1、 编号 学 士 学 位 论 文二元二次方程组的解法学生姓名： 布亥里且木阿布拉 学 号： 20030101025 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2003-1 班 指导教师： 阿布拉江阿布都瓦克 完成日期： 年 月 日学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1中文摘要本文主要介绍二元二次方程组的解法和注意点通过实际的例子来解释。关键词：二元二次方程组学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS2目 录中文摘要 1引言 1.总概念 1.二元二次方程组的解法 2（一）第一类型方程组的解法 .2（二）第二类型方程组的解法 .4（1）方程组中一个方程可
2、以分解成两个一次因式： 4（2）两个方程都可以分解成一次因式: 5（3）两个方程都没有一次项的 6（4）可以消去一个未知数的 7（5）可以消去二次项的 8（6）可以消去不是二次项的 9（7）可以消去不包含 xy或 项的 .10.有些特殊形式的方程组的解法 11（一）对称方程组的解法 .11（二）用除法解方程组 .14（三）解二元二次方程组的另一个方法是作图法。 .15总结 16参考文献 17致谢 18学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1引言我们利用代入消元法，因式分解法，消去二次项法和消去一次项法，消去一个未知数法，消去不包含 项法，除法，作图法等方法来解二元二xy或次方
3、程组。.总概念含有两个知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫做二元二次方程。它的一般形式: 220axbycdxeyf其中 不都是零、 是二次项、 是一次项、 是常数, 22,abxcy,dxeyf项。二元二次方程在实数范围内有时只有一个解或无解,大多时有无穷多解。例: (1) 方程 22346340xyxy若当 时它变成一元二次方程:250y化简得: 12,4y所以原方程有两组解: 124xxyy若 给其它数值,同样得到方程的另一组(或两组)解。总之来说,上面的二元二次方程具有无穷多个解。学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS2(2) 方程 ,只有一个解,它
4、的解2230xy23xy与(3) 方程 在实数域中没有解。5从一个二元二次方程和一个二元一次方程或两个二元二次方程所构成的方程组叫做二元二次方程组。从此定义可以看出二元二次方程组有下面的两种基本型,它的一般形式是: () 由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的二元二次方程组： 2200axbycdxeyfmnp这里 同时不等于零,且（）由两个二元二次方程组成的方程组：这里 同时不等于零12,abcc与.二元二次方程组的解法到现在所学过的方程组和二元二次方程组的基本区别未知数的增加和次数的增高。所以解这个方程组的过程中我们基本上通过消去项与降阶把类型()的二元二次方程变成一元二次方程或二元一
5、次方程,把类型()的二元二次方程组变成类型()的二元二次方程组的方法来解决。为了下降方程组的次数,利用关于方程组的同解性定理。下面我们讨论两个类型的二元二次方程组的解法:（一）第一类型方程组的解法这类型方程组的一般形式:2211120xydxeyf学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS32200axbycdxeyfmnp这里 同时不等于零。这种方程组的解法是代入法,具体的做法,与是:把二元一次方程里的一个未知数用另一个未知数来表示,然后代入 二元二次方程。这样原来的二元二次方程就变成了一元方程,并且它的次数总不大于 2。解这个方程,就可以求得一个未知数的值。用这个代入已知的二
6、元一次方程,有可以求得另一个未知数的值。例：解方程组 2256401xyxy解: 225640112xy把 代入 整理后得：24301yx解 得 把此两个值分别代入 后得:23,y212xy253xy例：解方程组 221102x解:由 得 13y把它代入 得:22127413505,4xx学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS4把这些值代入 得:3123,y所以：217543xxyy（二）第二类型方程组的解法这类型方程组的一般形式: 2211120axbycdxeyf这里 同时不等于零1,与 2,ab为了解这类型的方程组应用代入消去项法就得到一元四次方程,解一元四次方程比较难
7、,所以解二元二次方程组时用别的方法。下面我们讨论解有些特别形式的类型二的方程组:（1）方程组中一个方程可以分解成两个一次因式：如果可以把类型二的二元二次方程组的某一方程分解成两个一次因式的积,则此方程组的形式为: 222()()0lxmynpxqyrabcdef此方程组与下面的两个方程组是同解 22200lxynabcdxeyf222pqrxyf例：解方程组 2560112xy学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS5解:由(1)得: 230xy()4xy由 与 分别组成方程组，原方程组变成:2,3, 20120xy 23xy分别解方程组和,得原方程组的解:142xy251y3
