1、- 1 -第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.am= (m,n是正整数)2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n)m= (m,n是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n= (n是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a（m+n）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ， （a+b） （m+n）= 。7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b） （a-b）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等
2、于它们的 ，加（或减）它们的积的 。 （a+b） 2= ,（a-b） 2= 。9.公式的灵活变形：（a+b） 2+（a-b） 2= ， （a+b） 2-（a-b） 2= ，a2+b2=（a+b） 2- ，a2+b2=（a-b） 2+ ， （a+b） 2=（a-b） 2+ ，（a-b） 2=（a+b） 2- 。【例 1】若代数式 的值与字母 的取值无关，求代2(6)(351)xaybxyx数式 的值2342134b【例 2】已知两个多项式 和 ，AB试判断是否存在整数 ，使43432,31,nnnAxxxnxn是五次六项式？B- 2 -【例 3】已知 为自然数，且 ，当 时，求 的所,xyzxy
3、19,20zxxyz有值中最大的一个是多少？【例 4】如果代数式 当 时的值为 ,那么当 时,该式的值是 .53axbc2x72x【例 5】已知 为实数,且使 ,求 的值.20a196197198()()()aa【例 6】 （1）已知 2x+2=a，用含 a的代数式表示 2x；（2）已知 x=3m+2，y=9 m+3m，试用含 x的代数式表示 y【例 7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b） （a+b）=2a2+3ab+b2就能用图 1或图 2等图形的面积表示：（1）请你写出图 3所表示的一个等式： （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b） （a+3b）=a
4、 2+4ab+3b2- 3 -【例 8】归纳与猜想：（1）计算：（x1） （x+1）= ；（x1） （x 2+x+1）= ；（x1） （x 3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果（x1） （x 6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（x1） （x 9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3） （x1） （x n1 +xn2 +xn3 +x2+x+1）= （n 为整数） ；（4）若（x1）m=x 151，则 m= ；（5）根据猜想的规律，计算：2 26+225+2+1【例 9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我
5、们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b） 1=a+b，（a+b） 2=a2+2ab+b2，（a+b） 3=（a+b） 2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我们依次对（a+b） n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形” ；仔细观察“杨辉三角形” ，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b） n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b） n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和为 S， （结果用含字母 n的代数式表示） - 4 -课后作业：1、若 ，求 的值。0352yxy
6、x3242、在 的积中，不含有 项，则 必须为 。a与 xa3、已知 的结果是 。12baab， 化 简，4、已知 的值为 。19820xxx， 则5、已知 的值等于 。353yy， 则 代 数 式6、已知 ，则 = 。92xx7、若 的值为 。y24,， 则8、当 时，代数式 的值等于 ，那么当 时，代数式x31axb71x的值 .3125ab9、已知 ， ， ，求多项式920920x1920c的值为。22cca10、已知 均不为 ，且 ，那么 的值是多少？,abc00abc11()()()abccab- 5 -“整体思想”在整式运算中的运用1、当代数式 532x的值为 7时,求代数式 29
7、32x的值.2、已知 2083xa， 183xb， 163xc，求：代数式ccb的值。3、已知 012a，求 2073a的值.4、若 a22a+1=0求代数式 的值5、先化简，再求值：(1) )4)(2(2yxyx ，其中 x=-2,y=-3(2) 21,(2bababa其 中- 6 -第四讲 乘法公式（1）公式的逆用1、已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n的值2、已知 013642yx， yx、 都是有理数，求 yx的值。3、已知 2()16,4,ab求23ab与 2()的值。4、已知 ()5,3ab求 2()ab与 23()的值。5、已知 2450xy，求 21()xy的值
