1、安徽大学 2011 2012 学年第一学期 高等数学 A（三） 考试试卷（A 卷） 院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超装 订 线 -装-订-线- （闭卷 时间 120 分钟） 考场登记表序号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1.设 A为 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。 n（A） ； （B）1(2 ) 2A=1A 11(2 ) (2 )TTAA = ； （C） ； （D） 。 11 11( ) ( )TTAA =11( ) ) ( ) )TT T=12.若向量组12,r null 可由另一向量组12,s nu
2、ll 线性表示，则下列说法正确的是（ ）。 （A） ； （B） r ； rs s（C）秩(12,r null )秩(12,s null )； （D）秩(12,r null ) 秩(12,s null )。 3.设 ,A B为 阶矩阵，且 n A与 B 相似， E 为 阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。 n（A） EA EB = ； （B） A与 B 有相同的特征值和特征向量； （C） A与 B 都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数 ， 与 k kE A kE B 相似。 4.设123, 为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。 （A）11 2 1 2,3 ； （
3、B）12 1 2,2 + ； （C）12231,3 +； （D）12231,3 + +。 5.设 ， ，() 0.8PA= () 0.7PB= (|) 0.8PAB= ，则下列结论正确的是（ ）。 （A）事件 A与 B 互不相容； （B） A B ； （C）事件 A与 B 互相独立； （D） 。 ( ) () ()PA B PA PB=+第 1 页 共 6 页 二、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 得分 6.设 4 阶方阵 A的秩为 2，则其伴随矩阵 的秩为 *A 。 7.设 2 = 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵1213A必有一个特征值等于 。 8.设离散型随机变量 X 的分布
4、列为2()3kPX k a=， ，则0,1, 2,3k =a= 。 9.设离散型随机变量 X 的分布列为 ，若10 10.25 0.5 0.252YX= ，则(1)PY= 。 10.某车间生产的滚珠直径 X 服从2(, )N ,现从产品中随机抽取 6 件,测得平均直径为14.95x = ,若已知方差 ,则平均直径20.06 = 的置信度为 95% 的置信区间为 。 ( (1.96) 0.975, (1.645) 0.95 = =) 三、计算题（每小题 9 分，共 9 分） 得分 11.计算下列行列式 12311 11010 0100nnaaDaa=nullnullnullnullnullnul
5、lnullnullnull0，这里230naa a null 。 第 2 页 共 6 页 得分 答 题 勿 超装 订 线 -装-订-线- 四、分析题（每小题 13 分，共 65 分） 12.已知线性方程组 AX = 有无穷多解，其中 1101011aAaa=，211=。 求：（1） 的值； a（2）方程组 AX = 的通解。 13.设二次型222123 2()23343f Xxxxx=+ ， （ 1）求正交变换 X QY= ，并写出 ()f X 的标准形； （ 2）判定二次型 ()f X 的正定性。 第 3 页 共 6 页 14.玻璃杯成箱出售，每箱 8 只，假设每箱含 0 只和 1 只残次品
6、的概率分别为 0.8 和 0.2。一位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看 2 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （ 1）顾客买下该箱的概率； （ 2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。 第 4 页 共 6 页 15.设 (,)X Y 服从以 x轴、直线 1x= 以及 y x= 围成的三角区域上均匀分布，试判断 ,X Y 的独立性和相关性。 答 题 勿 超装 订 线 -装-订-线- 16.假设总体 X 的密度函数为 (),(; )0,xexfxx =是未知参数，1(, )nX Xnull 为取自 X 的样本，试求 的矩估计量和最大似然估计量
