1、第1页共1 0页22对数函数一、对数的概念1定义：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数_x_叫做以_a_为底_N_的对数，记作_xlogaN_2相关概念：(1)底数与真数：其中，_a _叫做对数的底数，_N_叫做真数(2)常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为_lgN_；以无理数e2.71828为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为_lnN_二、对数与指数间的关系当a0，a1时，axN _xlogaN_.前者叫指数式，后者叫对数式它们之间的关系如图所示指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称a x N指数式axN底数指数幂对数式xlo
2、gaN底数对数真数三、对数的性质性质1 _负数和零_没有对数性质2 1的对数是_0_，即loga1_0_(a0，且a1)性质3底数的对数是_1_，即logaa_1_(a0，且a1)第2页共1 0页对数的运算一、对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MN)logaMlogaN；2logaMNlogaMlogaN；3logaMn.nlogaM(nR)二、对数换底公式logablogcblogca(a0，且a1；c0，且c1；b0)特别地：logablogba1(a0，且a1；b0，且b1)2由换底公式得到的常用结论(1) ccb aba logloglog (2) ab ba
3、 log1log (3) bnmbaman loglog (4) NaNa log(5) Na Na log(6) 01log a(7) 1log aa第3页共1 0页对数函数及其性质一、对数函数的概念函数_ylogax(a0，且a1)_叫做对数函数，其中_x_是自变量，函数的定义域是_(0，)_二、对数函数的图象与性质a a1 0a1图象定义域(0，)值域R定点过定点(1,0)，即x1时，y0单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数三、反函数对数函数ylogax(a0，且a1)和yax(a0，且a1)互为反函数注：反函数的图像关于直线y=x对称第4页共1 0页对数与对数函数1有以下四个
4、结论：lg（lg10）=0；ln（lne）=0；若10=lgx，则x=10；若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（）ABCD2下列等式成立的有（）1lg 2100 ；3 3log 3 3 2；2log 52 5；ln 1ee ；lg33 3；ABCD3若lg lgx y a ，则3 3lg( ) lg( )2 2x y =（）A3a B32a Ca D2a4已知5 2a ，则5 2log 80 3log 10 （）A4 3 2a a B4 3 2a a Ca2 D34 2a a 5计算6 62log 3 log 4的结果是（）A6log 2 B2 C6log 3 D36已知121log a，
5、那么a的取值范围是( )A210 a B21a C121 a D210 a或a17函数22( ) log ( 2 3)f x x x 的定义域是A3，1 B（3，1）C（，3 1，+）D（，3）（1 ,+）8为了得到函数3lg 10xy 的图象，只需把函数lgy x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度第5页共1 0页C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度9函数212log ( 6 17)y x x 的值域是( )AR B 8, C( , 3 D 3,1 0设5log
6、 4a， 25log 3b，4log 5c，则（）Aa c b Bb c a Ca b c Db a c 1 1若3 1 2log 19 x ，则x=12若2log 2 ,log 3 , m na am n a ；1 3若2 5 10a b ，则1 1a b 14函数( ) log (2 1) 2af x x （a0且a1）必过定点1 5、函数42 , 0,( ) log , 0.x xf x x x 若0 1( ) ,2f x 则0x =16（2015河南源汇区一模）设21 0 2321 3(2 ) ( 9.6) (3 ) (1.5)4 8m ；74 log 23 27log lg25 lg
7、4 73n 求m+n的值第6页共1 0页17计算下列各式的值：（1）4log 20 0.5 29(ln5) ( ) (1 2) 24 （2）2 3log 1 lg3 log 2 lg5 18已知3( ) 2 logf x x ，x1，9（1）求2 2 ( ) ( )y f x f x 的定义域；（2）求2 2 ( ) ( )y f x f x 的最大值及当y取最大值时x的值1 9、求函数 22log 4y x 的值域和单调区间第7页共1 0页参考答案1【答案】C【解析】由log 1,log 1 0a aa 知正确2【答案】B【解析】21lg lg10 2100 ；3分析：直接利用对数的性质化简
