1、高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 1 / 24高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 50 道一、单选题1.函数 y=cosx|tanx|（0x 且 x ）的图象是下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象 【解析】【解答】解：当 0 时，y=cosxtanx0，排除 B，D 当 时，y=cosxtanx0，排除 A故选：C【分析】根据 x 的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案=2.若 ， 都是锐角，且 ，则 cos=（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【考点】两角和与差的余
2、弦函数 【解析】【解答】解：， 都是锐角，且 ， cos= = ，cos（ ）= = ，高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 2 / 24则 cos=cos（ ）=coscos（ ）+sinsin（ ）= + = ，故选：A【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得 cos=cos（）的值=3.设 为锐角，若 cos = ，则 sin 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考点】二倍角的正弦 【解析】【解答】 为锐角，cos = ， ， = = 则 sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式 求出正弦
3、的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。=4.sin15sin105的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】sin15sin105=sin15cos15= sin30= ， 故答案为：A 【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。=5.已知向量 =（1，cos）， =（1，2cos），且 ，则 cos2 等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，二倍角的余弦 高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 3 / 24【解析】【解答】解：由
4、向量数量积的性质可知， =12cos2=0即cos2=0cos2=0故答案为：B【分析】由两向量垂直时，两向量的数量积为零，可得到 12cos2=0，根据二倍角的余弦公式可得cos2=0.=6. =（ ） A. B. C. - D. - 【答案】A 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：sin =sin = ， 故选：A【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果=7.在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C 【考点】两角和与差的正弦函数 【解析】【
5、解答】解析：2cosBsinA=sinC=sin（A+B）sin（AB）=0， 又 B、A 为三角形的内角，A=B答案：C【分析】在ABC 中，总有 A+B+C=，利用此关系式将题中：“2cosBsinA=sinC ，” 化去角 C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题=8.设角 的终边经过点 P（ 3，4），那么 sin+2cos=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】任意角的三角函数的定义 【解析】【解答】解：由于角 的终边经过点 P（ 3，4），那么 x=3，y=4，r=|OP|=5， sin= = ，cos= = ，sin +2cos= ，高一数学 三角函数及恒等公
6、式 经典题 常考题 共 50 道Page 4 / 24故选 C【分析】根据任意角的三角函数的定义求得 sin= 和 cos= 的值，从而求得 sin+2cos 的值=9. 等于（ ） A. 1 B. 1 C. D. 【答案】C 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：sin =sin（504+ ）=sin = ， 故选：C【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值=10.已知 sin+cos=- ， ， 则 tan 的值是（ ） A. - B. - C. D. 【答案】B 【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】因为 sin+cos=- ， 又 sin2+cos2=1，所
7、以 sin= ， cos= ， 所以 tan=故选 B【分析】通过平方关系式与已知表达式，求出 sin，cos，即可得到结果=11.（ 2015安徽）已知函数 f（x ）=Asin （ + ）（A, , 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 x= 时，函数 f（ x）取得最小值，则下列结论正确的是 A. f（2 ） f（ -2） f（0） B. f（0 ） f（2 ） f（-2 ）C. f（-2） f（ 0） f（2） D. f（2） f（0 ） f(-2)【答案】A 【考点】三角函数值的符号，三角函数中的恒等变换应用 高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 5 /
8、24【解析】【解答】由题意 f（ x）=Asin（ + ）（A, , 均为正的常数）， T= = ,所以 =2，f（x）=Asin（ ),而当 x= 时解得 =,k z 时，要比较 f（2），f（-2），f （0 ）的大小，所以 f（2） f（-2） f（0）【分析】对于三角函数比较大小的问题，先得出三角函数解析式，然后比较解析式进行判断，得出函数图像特征进行判断。=12.已知向量 =（cos，sin）， =（1， 2），若 ，则代数式 的值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，同角三角函数间的基本关系，三角函数的化简求值 【解析】【解答】解
9、：向量 =（cos，sin）， =（1，2 ），若 ， 可得：sin=2cos= =5故选：C【分析】利用共线向量的关系，求出正弦函数与余弦函数的关系，代入所求表达式求解即可=13.若 sin（+A）= ，则 cos（ A）的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：sin （+A）=sinA= sinA= cos（ A）=cos（+ A）= cos（ A）=sinA= 故答案选 C【分析】先通过诱导公式求出 sinA 的值，再通过诱导公式化简 cos（ A）进而求值=14.下列各式中，值为 的是（ ） A.B
10、.高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 6 / 24C.D.【答案】C 【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】 ， ， ， ， 故答案为：C【分析】利用二倍角的正与、余弦公式求逐一求出结果即可。=15.已知 sin2= ，则 cos2（ ）=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】sin2 = ，cos 2（ ）= 故答案为：B【分析】借助二倍角的余弦公式整理化简原有的代数式 ，代入数值求出结果即可。=16.设 ， 为锐角，且 sin = ，cos = ，则 + 的值为（ ） A. B. C.
