1、31.1 两角差的余弦公式知识梳理 两角差的余弦公式【问题导思】 (1)cos 60cos 30 cos(6030)成立吗？(2)cos cos cos( )成立吗？(3)单位圆中(如图 )，AOx，BOx，那么 A，B 的坐标是什么？ 与 的夹角是多少？ OA OB (4)你能用哪几种方法计算 的数量积？OA OB (5)根据上面的计算可以得出什么结论？知识点一 利用两角差的余弦公式求值例 1 求值：(1)sin 460sin(160)cos 560cos(280)； (2)sin 285.规律方法1解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公
2、式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值2两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把所得的积相加变式 求下列各式的值：(1)cos(165)； (2)sin 15sin 105cos 15cos 105.知识点二 给值(式)求值例 2 已知 sin( ) ，且 ，求 cos 的值4 45 4 34规律方法1本题求解的关键在于把角 分解成两角 与 之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如4( )， ( )，(2)( )等2利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公
3、式即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算变式 在本例中，若把 的范围改为：“ ”，其他条件不变，又如何求 cos 的值？54 74知识点三 已知三角函数值求角例 3 已知 、 均为锐角，且 cos ，cos ，求 的值255 1010规律方法1这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值； (2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解2确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定变式 已知 cos ，cos( ) ，且 0 ，求 的值17 1314 2巩固练习1cos
4、 17 等于( )Acos 20cos 3sin 20sin 3 Bcos 20cos 3sin 20sin 3Csin 20sin 3cos 20cos 3 Dcos 20sin 20sin 3cos 32下列关系中一定成立的是 ( )Acos() cos cos Bcos()cos cos Ccos( )sin Dcos( )sin 2 23cos(40)cos 20 sin(40)sin(20)_.4设 (0 ， )，若 sin ，求 cos( )的值2 45 2 4知能检测一、选择题1 cos 80cos 35sin 80cos 55的值是( )A. B C. D22 22 12 12
5、2下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是( )Acos 80cos 20sin 80sin 20cos 60Bcos 75cos 45cos(30)sin 45sin( 30)Csin(45)sin cos( 45)cos cos 45Dcos( ) cos sin 6 12 323cos 15 的值为( )A. B. C. D.6 24 6 24 6 22 6 224已知钝角 、 满足 cos ，cos() ，则 cos 等于( )35 513A. B C. D3365 3365 5475 54755已知 sin sin ，cos cos ，则 cos() 的值为 ( )45 35A.
6、B. C. D925 1625 12 12二、填空题6已知 cos ， 是锐角，则 cos( )_.32 47已知 sin ，(， )，cos ，( ，)，则 cos()_.13 32 45 28已知 cos(30) ，3090 ，则 cos _.1213三、解答题9已知 cos cos ，sin sin ，求 cos( )12 1310已知 tan 4 ，cos( ) ， 、 均为锐角，求 cos 的值3111411已知 cos() ，sin( ) ， ， 2，求 的值45 35 2 32答案【问题导思】 (1)不成立(2)不一定(3) A(cos ，sin )，B(cos ，sin ) 与
7、 的夹角是 .OA OB (4) | | |cos()cos()， cos cos sin sin .OA OB OA OB OA OB (5) cos() cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .例 1 (1) .(2) . 变式 (1) .(2)0 例 2 . 变式 . 例 3 . 变式 .12 6 24 6 24 210 7210 4 3巩固练习 1B 2C 3 4 .12 75知能检测一、选择题 ADABD二、填空题 6 7 86 24 82 315 123 526三、解答题9 【解】 由 cos cos ，两边平方得(cos cos ) 2cos
8、 2cos 22cos cos .12 14由 sin sin ，两边平方得(sin sin )2sin 2 sin 2 2sin sin .13 19得 22(cos cos sin sin ) .1336cos cos sin sin ， cos( ) .5972 597210 【解】 (0， )，tan 4 ，sin 4 cos 2 3 3sin2cos 21由得 sin ，cos .437 17 (0，)，cos( ) ，sin() .1114 5 314cos cos( ) cos()cos sin()sin ( ) .1114 17 5 314 4 37 12cos .1211 【解】 ，cos() ，sin() .2 45 35 2 ，sin( ) ，cos() .32 35 45cos 2cos( )( )cos()cos( )sin()sin() ( )( ) 1.45 45 35 35 ， 2， 2 ，2， .2 32 2 32 2