8、表达式，然后把lg lgx y a 代入即可【答案】A【解析】3 3lg( ) lg( ) 3(lg lg2) 3(lg lg2) 3(lg lg ) 32 2x y x y x y a 故选A4【答案】D【解析】5 2a ，5log 2a，5 2 5 5 2 2log 80 3log 10 log 5 log 16 3(log 2 log 5) 5 2 5 531 4log 2 3 3log 5 4log 2 2log 2 34 2a a 故选：D5【答案】B【解析】6 6 6 6 62log 3 log 4 log 9 log 4 log 36 2 故选：B6【答案】D【解析】当a1时，由
9、aaa log21log 知21a，故a1；当0 17【答案】D【解析】由2 2 3 0x x ，即( 3)( 1) 0x x 解得x3或x1。故选：D8【答案】C【解析】函数3lg 10xy =lg( 3) 1x ，由“左加右减”知，选C9【答案】C【解析】令2 6 17u x x ，u的值域是 8,，所以12logy u的值域是 , 3 1 0【答案】D【解析】因为4 4log 5 log 4 1c c ，5 50 log 4 1,0 log 3 1a a ，所以 25 5 5 5log 3 log 3log 4 log 4b a ，所以b a c ，故选1 1【答案】-1 3【解析】由指
10、数式与对数式互化，可得1 2 39 x ，解得13x1 2【答案】1 2【解析】2log 2 log 3 log 4 log 3 4 3 12a a a aa a a 1 3【答案】1【解析】因为2 10,a 所以2 1log 10 lg2a ，又因为5 10,b 所以5 1log 10 lg5b ，所以原式=lg2 lg5 1 14【答案】（0，2）分析：根据函数logay x过定点（1，0），得函数( ) log (2 1) 2af x x （a0且a1）必过定点（0，2）第9页共1 0页【解析】由于函数logay x过定点（1，0），则在函数( ) log (2 1) 2af x x 中
11、，令2x+1=1，可得x=0，此时( ) log (2 1) 2 2af x x ，故函数( ) log (2 1) 2af x x （a0且a1）必过定点（0，2）故答案为（0，2）1 5【答案】-1或2；【解析】令0 012 , 12x x ，4 0 01log , 22x x 16【答案】174【解析】21 0 2321 3 3 4 4 1(2 ) ( 9.6) (3 ) (1.5) 14 8 2 9 9 2m ，74 log 23 27 3 15log lg25 lg4 7 1 2 23 4 4n ，1 15 172 4 4m n 17分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可
12、求出，（2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可【答案】（1）32；（2）1【解析】（1）4log 20 0.5 29 3 3(ln5) ( ) (1 2) 2 1 2 1 24 2 2 ，（2）2 3 lg2log 1 lg3 log 2 lg5 0 lg3 lg5 lg2 lg5 lg10 1lg3 1 8【答案】1，3；x=3时，最大值为13分析：（1）把3( ) 2 logf x x 代入2 2 ( ) ( )y f x f x 得到函数的解析式，由21 91 9xx 求得函数的定义域；第1 0页共1 0页（2）令3logu x换元，然后利用配方法求函数的最大值并求得当y取最大值时x
13、的值【解析】（1）3( ) 2 logf x x ，2 2 2 23 3 ( ) ( ) (2 log ) (2 log )y f x f x x x 2 23 3 3log 6log 6 (log 3) 3x x x 函数( )f x的定义域为1，9，要使函数2 2 ( ) ( )y f x f x 有定义，则21 91 9xx ，1x3，即函数定义域为1，3；（2）令3logu x，则0u12 23(log 3) 3 ( 3) 3y x u ，又函数2( 3) 3y u 在3，+）上是增函数，当u=1时，函数2( 3) 3y u 有最大值13即当3log 1x，x=3时，函数2 2 ( ) ( )y f x f x 有最大值为131 9、【答案】 2,；减区间为 ,0，增区间为 0,【解析】设2 4t x ，则2 4 4t x ，y= 2log t为增函数，22 2 2log log ( 4) log 4 2t x 22log 4y x 的值域为 2,再由：22log ( 4)y x 的定义域为R2 4t x 在 0,上是递增而在 ,0上递减，而2logy t为增函数函数y= 22log ( 4)x 的减区间为 ,0，增区间为 0, .
