实数用 x 表示，第二个实数用 y 表示，那么这些等式的共同特征可用含 x，y 的等式表示为_.（2）将以上等式变形，用含 y 的代数式表示 x 为_；（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：_例题 3.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分如图 133所示
17、，则这串珠子被盒子遮住的部分有_颗综合练习题1、代数式 的系数是_. xy22、 的系数为 ab3、化简： =_yy536224、下列各题中，去括号正确的是（ ）A. B. cbacba)(22 1253)125(3cbacbaC. D. 1313yxyx5、 的相反数是（ ）A. B. C. D. cba2cba2cba32cba326、计算： )04()7(yxyx7、计算 53218、计算 ()()2149、长方形的一边长为 ，另一边比它大 ，求这个长方形的周长。baba10、 （1 ）当 时，分别求代数式 ； 的值.1， 222)(ba（2）当 时，分别求代数式 ； 的值.23ab，
18、ba（3）观察（1 ） （2）中代数式的值， 与 有何关系？222)(（4）利用你发现的规律，求 的值.735.7135. 整式的加减单元检测题(时间:120 分钟 满分:150 分)一、 选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）1.下列各式中，不是整式的是 （ ）A3a B.2x=1 C.0 D.x+y2.下列各式中，书写格式正确的是 （ ）A4 B.32y C.xy3 D. ( )21 ab3.用整式表示“比 a 的平方的一半小 1 的数”是 （ ）A. ( a) B. a 1 C. （a 1） D. （ a1） （ ）2122224.在整式 5abc，7x +1,
19、，21 ， 中，单项式共有 （ ）5x34yxA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 （ ）5.已知 15m n 和 m n 是同类项，则24x+4x1的值为 （ ） x9A.1 B.3 C.8x3 D.13 （ ）6.已知x+3y5，则 5（x3y） 8（x3y）5 的值为 （ ）2A.80 B.170 C.160 D.60 （ ）7.下列整式的运算中，结果正确的是 （ ） A.3+x3x B.y+y+y=y C.6abab=6 D. st+0.25st=0 （ ）3 418.将多项式 3x yxy +x y x y 1 按字母 x 的降幂排列，所得结果是（ ）2234A.1xy +
20、3x y+x y x y B. x y + x y +3 x yx y 14322C. x y + x y xy +3x y1 D. 1+3 x yx y +x y x y432 2349.已知 ab,那么 ab 和它的相反数的差的绝对值是 （ ）A.ba B.2b2a C.2a D.2b 10.下列说法错误的是 （ ）A.xy 的系数是1 B.3x 2x y y323C.当 a2b 时，2a+b+2a2b=5b D.多项式 中 x 的系数是38)1(2二、填空题：（本大题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）11.3ab c 的系数是 ，次数是 2312.多项式 1+a+b a b
21、是 次 项式.4213.把多项式 2xy x yx y 7 按 x 的升幂排列是 314.设 a、b 表示两数，则两数的平方和是 ，两数和的平方是 15.若三个连续奇数中间一个是 2n+1(n0 的整数)，则这三个连续奇数的和为 16.化简 3a b3（a b ab ）3ab = 22217.一个多项式加上2+xx 得到 x 1，则这个多项式是 218.m、n 互为相反数，则（3m2n）（2m3n）= 19.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第 n 个图案中灰色瓷砖块数为 20.若 3a b 与 a b 的和仍是单项式，则 m= ,n= 1n23m三、解答题：（本大题 8 个小题，每小题 1
22、0 分，共 80 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。21.（10 分）计算：（1） （m+2n）（m2n）; (2)2(x3)（x+4）22.(10 分) 计算：（1）2x3(x2y+3x)+2(3x 3y+2z); (2)xy（4z 2xy）（3xy 4z）23.(10 分) 计算：（1）8m 4m 2m(2m 5m); （2） 2（ab3a ）2b (5ba+a )+2ab222 22224.(10 分)设 m 和 n 均不为 0，3x y 和5x y 是同类项，求 的值。23nm23 3223965nmn第 1 个图案 第 2 个图案 第 3 个图案25.（10 分）先化
23、简，再求值：（1）3x y 5xy （4xy 3）+2x y ,其中 x=3，y=2.2222(2)3x y2x y（2xyzx y）4x zxyz，其中 x=2，y3，z=1222226.（10 分）已知Ax 2y +3x y+xy 3xy+4,B=y x 4x y3xy3xy +3,C=y +x y+2xy +6xy6，试说明对32322322于 xyz 的任何值 A+B+C 是常数。27.（10 分）如果 a 的倒数就是它本身，负数 b 的倒数的绝对值是 ，c 的相反数是 5，求代数式314a4a （ 3b4a+c） 的值。228.(10 分) 已知 a 2+b+1+2c+30.（1）求
24、代数式 a +b +c +2ab+2ac+2bc 的值；2（2）求代数式(a+b+c) 的值；（3）从中你发现上述两式的什么关系？由此你得出了什么结论？整式的加减参考答案一、BDBCD CDBBD二、11.3，6； 12.4，4； 13.7+2xy x yx y 14.a +b ,(a+b) ; 232215.6n+3; 16.0; 17.2x x+1 ； 18.0； 19.2（n+1 ）; 20.1，22三、21.(1)解：原式 m+2nm+2n4n(2)解：原式 2x6+x 43x1022.（1）解：原式2x3x+6y9z+6x6z+4z5x5z(2) 解：原式 xy4z+2xy3xy+4
25、z2xy23.(1)解：原式 8m 4 m +2m+2 m 5m2226 m 3m(2)解：原式 2ab+6a （2b 3 aba ）2ab+6a 2b +3 ab+a227 a +ab2b24.解：由题意知，22+2m+n,则 n=2m,所以，把 n=2m 代入原式，计算得原式 9525.（1）解：原式3x y 5xy +4 xy 32 x y222x y xy 3所以，当 x=3，y =2 时，原式45（2）解：原式3x y （2x y2xyz+ x y4x z）xyz22223 x y2 x y+2xyz x y+4x zxyz4x z+ xyz所以，当 x=2，y3，z 1 时，原式1026.解：因为A+B+Cx 2y +3x y+xy 3xy+4+y x 4x y3xy3xy +3+y +x y+2xy +6xy6132322322所以，对于 x、y、z 的任何值 A+B+C 是常数27.解：由题意得，a 1，b3，c 5所以，原式4a +3b+c18228.解：（1）由题意得，a2,b1, c ，所以原式 ；2341（2） （a+b+c） ；24（3）两式相等，结论是（a+b+c） a +b +c +2ab+2ac+2bc22