11、D. 【答案】C 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：， 为锐角， +（0，）， sin = ，cos = ， cos= = ，sin= = ，cos（+）=coscos sinsin= = ，故 += ，故选：C高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 7 / 24【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 cos、sin 的值，再利用两角和的余弦公式求得 cos（+ ）=coscossinsin 的值，结合 + 的范围，可得 + 的值=17.已知 ，3sin2 =2cos ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】运用诱导公式化简求值
12、 【解析】【解答】 ，3sin2 =2cos ，sin = ，cos = ， 故答案为： C【分析】首先由题意借助角的取值范围再结合同角三角函数的关系式 sin2 + cos 2 =1 求出 cos 的值，再由诱导公式 的公式求出结果即可。=18.设 为第四象限的角，cos = ，则 sin2 =（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【考点】二倍角的正弦 【解析】【解答】 为第四象限的角，cos = ，sin = = ，则 sin2 =2sin cos = ， 故答案为：D 【分析】由同角三角函数的关系 =1 求出 sin 的值，再结合二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。=19.已知
13、则 cos(+)的值为（ ） A. - B. - C. D. 【答案】B 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】因为 ， ，所以 ， ，又因为 ， ，所以 ， ，高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 8 / 24故 ，故答案为：B.【分析】根据已知角的取值范围分别得出 +、 + 的取值范围，再借助两角和差的正弦公式以及同角三角函数的关系式求出对应的正弦和余弦值，整理要求的 cos ( + )运用整体思想求出结果。=20. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【考点】二倍角的正弦 【解析】【解答】 = 故答案为：D【分
14、析】利用二倍角的正弦公式 分子分母同时乘以需要的正弦值整理化简原有的代数式即可求出结果。=21.已知当 时，函数 y=sinx+acosx 取最大值，则函数 y=asinxcosx 图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的对称性 【解析】【解答】解：当 时，函数 y=sinx+acosx 取最大值， 解得： ， ， 是它的一条对称轴，故选 A【分析】由题意知当 时，函数 y=sinx+acosx 取最大值，把值代入表示出最大值，求出 a 的值，把求出的值代入三角函数式，表示出对称轴，得到结果=高一数学 三角函
15、数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 9 / 2422.已知 cos（ ）+sin= ，则 sin（+ ）的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考点】两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】解：cos（ ）+sin= cos+ sin= sin（+ ）= ，sin（+ ）= ，则 sin（+ ）= sin（+ ）= ，故答案为：B【分析】由两角差的余弦公式进行化简可得 sin（+ ）= ，根据三角形诱导公式可得答案.=23.如图圆 C 内切于扇形 AOB，AOB= ，若在扇形 AOB 内任取一点，则该点在圆 C 内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【
16、考点】几何概型，扇形面积公式 【解析】【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆 C 的半径为 r， 试验发生包含的事件对应的是扇形 AOB，满足条件的事件是圆，其面积为C 的面积= r2 ， 连接 OC，延长交扇形于 P由于 CE=r，BOP= ，OC=2r，OP=3r，则 S 扇形 AOB= = ；C 的面积与扇形 OAB 的面积比是 概率 P= ，故选 C高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 10 / 24【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形 AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形
17、的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形 OAB 的面积与P 的面积比=二、解答题（共 20 题；）=24.（ 2015北京卷）已知函数（1 ）求 的最小正周期； （2 ）求 在区间 上的最小值 【答案】（1）解： 的最小正周期为 ；（2 ）解： 因为 ， 所以 当 时，f(x)取得最小值为：【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用 高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 11 / 24【解析】 【分析】先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为 f ( x ) = A sin ( x + ) + m 形式，再利用周期公式