8、1xy4351xy（2）两个方程都可以分解成一次因式:如果把方程组的每两个方程都可以分解成一次因式,则方程组为:111222012lxmynpxqyr与下面的四个方程组11220lxyn11220lxmynpqr11220pqrlxmyn11220xy都同解。组成方程组时千万不可以把一个方程的两个因式组成一个组学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS6例：解方程组 224056xyxy解:因式分解得: 12320xy原方程组和下面的四个方程组同解203xy1230xy20xy102xy分别解之,得原方程组的解:185xy245xy364xy4321xy（3）两个方程都没有一次项
9、的这时方程组的形式为: 2211axbycdc如果从(c)里面消去常数项就得到下面的一齐次二元二次方程:220AxByC如果此方程在实数域内不能因式分解,绝对是原方程组无实数解。如果能因式分解,因式分解后与原方程组的方程相结合,形成类型()的二元二次方程组,求出原方程组的解。例：解方程组 226561549xy解:由 得: 178220xy因式分解: 230xy原方程组与下面的两个方程组学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS72254930xy226560xy都同解。解此两个方程组后得原方程组的解1352xy235xy321xy4213xy（4）可以消去一个未知数的方程组()
10、的有些对应系数成比例,则可以消去包含这些系数的项,并且由此得出只能包含 的一元二次方程。根据此新的方程求出 的值,然xy或 xy或后把它代入原方程组就能得出对应它的 的值。xy或(1)若 ,则消去包含 的项,得到组成 的二次方程。1122abd(2)若 ,则消去包含 的项,得到组成 的二次方程。1122ceyx例：解方程组 223963102xyyx解:在此方程组中包含未知数 的项的对应系数成比例。即39612因此,由 得: 32680y解此方程得: 4,y把 代入方程 得: y22147x解得: 1,27x学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS8把 代入方程 得: 2y12
11、810x解得: 3,45x所以原方程组的解为1724y274xy34152xy4152xy（5）可以消去二次项的若二次项的对应系数成比例,即1122abc则可以消去二次项。由此只能得出其中没有二次项的方程,然后把这个方程与方程组的任意方程相结合,形成新的方程组得到原方程组的解。例：解方程组 22014342xyxy解:在这个方程组中二次项的对应系数成比例12因此，由 得： 03xy把 和 组成一个方程组312或20xyxy从而，得出 解此方程 230121x与所以原方程组的解为 211xxyy学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS9（6）可以消去不是二次项的不是二次的项的对应
12、系数成比例，即，则消去不是二次的项，得一个二元二次齐次方程。若此方程1122def在实数域内不能因式分解，绝对是原方程组无实数解。能因式分解，因式分解后与原方程组的任意方程相结合，形成类型（）的二元二次方程组，求出原方程组的解。例：解方程组 223451017822xyxy解: 此方程组中不是二次的项的对应系数成比例，即 ，因此消去4580全部不是二次的项由 得122202xyxy所以原方程组与下面的两个方程组同解 22345130xy2204xyxy由方程组 得 解此方程得 3291x1,2985x方程组 在实数域内无解，但在虚数域内有解，由 得4 4解此方程得 2130y3,452iy总之
13、，方程组的解为学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS10123 45359859851122i ixxxxi iyyyy（7）可以消去不包含 项的x或方程组的两个方程把不包含 对应项的系数成比例，即y或1122cef则消去把 与常数项，得到下面形式的方程2,yx或20AxBD然后把 与 或 与 分别代入原方程组，求出已知xy0yx方程组的解。例：解方程组 223101372xyxy解：在两个方程中不包含 的项的对应系数成比例，即 2把 与 分别代入原方程组，则原方程组与下面的两个方程组0x1y同解，即： 22310xyM22371xyN解此方程，由 得 ，由 得 M210y2
14、40y或 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS11于是， 1,23,452yy所以已知方程组的解是：1200515xxyy3422xxyy.有些特殊形式的方程组的解法（一）对称方程组的解法若将方程组中两个未知元互换，方程组不变，则称该方程组为对称方程组。形式： 2211120axbydxyf如果一个方程组的一组解是 ，则另一组解 在中学,xy数学里只要有解下述形式的方程组： 解这种方程组利用伟达定理，xyab若那么这个方程组的两个根是 。根据解一元二次方程的20Zabxy与求根的公式来解方程的两个解 12Z与21244,ababZ所以原方程组的解：学 士 学 位 论 文BA
