1、 DCBA北京昌平区 2019 高三上学期年末考试-数学文数 学 试 卷（文科）（满分 150 分，考试时间 120 分钟）2018.1考生须知：1 本试卷共 6 页，分第 卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答，第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱
2、、破损。不得在答题卡上做任何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1 ） 复数 2i的虚部是A. B. 1C. iD. i（2） “a”是“直线 214ayxyx与 垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件（3 ）在数列 na中 ， 11,)2nayx点 （ 在 直 线 上 ， 则 4a的值为A7 B8 C9 D16（4 ） 如图，在 ,2. =CDA,中 若 则 bA. 21
3、3abB. 13aC. D. 2b（5）已知一个空间几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B 8 C. 12 D. 4（6 ） 函数 ()log()fxx的零点个数为A. 0B. C. 2D. 3（7 ）设不等式组2,4xy0表示的平面区域为 D在区域 内随机取一个点，则此点到直线 +=0y的距离大于 2 的概率是A. 413 B. 513 C. 825 D. 925（8 ）设定义域为 R的函数 )(xf满足以下条件；对任意 0)(,xfRx；对任意 当,21ax有时 ,1221()ff.则以下不等式一定成立的是 ()0fa )(af )3(1f 13(fA
4、. B. C. D. 第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9 ）在 ABC中，若 3b, 1c， os3A，则 a= （10 ）已知 nS是等差数列 na的前 项和，其中2856-3,1,=_;_.aS则（11 ）已知某算法的流程图如下图，则程序运行结束时输出的结果为 （12 ）以双曲线2196xy的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _. (13) 已知函数 ()0,213)xf则 (1)f_;若 2(3)(5faf，则实数 a的取值范围是_.（14 ）过椭圆21(0)xyb上一点 M作直线 ,AB交椭圆于 ,两点，设,
5、MAB的斜率分别为 12,k，若点 ,AB关于原点对称，且 12,3k则此椭圆的离心率为_.OFEDC BA三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15 ） （本小题满分 13 分）已知函数 (23sincos)1fxxx.（）求 ()fx的最小正周期； （）求 在区间 ,42上的最值.(16) （本小题满分 14 分）在四棱锥 EABCD-中，底面 AB是正方形，,O与 交 于 F底 面 ，为 E的中点. （）求证： 平面 ；（）求证： ；（）若 2,ABCE=在线段 上是否存在点 G，使 BE平 面？若存在，求出EGO的值，若不存在，请说明理由
6、(17) （本小题满分 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示.甲组 乙组6 X 8 74 1 9 0 0 3（）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求 X 及甲组同学数学成绩的方差；（）如果 X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于 180 的概率.（注：方差 22221=()().(),nsxxxn其中12,.nxx为 的 平 均 数）（18 ） （本小题满分 13 分）已知函数 321()()fxaxR.（）若 1,a求函数 ()0,2fx在 上的最大值；（）若对任
7、意 ,+，有 ()f恒成立，求 a的取值范围.19. （本小题满分 13 分）已知椭圆 :M21(0)xyab，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2， 且点 A(,1)在椭圆 上. 直线 l的斜率为 2,且与椭圆 M交于 B、 C两点 （）求椭圆 的方程；（）求 ABC面积的最大值.20. （本小题满分 14 分）已知每项均是正整数的数列 12310,a ，其中等于 i的项有 ik个 (1,23) ，设jj kkb21(,)， 2(0mgb ,.（）设数列 12403451,.kk，求 (),(),gg；求 1230aaL的值；（）若 12310a 中最大的项为 50， 比较 (),)g的大小