18、T = 2 / 求出周期，第二步由于 - x 0 ,则可求出 - 3 / 4 x + /4 /4 ,借助正弦函数图像找出在这个范围内当 x + /4 = - /2 ,即 x = - 3 /4 时， f ( x ) 取得最小值为： .=25.化简： 【答案】解：原式= =1 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】根据诱导公式化简计算即可=26.已知角 为第三象限角， ,若 ，求 的值. 【答案】解： ，从而 ，又 为第三象限角，则 ，即 的值为 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】由题意利用三角函数值的诱导公式“奇变偶不变符号看象限 ”对原式进行化简，再结合同角三角函数的基本关
19、系式求出 cos 的值。=27.已知 是第三象限角，且 f（）= （1 ）化简 f（）；（2 ）已知 cos（ ）= ， 求 f（ ）的值 【答案】解：（1） 已知 是第三象限角，f（）= = =cos高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 12 / 24（2 ） cos（ ）= sin= ，sin= ，f（）=sin = +5= 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】（1）由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简可得所给式子的值，可得结果（2 ）由条件利用诱导公式求得 sin= ， 由此可得 f（）=sin 的值=28.已知 sin= ，求 的值
20、【答案】解：sin= ， 原式= =sin= 【考点】三角函数的化简求值，运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，约分后将 sin 的值代入计算即可求出值=29.若 sin( - )= ， 求 cos( - )的值 【答案】解：sin （ ）= ，cos（ ）=cos （ +）= cos（ +）= sin （ +）=sin （ ）= 【考点】诱导公式的作用 【解析】【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值=30.已知向量 =（ ， 2）， =（sin（ +2x），cos2x）（x R）设函数 f（x ）= （1 ）求 的值； （2 ）求 f
21、（x）的最大值及对应的 x 值 【答案】（1）解： ，高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 13 / 24（2 ）解： = 当 ，即当 时， 【考点】平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象 【解析】【分析】（1）根据 f（x）= 得到函数 f（x）的解析式，然后把 x= 代入解析式即可；（2 ）根据两角和与差的正弦函数公式对函数进行整理，再结合三角函数在闭区间上的最值讨论即可得到函数的值域=31.已知 sin= ， 求 cos2 的值； 【答案】解：已知 sin= ， ， cos=1-sin2=【考点】二倍角的余弦 【解析】【分析】由条件利
22、用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得要求式子的值=32.已知 为锐角且 . （1 ）求 tan 的值； （2 ）求 的值 【答案】（1）解： ， ，即 ，解得 tan = .（2 ）解： = = =cos +sin . 为锐角且 tan = ，sin = ，cos = ，可得 cos +sin = 高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 14 / 24【考点】两角和与差的正切函数，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)根据题意利用两角和的正切公式 展开求出 tan 即可。(2) 利用两角和的正弦公式展开再结合二倍角的余弦公式 整理化简得到 cos +sin ，借助
23、(1)的结果求出 sin 、cos 的值，故而得出结果。=33.已知 cos= ， 且 为第三象限角（1 ）求 sin 的值；（2 ）求 f（）= 的值 【答案】解：（1） cos= ，且 为第三象限角sin= = = （2 ） f（）= = = 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】（1）由已知及同角三角函数关系式即可求 sin 的值（2 ）由诱导公式化简后代入（1 ）的结果即可求值=34.求值：sin45cos15 cos45sin15 【答案】解：sin45cos15 cos45sin15=sin（45 15）=sin30= 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【分析】直接利用
24、两角差的正弦得答案=35.（ 2015湖南）设 的对边分别为 且 为锐角，问：（1）证明： B - A = ，（2 ）求 sin A + sin C 的取值范围 （1 ）（1 ）证明：（2 ）（2)求 的取值范围 【答案】（1）证明：由 a = b tan A , 及正弦定理，得 sin A /cos A = a /b = sin A/ sin B 所以 sin B = sin ( /2 + A), 又 B 为锐角.因此 /2 + A ( / 2 , )，故 B = /2 + A 即 B - A = /2.（2 ）【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用，正弦定理 高一数
25、学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 15 / 24【解析】【解答】（1）由 及正弦定理，得 所以又 为锐角.因此 ， 故 即（2 ）由(1) 知， 所以 ， 于是= 因为所以 , 由此可知 的取值范围是【分析】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三