8、。6、 0132x，求（1） 21x（2） 41x7、试说明不论 x,y取何值，代数式 2415xy的值总是正数。- 7 -8、已知三角形 ABC的三边长分别为 a,b,c且 a,b,c满足等式 2223()()abcabc，请说明该三角形是什么三角形？9、计算（1） （xy） （x+y） （x 2+y2） （2） （a2b+c） （a+2bc）（3） （ab+cd） （cadb） ； （4） （x+2y） （x2y）（x 48x 2y2+16y4） 10、已 ，求下列各式的值：（1） ； （2） - 8 -第五讲 乘法公式（2）例 1 已知 a-b=2,b-c=1,求代数式 的值。2abca
9、bc例 2 已知 a、b、c 为有理数，且满足 的值。28,16,abca求 .bc例 3 已知 试求下列各式的值：210,x（1） （2） (3) 2 31x41x例 4 已知 x、y 满足 x2十 y2十 2x 十 y，求代数式 的值45yx例 5 已知 a、b、c 均为正整数，且满足 ，又 a为质数22cba- 9 -证明：(1)b 与 c两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数巩固练习1、若 的值为 23231,67519xx求 代 数 式2、如果： 22 )3,08yxy则 （且3、计算： = 24816(1)()(4、若 是一个完全平方式，则 的值为 。92mxm5、当
10、 = ， = 时，多项式 有最小值，此时这个y 12492yxyx最小值是 。6、 的个位数字是 。121213847、若 的值是 。0ababba， 则8、计算 的结果为 。3yxyx9、若 的值为 。20412， 则10、多项式 是一个六次四项式，则 。6143bam m11、若代数式 的值为 0，则 ， 。522yxyx xy12、已知 , 求 的值 02aba、13、已知 a,b,c是三角形的三边，且 a2+b2+c2=ab=bc+ca,试判断三角形的形状14、已知 的值2241,3aa求- 10 -四 作业1观察下列各式：(x一 1)(x+1)x 2一 l；(x一 1)(x2+x+1
11、)=x3一 1；(x一 1)(x3十 x2+x+1)=x4一 1根据前面的规律可得 (x 一 1)(x n+x n-1+x+1)= 2已知 ，则 = 052baba3计算：(1)19492一 19502+19512一 19522+19972一 19982+19992 = (2) 191978224如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于 a、b 的恒等式 5已知 ，则 = 512416已知 ，则代数式 的值为( ),3cba abca2A一 15 B一 2 C一 6 D67乘积 等于( )201)(19()31(2A B C D2090448若
12、，则 的值是( ),2yx20yxA4 B2002 2 C 2 2002 D4 20029若 ，则 的个位数字是( )0132x41xA1 B3 C 5 D710如图，在边长为 a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形(ab)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，- 11 -则这个等式是( )A B)(2baba 22)(babaC D 2)( 11(1)设 x+2z3y，试判断 x2一 9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由(2)已知 x2一 2x=2，将下式先化简，再求值：(x1) 2+(x+3)(x
13、一 3)+(x一 3)(x一1)12一个自然数减去 45后是一个完全平方数，这个自然数加上 44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数13观察： 251432296(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算 2000200120022003+1的结果(用一个最简式子表示)14你能很快算出 19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为 5的自然数的平方，任意一个个位数为 5的自然数可写成 l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5) 2的值，试分析 n=1，n=2，n3这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论(1)通过计算，探索规律152 =225可写成
14、1001(1+1)+25；25 2=625可写成 1002(2+1)+25；- 12 -352=1225可写成 100 3(3+1)+25；45 22025 可写成 1004(4+1)+25；75 25625 可写成 ；85 27225 可写成 (2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5) 2= (3)根据上面的归纳猜想，请算出 19952 第 3 章 因式分解【知识点归纳】1.把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。 （因式分解三注意：1.乘积形式；2.恒等变形；3.分解彻底。 ）2.几个多项式的 称为它们的公因式。3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因