7、。 第 5 页 共 6 页 得分 五、证明题（每小题 6 分，共 6 分） 17.若 A为 阶方阵，且 ，证明：n30A = A E 为可逆矩阵。 第 6 页 共 6 页 安徽大学 2011 2012 学年第一学期 高等数学A（三）（ A 卷）考试试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1、C ； 2 、C ； 3 、D ； 4 、D ； 5 、C 。 二、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 6、0； 7 、3/4 ； 8 、27/65； 9 、0.5； 10 、 。 (14.754,15.146)三、计算题（每小题 9 分，共 9 分） 11.解：将第 j 列
8、乘上1ja 均加到第 1 列上（ 2,3, ,jn= “ ），得到 1232311 111 100000nnnaaa aaDaa=“0“(7 分) 12321nnjjaaaa=“ a. （9 分） 四、分析题（每小题 13 分，共 65 分） 12. 解：（1）增广矩阵 112010111 1aAaa=11 10101112aaa211 1010 101 1 2aaaa a211 1010 1001 1aaaa ， 因为线性方程组 AX = 有无穷多解，故 1a= 。 （ 6 分） （2）当 时， 1a=11 11 10 13/20201 020 100 00 00 0 0A 10 1 3/2
9、01 0 1/200 0 0 ， 故方程组的通解为 第 1 页 共 4 页 31110201X =+ k （ k 为任意常数）。 （ 13 分） 13.解： (1)二次型的矩阵为 。由 200032023A=20 0032(2)(5)(02 3EA= = 1)11, 得 A的特征值为 1=2, 2=5, 3=1。 （ 4 分） 当 1=2 时 , 解方程 ，由 (2 ) 0EAX=00 0 012201200021 000EA= ， 得特征向量 (1, 0, 0)T. 取 。 1(1,0,0)T =当 2=5 时 , 解方程 ，由 (5 ) 0EAX=30 0 100502201022 000
10、EA= ， 得特征向量 (0, 1, 1)T. 取2(0,1/ 2,1/ 2)T = 。 当 3=1 时 , 解方程 ()EAX=0,由 10 0 100022 011022 000AE= ， 得特征向量 (0, 1, 1)T. 取3(0,1/ 2,1/ 2)T = 。 于是有正交矩阵123(, , )Q = 和正交变换 X QY= , 使 f=2y12+5y22+y32。 （ 10 分） (2) 因为该二次型的正惯性指数为 3，故该二次型为正定二次型。 （ 13 分） 14. 解：设 A =“顾客买下该箱玻璃杯”，iB =“该箱中恰有 i个残次品”， 。 0,1i =（ 1）由全概率公式有
11、001() ( )( | ) ( )( | )PA PB PAB PBPAB=+1228722880.8 0.2 0.95CCCC=+= 。 （ 7 分） 第 2 页 共 4 页 （ 2）由贝叶斯公式有 000001()(| )(|)()(| ) ()(|)PB PABPB APB PAB PB PAB=+128282287880.80.8420.8 0.2CCCC=+=。 （ 13 分） 15. 解：设 (,)X Y 的联合概率密度函数为 2(,)(, )0(,)x yGfxyx yG=02,0 1() (, )0,xXdy xfx fxydy+ =其他2, 0 10,x x =其他同理12
12、,0 1() (,)0,yYdx yfy fxydx+ =其他2(1 ), 0 10,y y =其他因为 (, ) () ()XYf xy f xf y ，所以 ,X Y 不独立。 （ 7 分） 131001222|33EX x xdx x= = =， 123100222(1 ) ( )|133EY y y dy y y= =13xGEXY xydxdy xydy dx= ， 10022112000 012 2 |2xxx ydy dx x y dx= 124100112|24xxdx x= = =14， 121 1(,) 043336Cov X Y EXY EXEY= =， 故 ,X Y 相
13、关。 （ 13 分） 16.解：先求 的矩估计量 ()1xxEX xe dx e xe dx+ + = =() |xxexde exe ed+ += = xx0 | xeee eee + = + = 第 3 页 共 4 页 ee e=+=1+。 1A X= 。 令1A1 = ，则有 1X = , 即为 的矩估计量。 （ 7 分） 再求 的最大似然估计量。似然函数为 1111(, , ;) (;)niiinnnxxniiiLx x f x e e=“ , 1lnniiL nx=, ln0dLnd=, 即 ln L为 的递增函数，又因为对任意的 i，有ix ，故 的最大似然估计值为 miniix = 。 最大似然估计量为 miniiX = 。 （ 13 分） 五、证明题（每小题 6 分，共 6 分） 17. 证明：由 得到 30A =3AE E = ， 即 ， （ 3 分） 2()( )AEA AE E+=故 2()( )AE A AE E+=， 因而 A E 可逆。 （ 6 分） 第 4 页 共 4 页
