1、14.5 条件期望一. 定义设二维随机变量(X,Y), 把在X=x条件下Y的条件分布的期望记作mY|X(x)=E(Y|X=x). 称mY|X(X)为Y关于X的条件期望, 记作E(Y|X). 即E(Y|X)= mY|X(X)注意:E(Y|X)是一个随机变量, 它是X的函数.类似地, mX|Y(y)=E(X|Y=y)X关于Y的条件期望E(X|Y)= mX|Y(Y)它是Y的函数.2离散型设(X,Y)的分布律为PX=ai,Y=bj=pij, i,j=1,2,在X =ai(pi0)条件下Y的条件分布律PY=bj|X=ai=pij/pi, j=1,2,在X =ai(pi0)条件下Y的条件期望mY|X(ai
2、)=j bjpij/piY关于X的条件期望E(Y|X)的可能取值为mY|X(ai)=j bjpij/pi, i=1,2,类似地, X关于Y的条件期望E(X|Y)的可能取值为mX|Y(bj)=i aipij/pj, j=1,2,30 1 2 pi0 0.1 0.2 0.2 0.51 0.3 0.1 0.1 0.5pj0.4 0.3 0.3 1.0 XYX的条件分布律0 1 20 1/4 2/3 2/31 3/4 1/3 1/3XY例1X关于Y条件期望0 1 23/4 1/3 1/30.4 0.3 0.3YE(X|Y)p3/4 1/30.4 0.6 E(X|Y)p4Y的条件分布律0 1 20 1/
3、5 2/5 2/51 3/5 1/5 1/5XYY关于X条件期望0 1 6/5 3/50.5 0.5XE(Y|X)p6/5 3/50.5 0.5E(Y|X)p0 1 2 pi0 0.1 0.2 0.2 0.51 0.3 0.1 0.1 0.5pj0.4 0.3 0.3 1.0 XY5例2设射手的命中率为p, 进行到击中2次为止. 记X为击中第一次时的射击次数, Y为击中第二次时的射击次数.PX=i, Y=j=p2qj-2, i=1,2, j=i+1,i+2, PX=i=pqi-1, i=1,2,PY=j|X=i=pqj-i-1, j=i+1,i+2, i=1,2,+=11)|(ijijjpqi
4、XYE=+=+=111111)(kkkkkkpqikpqpqik令k =j-ipi1+=得E(Y|X)=X+1/pPE(Y|X)=i+1/p=pqi-1, i=1,2,6PY=j=(j-1)p2qj-2, j=2,3, PX=i|Y=j=1/(j-1), i=1,2,j-1, j=2,3,L,3,2,21)|(11=jjjijYXEji得E(X|Y)=Y/2PE(X|Y)=j/2=(j-1)pqj-2, j=2,3,7连续型设(X,Y)的密度为f(x,y)+=dyxfyxfydyxyyfxmXXYXY)(),()|()(|Y关于X的条件期望E(Y|X)=mY|X(X)+= dxyfyxfxym
5、YYX)(),()(|X关于Y的条件期望E(X|Y)=mX|Y(Y)8例3设(X,Y)服从D=(x,y)|0x1,0yx2上的均匀分布xy0y=x21=其他,00,10,3),(2xyxyxf=其他,010,3)(2xxxfX当0x1时=其他,00,1)|(22|xyxxyfXYmY|X(x)=E(Y|X=x)=x2/2得221)|( XXYE =9=其他,010),1(3)(yyyfY当0y1时=其他,01,11)|(|xyyyxfYX)1(21)|()(|yyYXEymYX+=)1(21)|( YYXE +=得10二. 性质根据随机变量函数的期望公式, 有离散型E(g(Y)|X=ai=j
6、g(bj)pij/piE(g(X)|Y=bj=i g(ai)pij/pj连续型+= dyxfyxfygxXYgEX)(),()()|)(+= dxyfyxfxgyYXgEY)(),()()|)(11性质:(1) E(c|X)=c(2) E(aY1+bY2|X)=aE(Y1|X)+bE(Y2|X)(3) 若X与Y相互独立, 则E (Y|X)=E(Y)(4) EE(g(X,Y)|X)=Eg(X,Y)特别地, EE(Y|X)=E(Y)(5) Eg(X)Y|X)=g(X)E(Y|X)(6) 对任意的g(), EY-E(Y|X)2 EY-g(X)2含义: 在最小二乘意义下, m(X)=E(Y|X)是Y的
7、最佳预测.12(1) E(c|X)=c证+=+=2121212121|),(21)(),()()|,()(21dydyxfyyxfbyaydydyxyyfbyayXXYY设X ,Y1,Y2的联合密度为f(x,y1,y2)E(aY1+bY2|X=x)(2) E(aY1+bY2|X)=aE(Y1|X)+bE(Y2|X)证PY=c=1PY=c|X=x=1 E(Y|X=x)=c13)|()|()|()|()(),()(),()(),()(),(2122|211|122),(211),(121212212112121xXYbExXYaEdyxyfybdyxyfyadyxfyxfybdyxfyxfyady
8、dyxfyyxfybdydyxfyyxfyaXYXYXYXXYXXX=+=+=+=+=+(3) 若X与Y相互独立, 则E (Y|X)=E(Y)证fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)=fY(y)()()|()|(|YEdyyyfdyxyyfxXYEYXY=+14(4) EE(g(X,Y)|X)=Eg(X,Y)证m(x)=Eg(X,Y)|X=x+= dyxfyxfyxgdyxyfyxgXXY)(),(),()|(),(|EE(g(X,Y)|X)=Em(X),(),(),()()(),(),(YXgEdxdyyxfyxgdxxfdyxfyxfyxgXX=+= dxxfxmX)()(15(5)
9、 Eg(X)Y|X=g(X)E(Y|X)证Eg(X)Y|X=x=+dyxyyfxgXY)|()(|)|()( xXYExg =(6) EY-E(Y|X)2 EY-g(X)2证记m(X)=E(Y|X)EY-g(X)2=EY-m(X)+m(X)-g(X)2= EY-m(X)2+ E(m(X)-g(X)2+2 E(Y-m(X)(m(X)-g(X)16E(Y-m(X)(m(X)-g(X)=EE(Y-m(X)(m(X)-g(X)|X性质(4)=E(m(X)-g(X)E(Y-m(X)|X性质(5)E(Y-m(X)|X=E(Y|X)-E(m(X)|X)性质(2)=m(X)-m(X)E(1|X)=0性质(5),(1)得EY-g(X)2= EY-m(X)2+ E(m(X)-g(X)2 EY-m(X)217作业1. 设Xi P (i), i=1,2, ,N且相互独立, 记Yk= X1+ X2+ +Xk, Y=YN ,求E (Yk|Y).2. 设XU(0,1), YU(X,1), 求E (Y|X).3. 证明: Eg(X)Y=Eg(X)E(Y|X).
