1、绝密启封并使用完毕前2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 i2A B C D12i12i12i2若 ， 满足 则 的最大值为xy0xy ， ， ， zxyA0 B1 C D233执行如图所示的程序框图，输出的结果为A B C D2， 40， 4， 08，4设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 “
2、”是“ ”的mm A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A B C 254525D56设 是等差数列 . 下列结论中正确的是naA若 ，则120230aB若 ，则3a1C若 ，则12023aD若 ，则a10主 x=1主y=1主k=0s=x-y主t=x+yx=s主y=tk=+1k 3主(x主y)主主主()主 11主主()主2 17如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的fxACB2log1fx解集是A B|10|1xC D|x|28汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三
3、辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答）52x3x10已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 210ya30xya11在极坐标系中，点 到直线 的距离为 23 cosin612在 中， ， ， ，则 ABC 4a5b
4、6i2sAC13在 中，点 ， 满足 ， 若 ，则 ； MNBNMxAByCxy14设函数 214.xaxfxA BO xy -1 22C若 ，则 的最小值为 ；若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 1afxfxa三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15 （本小题 13 分）已知函数 2()2sincosinxxf() 求 的最小正周期；()fx() 求 在区间 上的最小值f016 （本小题 13 分） ， 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：AB组： 10，11，12，13，14，15，16组：12，13，1
5、5，16，17，14，Ba假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲， 组选出ABAB的人记为乙() 求甲的康复时间不少于 14 天的概率；() 如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；25a() 当 为何值时， ， 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）AB17 （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中， 为等边AEFCBA三角形，平面 平面 ，AEF， ， ， ， 为EFBC 42a60O的中点() 求证： ；OB() 求二面角 的余弦值；() 若 平面 ，求 的值ACa18 （本小题 13 分）已知函数 1lnxf（）求曲线 在点 处的切
6、线方程；yfx0，（）求证：当 时， ；， 32fx（）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k3fk01， kOFE CBA19 （本小题 14 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点C210xyab201P， Amn，都在椭圆 上，直线 交 轴于点 0m PAM（）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示） ；mn（）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上是否存在点 ，OBxPBxNyQ使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由QMNQ20 （本小题 13 分）已知数列 满足： ， ，且 na*1N136a 121836nnna， ， 2， ， 记集合
7、 *|nMaN（）若 ，写出集合 的所有元素；16（）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素都是 3 的倍数；M（）求集合 的元素个数的最大值2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C （7）C （8）D二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）40 （10） （11）1 （12）1 （13） 12（14） 1,2,三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15. 解：() 2sincosin2xxfi2i4所以 的最小
8、正周期fx2.T() ， 0,34x当 ，即 时， 取得极小值。42xxf， sin1,21,0fx所以 在 的最小值fx,0min3.42ff16. 解：() 设甲的康复时间不少于 14 天记为事件 A137.CPA所以甲的康复时间不少于 14 天的概率为 3.7() 因为 ，假设乙康复的时间为 12 天，则符合题意的甲有 13 天、14 天、15 天、16 天，共 4 人。25a若乙的康复时间为 13 天，则符合题意的甲有 14 天、15 天、16 天，共 3 人。若乙的康复时间为 14 天，则符合题意的甲有 15 天、16 天，共 2 人。若乙的康复时间为 15 天，则符合题意的甲有 1
9、6 天，共 1 人。当乙的康复时间为其它值时，由于甲的康复时间为 16 天，均不符合题意。所以符合题意的甲、乙选择法师共计 4+3+2+1=10 种而所有甲、乙组合情况共 种1749C因为所有情况都是等可能的，所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 1049P() 或1a817. () 证明： 是等边三角形， 为 的中点。AEFOEF又 平面 平面 ,OACB平面 平面 平面CBAEF平面 又 平面() 取 得中点 ，连接CBD如图分别以 为 轴建立空间直角坐标系,OEA,xyz0,3,0,2,3,0AaBa易见平面 的法向量为EF1,n设平面 的法向量为AB2xyz302axza所以 ,1n
10、21215cos,因为二面角 为钝角，所以它的余弦值为 .FAEB5() 由() 知 平面 OCAOBE若 平面 ， 仅需由() 得 ， 2,3,0a 2,3,0a，0BEOC2 22434130aaa， 解得 （舍）或 .2318a18解：（） ln,xf221 ,1xf x02k0,所以切线方程为 .yx（）原命题 ,1x320.f设 3lnlxF4221 ,1xx当 时， ， 0,0函数 在 上单调递增。F,， 因此 x,1x32.xf（） 31ln,xk0,3ln0,1tkxx4222 1,0,1kxtx所以当 函数 在 上单调递增，0,.ktt,0x当 时，令 解得2k,t402,1
11、kxx 0x0xt0 x减 极小值 增显然不成立。0,tt综上可知： 的最大值为 2.k19解：（）由题知： 解得221cab21ab所求的椭圆的方程为 .2xy0,1,PAmn直线 的方程为 1,x直线 与 轴交于xM令 ，则 0y,n,0mn（） ,1,PBm直线 的方程为 ， 直线 与 轴交于1yxPBxN令 ， 则 ， 0yNxn,0mn设 0,Q， 001tanmnOMyy 01tanynONQm， QNttM， 011ynmn20,1yn又 在椭圆上， ,A2m20,y0y在 轴存在点 使 。2,QOQMN20. 解：（） 12346, 3612,aa6,124.（）因为集合 存在
12、一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 3 的倍数。Mka由 183nnn， ， 1， ， 当 时， 都是 3 的倍数。ka如果 ，则集合 的所有元素都是 3 的倍数。1kM如果 ，因为 或 ， 所以 是 3 的倍数， 于是 是 3 的倍数。12ka16ka12ka1ka类似可得， 都是 3 的倍数。231,k综上，若集合 存在一个元素是 3 的倍数，则 的所有元素都是 3 的倍数。M（）若 ，由 ，136a186nnna， ， 2， ， 可归纳证明 ， 1， ， 6.因为 是正整数，由 ， 所以 是 2 的倍数。112,38aaa从而当 时， 时 4 的倍数。3nn如果 是 3 的倍数，由（ ）知对所有正整数 ， 是 3 的倍数。1 n因此当 时， .这时 的元素个数不超过 5.n1,6M如果 不是 3 的倍数，由（ ）知对所有正整数 ， 不是 3 的倍数。1a na因此当 时， 这时 的元素个数不超过 8.4,820,3.n当 时， 由 8 个元素。1,2M综上可知：集合 的元素个数的最大值为 8.法二：