8、.GABCDEFO昌平区 20182018 学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)题 号 （1） （2） （3） （4） （5 ） （6 ） （7） （8）答案 B A B C A C D B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ）（9） （10）6；9（11） 3 （12） 2(5)16xy（13） -5; 1(,)2 （14） 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15 ）(本小题满分
9、 13 分)解：（）因为 ()23sincos)1fxxx3sinco2()6x.5 分所以 ()f的最小正周期 2T7 分（II）由 5,2,463xxx-9 分当 5,()16f即 时 取 得 最 小 值 ，.11 分当 2,23xxf即 时 取 得 最 大 值 .13 分（16 ） (本小题满分 14 分)解：（I）连接 OF. 由 ABCD是正方形可知,点 O为 BD中点.又 为 E的中点，所以 .2 分又 ,FACF平 面 平 面所以 平面 .4 分(II) 证明：由 ECABDABCD底 面 ， 底 面 ，所以 ,由 是正方形可知, ,又 =,E平 面 ，所以 BDAC平 面8 分
10、 又 平 面 ，所以 9 分(III) 在线段 EO上存在点 G，使 BDE平 面. 理由如下：如图，取 中点 ，连接 C.在四棱锥 ABD-中， 22,OACE=，所以 CE.11 分由（II）可知， ,CE平 面 而 ,BD平 面所以， O平 面 平 面 且 平 面 平 面 ， =因为 ,GOA平 面 ，所以 CBD平 面 . 13 分故在线段 E上存在点 ，使 CGBDE平 面.由 为 中点，得 1.2= 14 分（17 ）(本小题满分 13 分)解：（I）乙组同学的平均成绩为 87903904，甲组同学的平均成绩为90，所以 8061,.4XX2 分甲组同学数学成绩的方差为 22222
11、9)(0)(9)(490)17=s甲 （ 6 分(II)设甲组成绩为 86,87,91,94 的同学分别为 1234,a乙组成绩为 87,90,90,93 的同学分别为 1234,b则所有的事件构成的基本事件空间为：11212324312(,)(),(),(),(),aabbabab34142434(,),(,),(,),.ababab共 16 个基本事件.设事件 A“这两名同学的数学成绩之和大于 180”，则事件 A包含的基本事件的空间为 3234142434(,),(,),(,),(,).ab共 7 个基本事件，716P.13 分（18 ）(本小题满分 13 分) 解：（I）当 a时， 3
12、1(2fx， 2()1fx .1 分令 1()0,.f ， 得 2 分列表：x(0,)1(,2)f1- + 3x2 6 76当 0,时， fx最大值为 72f. 7 分 （） 2()(),fxaa令 12()0,.xax得 若 ,ff在 （ ， -上 ， 单调递减.)()0,()x在 （ -， +上 ，单调递增.所以， f在 a时取得最小值 3211()3afa，因为 2 210,()03af所 以 .0+xfx所 以 当 时 对 任 意 （ ） 不 成 立9 分 若 2,(),()ff所 以 在 （ ， ） 上 是 增 函 数 ，所以当 =0.afx时 ， 有 10 分若 ,)()0,()f
13、x在 （ ， 上 ， 所 以 单调递减.fx在 （ ， +上 ， 所 以单调递增.所以， f在 a取得最小值 3211()3afa，令 2 2113()0,0,.332faaa由 得,().xf所 以 当 0时 对 任 意 都 成 立综上， a的取值范围是 3)2， .13 分（19 ）(本小题满分 13 分)解: ()由题意知 21ab，所以 2b.故所求椭圆方程为214xy.5 分() 设直线 l的的方程为 2xm,则 0.设 12(,)(,)BxyC代入椭圆方程并化简得 2, 6 分由 24()(4)0m,可得 24 . () 由( )，得21,2mx,故 2 2213()(4)3(4)
14、BCxm9 分 又点 A到 的距离为 6d, 10 分故 213(4)2ABCSm2221(4)(),当且仅当 224m,即 时取等号满足( )式.所以 ABC面积的最大值为 . 13 分（20 ）(本小题满分 13 分)解: (I) 因为数列 1240,3,k0,k41，所以 79bb，所以 ()6,(),(),()0gg . 8 分 12310432142aaL .10 分(II) 一方面， ()(mb，根据 jb的含义知 1， 故 0)(1(gm，即 )1()g， 当且仅当 1m时取等号.因为 1230,a 中最大的项为 50，所以当 50m时必有 10mb， 所以 ()(49)50(1)ggg 即当 时，有 ； 当 49时，有 ()g. 14 分
