1、第一章第一章 预预 备备 知知 识识1.1随机变量随机变量的概念引入随机变量的意义 ：建立了集合函数与数学分析中所研究的点函数之间的联系。随机变量的概念定义 ：设 是一样本空间， 是定义在上的单值实函数，则称 X为一个随机变量。称 为随机变量的分布函数。离散型随机变量设离散型随机变量 X，一切可能值为 ，记称 为 X的分布列，也称为 X的概率函数。连续型随机变量定义：对于随机变量 X，若存在非负函数 ，且 ，使 X取值于任意区间的概率称 X为连续型随机变量。随机向量及其分布 定义 ：设 是一样本空间， 是定义在这个样本空间上的 n个随机变量，称为 上的一个 n维随机向量。 随机向量的联合分布函
2、数 设 是样本空间 上的 n维随机向量。称 n元函数是 n维随机向量 的分布函数，也称为 n个随机变量 的联合分布函数。随机变量的独立性 定义 ：设 是 n个随机变量，若对于任意的 n个实数 ，均有则称 n个随机变量是相互独立的。随机变量的独立性设 的分布函数分别为 ，它们的联合分布函数为 ，则上式等价于矩函数一个随机变量矩函数矩函数两个随机变量 联合矩函数 j+k阶原点距j+k阶中心距 矩函数常用的几种矩函数 一阶原点矩 描述概率分布的中心或均值 二阶原点矩 描述平均功率 二阶中心矩 描述概率分布的离散程度。矩函数 相关函数 协方差 相关系数 不相关 描述两个随机变量的线性相关关系柯西 -施
3、瓦茨不等式设 ， 则1.2 条件数学期望条件数学期望定义 ：设 (X,Y)的联合分布函数为 F(x, y)，称为在 X=x 的 条件下 ,随机变量 Y的 条件分布函数.离散型 随机变量 (X,Y), 在 y=yk条件下 X的条件分布函数为称为 条件分布律 .连续型 (X, Y),有为在条件 X=x 下 , 随机变量 Y 的 条件密度函数 . 三、条件数学期望1.条件数学期望概念定义 设 (X, Y)是二维随机变量 ,条件分布函数或 存在，若或则称为在 X=x的 条件下 ,随机变量 X的 条件数学期望 .若 (X, Y)是离散型随机变量 ,则若 (X, Y)是连续型随机变量 ,则例 1： 设随机
4、变量 (X, Y)的联合概率密度为试求 E(Y X=x).解在 “X=x”的条件下 ,有条件概率密度一般有 定理 设函数 g(x)在 R上连续 ,若 则 随机变量 g(X)在 “Y=y”条件下的条件数期望为定义 称为 “Y=y”的条件下 ,随机变量 X的 条件方差 .为随机变量 X 相对于条件数学期望 的偏离程度的衡量指标 .一般 是实值函数 ,而 随机变量的函数仍是随机变量 . 有随机变量的概率性质 .2.条件数学期望性质定理 :设 X,Y,Z是随机变量 ,g()和 h()为 R上连续函数 ,且各数学期望存在 .有1) c是常数 ;证： 1) 对 ,2) a, b是常数 .自证 .3) 如果 X与 Y相互独立 ,则证 :X与 Y 独立 ,自证 .3.全期望公式例 2 ： 常用全数学期望公式 若 Y是离散型随机变量：例 3 设随机变量序列 独立同分布，随机变量 N, N仅取自然数 , E(N)存在，并且 N与相互独立 .随机变量 且 E(Y)存在。试证明：证明：因为 Xk 具有相 同分布 ,则