15、式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（ ）4.找公因式的方法：找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的 的。5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。a2-b2= ，a 2+2ab+b2= ，a 2-2ab+b2= 。【典型例题】1仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x24x+m 有一个因式是（x+3） ，求另一个因式以及 m的值解：设另一个因式为（x+n） ，得 x24x+m=（x+3） （x+n）则 x24x+m=x 2+（n+3）x+3n 解得：n=7，m=2
16、1另一个因式为（x7） ，m 的值为21仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2+3xk 有一个因式是（2x5） ，求另一个因式以及 k的值- 13 -2阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1） 2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x） 2（1+x）=（1+x） 3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1） 2+x（x+1） 2004，则需应用上述方法 次，结果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1） 2+x（x+1） n（n 为正整数） 3已知乘法公式：a 5+b5=（a+b）
17、（a 4a 3b+a2b2ab 3+b4） ；a 5b 5=（ab）（a 4+a3b+a2b2+ab3+b4） 利用或者不利用上述公式，分解因式：x 8+x6+x4+x2+14、先化简，再求值： ，其中 5、已知 能被 整除，其商式为 ，求 m、 n的值。6、已知 a、 b、 c分别为ABC 的三边，你能判断 的符号吗？- 14 -第六讲 因式分解（一）【例题精讲】例 1：（1）4 x（ a b）（ b2 a2） ； （2） （ a2 b2） 24 a2b2；（3） x42 x23； （4） （ x y） 23（ x y）2；（5） x32 x23 x； （6）4 a2 b26 a3 b；（7
18、） a2 c2+2ab+b2 d22 cd （8） a24 b24 c28 bc例 2：分解因式：（1） 103424xx（2） 26321xxx- 15 -（3） 191922xx【巩固】分解因式：1、 ； 2、 ；1222xx 222 84384xxx3、 ； 213216xxx4、分解因式： ；212xyxyx例 3：把下列各式分解因式：1、 ； 2、 。bacbca222 6722yxyx【巩固】分解因式：1、 ； 2、 。122bab 613622yxyx- 16 -例 4：分解因式： 。432x【巩固】分解因式：1、 ； 2、 ；424yx 46ba【拓展】分解因式： 。43234
19、 baba例 5：已知多项式 的值恒等于两个因式 ，68232yxyx Ayx2乘积的值，则 _。Byx2BA例 6：分解因式： 。613622yxyx【巩固】分解因式：1、 ； 2522yxyx- 17 -2、 ；49253yxyx【拓展】1、 为何值时，多项式 能分解成两个一次因式的积？k 25322yxkyx2、多项式 的一个因式是 ，试确定 的值。6522yxbayx 2yxba3、求证： 可以化为两个整系数多项式的平方差。2238yx【作业】1、分解因式： _；23ab2、分解因式： _；92yx- 18 -3、分解因式： _；12122xx4、已知 满足 ， ，则 _；cba、 5
20、ba9bacc5、分解因式： 的结果是_；3426、已知 能分解成两个整系数一次因式的乘积，求 的值。12x a7、把下列各式分解因式：（1） ； （2） ；1422yxyx 225408bax（3）用换元法分解 ； 222 3675xxx（4）用待定系数法分解 。2522yxyx7、 是什么数时， 能分解成两个一次因式的积？k 25322yxykx- 19 -第七讲 因式分解的应用【例题精讲】例 1：若 的三条边 满足关系式 ，则 的形ABCcba、 04224bcaABC状是_。【巩固】1、已知 是三角形三边长，则代数式 的值是（ ）cba、 22bcaA.大于 0 B.等于 0 C.小于
21、 0 D.符号不定2、设 是三角形三边长，化简 。、 cac22【拓展】已知 是一个三角形的三边，则 的值cba、 22244 acbacba是（ ）A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负例 2：已知 ，则 的值是多少？0142x1842234xx【巩固】1、已知 ，求 的值。013642baba- 20 -2、已知 ，求 的值。2112aa21a3、设 ，求 的值。cab2acb4922例 3：已知 是自然数，且 ，求 与 的值。ba、 2072baab【巩固】设 是自然数， ，求 的值。ba、 73baba、【拓展】设 是相邻的两个自然数，问 是否为平方数？ba、 abba422例 4
22、：（1）求证： 能被 45整除；139728（2）证明：当 为自然数时， 形式的数不能表示成两个整数的平方差。n2n- 21 -【课后作业】1、 的三边满足 ，则 是（ ）ABCabca22ABCA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形2、如果 是一个完全平方式，那么 等于（ ）22490ykxkA.4900 B.700 C. D.140703、若 能分解为两个一次因式的积，则 的值为（ ）652ymx mA.1 B. C. D.214、若 为奇数，则 （ ）n42nA.一定是奇数 B.一定是偶数 C.可能是奇数，也可能是偶数 D.可能是整数，也可能是分数（分母不是 1）5、若 为有理数，且 ，则 _。ba、 05242baab6、已知 ， ，那么 _。yx2y4yx7、计算： 。79.079.01.8、已知 ，求 的值。13baba、