26、角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.=36.已知 ，且 = （1 ）求 tan 的值； （2 ）求 的值 【答案】（1）解： ，sin = ，cos = = ，tan = = （2 ）解：sin = ，原式 【考点】同角三角函数基本关系的运用，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)由题意结合角的取值范围利用条件三角函数的关系式 求出 cos 的值代入到正切公式 中求出值即可。(2)利用二倍角的余弦公式 整理原式代入数值求出结果即可。=高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 16 /
27、 2437.设函数 ，其中 02； （）若 f（x ）的最小正周期为 ，求f（x）的单调增区间；（）若函数 f（x）的图象的一条对称轴为 ，求 的值 【答案】解：（）f（x ）= sin2x+ =sin（2x+ ）+ T=，0， ，=1令 ，得 ，所以 f（ x）的单调增区间为： （） 的一条对称轴方程为 ， 又 02 ， k=0， 【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式 高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 17 / 24【解析】【分析】（）利用辅助角公式将 f（x）= sin2x+ 化为：f（x）=
28、sin（2x+ ）+ ，T= ，可求得 ，从而可求 f（x）的单调增区间；（）由 f（x）的图象的一条对称轴为 ，可得到： ，从而可求得 = k+ ，又 02，从而可求得 =38.已知角 终边上一点 P（4，3 ），求 【答案】解：角 终边上一点 P（4 ，3 ）， tan= = ； = = = =tan= 【考点】任意角的三角函数的定义，三角函数的化简求值 【解析】【分析】根据定义求出 tan 的值，再化简题目中的代数式并代入求值=39.已知函数 f（x）=4sinxcos （x+ ）+m（xR，m 为常数），其最大值为 2 （）求实数 m 的值；（）若 f（）= （ 0），求 cos2 的
29、值 【答案】解：（）函数 f（ x）=4sinxcos（x+ ）+m（xR，m 为常数）， 化简可得：f（x）=4sinxcosxcos 4sin2xsin +m=sin2x2 sin2x+m=sin2x+ cos2x +m=2sin（2x+ ） +m高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 18 / 24最大值为 2即 2 +m=2，可得 m= （）由 f（）= （ 0），即 2sin（2+ ）= sin（2+ ） = 0 2+ cos（2+ ） = ；那么 cos2=cos（2 ） =cos（2+ ）cos +sin（2+ ）sin = 【考点】三角函数中的恒等变
30、换应用，正弦函数的图象 【解析】【分析】（）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin（x+ ）的形式，求出最大值，令其等于 2，可得实数 m 的值（ ）f（）= （ 0）带入计算，找出等式关系，利用二倍角公式求解即可=40.如图，正方形 ABCD 中边长为 1，P、Q 分别为 BC、CD 上的点，CPQ 周长为 2 （1 ）求 PQ 的最小值； （2 ）试探究求PAQ 是否为定值，若是给出证明；不是说明理由 高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Page 19 / 24【答案】（1）解：设CPQ=，则 CP=PQcos，CQ=PQsin （ ）
31、（2 ）解：分别以 AB，AD 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 设 Q（x，1），P （1 ，y），设DAQ=，PAB= ，即 xy+（x+y） =1又 tan=x，tan=y ， 【考点】两角和与差的正弦函数，两角和与差的正切函数，正弦函数的定义域和值域 【解析】【分析】（1）根据 CPQ 周长为 2，并且 CPQ 是直角三角形，设CPQ=，根据三角函数的定义，CP=PQcos ，CQ=PQsin，因此可以表示出 ，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以 AB，AD 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设 Q（x，1 ），P （1，y ），利用两点间距离
32、公式求出 PQ，根据CPQ 周长为 2，找出 x，y 的关系，求出PAQ 的正切值，即可求得结果=41.已知向量 v=（sinx，1）， =（sinx，cosx+1） （I）若 ，求所有满足条件的向量 、 的坐标；（II）若函数 f（ x）= ，x ， ，求函数 f（x）的最大值及取得最大值时的 x 值 【答案】解：（I ）由 ，得 sinx（cosx+1）=sinx， sinxcosx=0，又 sin2x+cosx2=1，解得 或 所以满足条件的向量 ， 有 =（0，1 ）， =（0，2 ）或 =（0，1）， =（0 ，0）或 高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共 50 道Pag
33、e 20 / 24=（1，1）， =（1，1）或 =（ 1，1）， =（ 1，2）（II）函数 f（x）= =sin2x+cosx+1=cos2x+cosx+2，x ， ，cosx0，1，令 cosx=t，则 f（x）的解析式可化为 f（t）=t 2+t+2=（t ） 2+ ，t0 ，1，故当 t= ，即 x= 时，函数 f（x ）取得最大值，最大值为 【考点】平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【分析】（）根据向量平行得到 sinx（cosx+1）=sinx，再根据又 sin2x+cosx2=1，解得sinx，cosx ，即可得到所有满足条件的向量 、 的坐标，（）根据向量的数量积公式，和同角的三角函数的关系，利用换元法，根据二次