15、CHELOR S THESIS12 2 21 12 22 14 4ababxZxZy y 例：解方程组 815xy解：对 构成一个方程 解此方程得：Z20Z12303,总之， 的一个值等于 ，另一个等于 ，所以 ,xy5123553xxyy若 把它可以变成为：abxyab取 把这方程组可以以上的方法来解： 那么对 构成一个yxZ新的方程： 20zab21 244abZZ这里 121212xzxzyy此方程组的解为 2 21 244ababxxyy例：解方程组 2612xy学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS13解： 的两边平方得： (2) 2243xy由 从这个得这样的方程
16、组31y得 2()1xy假设把 与 看成 的根，则 与x21z1z2z1y2xy总之，原方程组的解为 121()xxyy下面我们讨论解一般形式的对称方程组，如果 2211120axbdxfyy那么把此方程组也可以写成如下： 21111222()()()0axbaxdfyy从此方程组中消去含有 的项、变成如下形式 2()0AxyDxyF从中我们得到 的两组解，把这些解放在原方程组得到 的值。然后按x照上述的方法可以得出 的解。,y例：解方程组225104xyx解：我们把转化为原方程组的形式由 得2()1012xyyx 22310840xyxy学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESI
17、S14243xyxy把 的值分别代入方程 1379xyxy用它们可以组成下面的两个方程组：2433719xyxy把解此两个方程组后得已知方程组的解： 3412 121232441xxxxyyyy（二）用除法解方程组有些情况下解方程组时按照此方程组的内在联系利用它的特点解出来比较容易。例：解方程组 224168xy解：由 21得由 2xy得根据一些关于方程组的同解性定理、原方程组和下面的方程组同解 28xy把分式方程转化为正式方程，它 2308xy学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS15所以原方程组的解为1231xxyy（三）解二元二次方程组的另一个方法是作图法。例：解方程组
18、，并画出图像； 260112xy解：由 得：3x将 代入 得：3221610x化简得： 解得： 将 代入 得： 2560x2,553175y将 代入 得： 21323y所以原方程组的解是： 17,35为心，半径为 的圆与有线1,32的交点就是原方程组的解。2yx123-23-yx学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS16总结通过对二元二次方程组的解法，必须要掌握解方程组的两条基本途径：第一是通过分解等方法，达到降次的目的，从而得出一个二元一次方程；第二是通过加减消元等方法，达到消元的目的，从而得出一个一元的方程。这种降次和消元所体现的基本思想，不尽是解二元二次方程组解法指导，
19、而且在其它形式的方程或方程组，乃至在解其它类型的数学题中，也有广泛的应用。学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS17参考文献1谭光宙、丁家泰、赵素兰 主编 中学教学解题方法（代数部分）北京师范大学出版社 1982.12 出版M（157161）2林国泰、司徒永显、邝会雄 主编 初等代数研究教程暨南大学出1996.8 M（323330）3李思华 主编 代数概要与习题（附题解）河北人民出版社 1982.12 出版M（108116）4任中文、段炳燮、蒋佩锦、韩玉琴、乔家瑞、陈俊辉、刘绍贞、张鸿菊主编 初中数学基础知识与例题分析北京师范大学出版社 1983.12 出版M（6768）5李
20、长明、周焕山 主编 初等数学研究高等教育出版社 1995.6 出版M（235237）6艾山喀斯木 主编 代数喀什师范学院数学系初等数学研究中 1995.11出版M（151169）7阿布拉江阿布都瓦克、铁力瓦尔地吾守尔 主编 初等代数（上册）喀什师范学院 2006.8 出版 M（125127）学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS18致谢毕业论文是每个毕业生毕业之前的重要问题。在喀什师范学院的教育下，经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高。 在老师的指导下，我的毕业论文顺利通过。他帮助我批阅了好多次，提供这方面的资料和很好的意见，所以非常感谢他的帮助。在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步：怎样开头，怎样继续，怎样结束。非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师。在他们的教育下，使我在个方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。此致敬礼布亥里且木阿布拉2008 年4 月 日
