1、二元二次方程的解法一、内容综述： 1解二元二次方程组的基本思想和方法 解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元” 和 “降次” 将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 2二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二一”型和“ 二 二” 型，又分别成为 型和型。 “二一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“ 二 二” 型是由两个二元二次方程组成的方程组。 “二一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法） 代入法是解“二一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 把二元一
2、次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 解这个一元二次方程，求得一个未知数的值； 把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 （2）逆用根与系数的关系 对“二一” 型二元二次方程组中形如 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把 x、y 看做一元二次方程 z2-az+b=0 的两个根，解这个方程，求得的 z1 和 z2 的值，就是 x、y 的值。当 x1=z1 时，
3、y 1=z2；当 x2=z2 时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。 注意：不要丢掉一个解。 此方法是解“二一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“ 和积形式”的方程组。 以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 “二二” 型方程组的解法 (i) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二一”型方
4、程组，解得这两个“ 二 一” 型方程组，所得的解都是原方程组的解。 (ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 注意：“二一”型方程组最多有两个解，“二二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 二、例题分析： 例 1解方程组 分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y 为根的一元二次方程来求解。 解
5、法一：由(1)得 y=8-x(3) 把(3)代入(2)，整理得 x2-8x+12=0. 解得 x1=2, x2=6. 把 x1=2 代入(3)，得 y1=6. 把 x2=6 代入(3)，得 y2=2. 所以原方程组的解是 。 解法二：根据根与系数的关系可知：x, y 是一元二次方程， z 2-8z+12=0 的两个根，解这个方程，得 z1=2, z2=6. 所以原方程组的解是 。 注意：“二一”型方程组中的两个方程，如果是以两数和与两数积的形式给出的，这样的方程组用根与系数的关系解是很方便的。但要特别注意最后方程组解的写法，不要漏掉。 例 2 解方程是 x 与 2y 的和,方程是 x 与 2y
6、 的积, x 与 2y 是方程 z2-4z-21=0 的两个根解此方程得:z 1=-3,z2=7, 原方程的解是 说明:此题属于 特殊型的方程组,可用一元二次方程的根与系数的关系来解. 此外 型的二元二次方程组,也都可以通过变形用简便的特殊解法. 例 3 解(1)解法一( 用代入法) 由得:y= 把代入得: x 2- +4( )2+x- -2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0 x 1=3 x 2= . 把 x=3 代入 得:y=1 把 x= 代入 得:y= . 原方程组的解为: 解法二(用因式分解法) 方程(1)可化为(x-2y) 2+(x-2y)-2=0 即(x-2y+2)(x-2y
7、-1)=0 x-2y+2=0 或 x-2y-1=0 原方程组可化为: 分别解得: 说明:此题为 I 型二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元二次方程的特点,采用特殊解法,则较为简便. 例 4 k 为何值时，方程组 。 （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解。 分析：先用代入法消去未知数 y，可得到关于 x 的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，那么就可以根据根的判别式来讨论。 解：将(2)代入(1) ，整理得 k2x2+(2k-4)x+1=0(3) （1）当 时，方程
8、(3)有两个相等的实数根。即 解得： k=1。 当 k=1 时，原方程组有两组相等的实数根。 （2）当 时，方程(3)有两个不相等的实数根。即 解得： k1。 (ii)若方程(3)不是二次方程，则 k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根 x= . 综合(i)和(ii)两种情况可知，当 k1 时，原方程组没有实数根。 注意：使用判别式“”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用 。 例 5解方程组 分析：解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程，再降次转化为一元一次方程解之。本题用代入法消元。 解：由(1)得 y= .(3) 将式(3)代入式(2)
9、，得 2x2-3x( )+( )2-4x+3( )-3=0, 化简，得 4x2-13x-35=0, 即 (x-5)(4x+7)=0 x 1=5, x2=- . 将 x1=5 代入(3),得 y1=3, 将 x2=- 代入(3) ，得 y2=- . 方程组解是： 。 例 6解方程组 。 分析：此方程组是由两个二元二次方程组成的方程组，在(1)式的等号左边分解因式后将二元二次方程转化为一元二次方程。 解：将式(1)分解因式，得 (x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0 即 (3x-4y)(x+y-1)=0 3x-4y=0,或 x+y-1=0. 故只需解下面两组方程组：（1） ； （2） 。 （
10、1）由 3x-4y=0，得 y= x，代入 x2+y2=25, 得 x2+ x2=25, x2=16, x=4, 即 x1=4, x2=-4, 将 x1 和 x2 代入 y= x，得 y1=3, y2=-3. （2）由 x+y-1=0，得 y=1-x，代入 x2+y2=25, 得 x2+(1-x)2=25,整理，得 x2-x-12=0, 即 (x-4)(x+3)=0, x 3=4, x4=-3. 当 x3=4 时, y 3=-3;当 x4=-3 时，y 4=4. 故原方程组的解为： ; ； ； 。 例 7解方程组 。 解：原方程组可化为 ，从而由根与系数的关系，知 x, -y 是方程 z2-1
11、7z+30=0 的两个根。 解此方程，得 z1=2， z2=15。 即 ，故原方程组的解为 。 例 8解方程组 分析：观察方程(2)，把(x-y) 看成整体，那么它就是关于(x-y) 的一元二次方程，因此可分解为(x-y-3)(x-y+1)=0，由此可得到两个二元一次方程 x-y-3=0 和 x-y+1=0。 这两个二元一次方程分别和方程(1)组成两个“二一”型的方程组： 分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解。 解：由(2)得 x-y-3=0 或 x-y+1=0。 原方程组可化为两个方程组： 用代入消元法解方程组（1）和（2），分别得： ， 原方程组的解为 。 错误分析：注意不要将（1）式
12、错误分解为（x+y）(x-y)=1,故而分解为（x-y ）=1 或者（x+y）=1, 这样做是错的，因为当右边0 时，可以分解出无穷多种可能，例如（x+y） (x-y)=1 还可以分解为 x+y=2,x-y= 等等。 例 9解方程组 分析：方程(1)的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的。方程(2)左边是完全平方式，右边是1，将其两边平方，也可以达到降次的目的。 解：由(1)得 , x-4y=0 或 x+y=0. 由(2)得(x+2y) 2=1 x+2y=1 或 x+2y=-1 原方程组可化为以下四个方程组： 解这四个方程组，得原方程组的四个解是： 注意：不要把同一个二元二次方程
13、分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也不要漏解。 例 10解方程组 分析：此方程组是“二二”型方程组，因为方程(1)和(2) 都不能分解为两个二元一次方程，所以需要寻找其它解法。我们先考虑能否换元法。因为 。所以，方程(1)可化为 , 显然此方程组具备换元条件，可以用换元法来解。 解：由(1)式，得 ， 设 x+y=u, xy=v（这种换元是解决问题的关键），则原方程组可化为： 解这个方程组，得： ， 即： 解： ， 解： 无解。 原方程组的解为 。 例 11： 解：设 =z,那么原方程组变为: 解关于 z 和 x 的方程组. 得 经检验 是原方程组的解. 原方程组的解是 。
