1、概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1将 3 个小球随机地放到 3 个盒子中去，每个盒子都有 1 个小球的概率为_.2设 A，B 是两事件， ，则 _.(1/4,(|)/3PAB()PAB3掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是 5，则其中有一颗是 1 点的概率是_.4设随机变量 X 的分布函数为 ，则 X 的概率密度为_.0,()ln1,xFe5设总体 XU0，1 ， 是其一个样本，则123,_.123max(,)/P二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设两事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则( )正确.（A） 互不相容; （B） ;
2、 与 ()PAB（C） ; （D）()()P().2一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为 p，q，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )（A） ；(B) ； (C) ；(D) .1pq1p1pq(1)p3设 则 服从 ( )分布(),Xtn2(A) ； （B） ； （C） ； （D ） .2,Fn(,)Fn(,)Fn4设随机变量 X 与 Y 的协方差 则下列结论正确的是 ( )0ovXY(A) X 与 Y 独立； （B ） ;()(XY（C） ； (D) ()()DD)D5.设 为来自正态总体 的一个样本， 分12,n 2(,)N221,()nii
3、SX别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) 2(,);XNn2();ES22();1nS22(1)/(1).Sn三、解答题（6 个小题，共 60 分）1 （10 分）设一仓库中有 10 箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为 5 箱、3 箱、2 箱，三厂产品的废品率依次为 0.1、0.2、0.3，从这 10 箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率.2 （10 分）对一批次品率为 0.1 的产品进行重复抽样检查，现抽取 3 件产品，以 X 表示抽取的
4、 3 件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.3 （12 分）设连续型随机变量 X 的概率密度为 求：（1）系数 a; sin,0()axf，其 它(2) 分布函数 .();3/4/2FxP4 （8 分）设二维随机变量 的分布律为(,)Y求 X 与 Y 的协方差 Cov（ X， Y）及 PX +Y 1.5 （10 分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01(,)yxfx其 它（1）试求关于 X 及 Y 的边缘概率密度；（2）判断 X 与 Y 是否相互独立，并说明理由.6 （10 分）设总体 X 的概率密度为 ，其中 是未(1),01(;)xfx其 它 (1
5、)知参数， 是 X 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量 .12,n四、证明题（2 个小题，共 10 分）1 （5 分）设随机变量 X N（0，1） ，证明随机变量 .(0)YX2(,)N2 （5 分）设 是来自总体 N(, )的样本，证明4321, 222()()XY服从 分布，并写出自由度.2 Y X 0 101 0.3 0.2 0.4 0.1一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)12/9；21/12；31/2；4 ；51/8.1/,(0xef其 它二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1 （D ）2 (C)；3 （B ） ；4 （B） ；5. (C). 三、解答题（6
6、个小题，共 60 分）1 （10 分）解： 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为123,A废品， P(A1)=0.5，P(A 2)=0.3，P(A 3)=0.2，P(B|A 1)=0.1，P(B|A 2)=0.2，P(B|A 3)=0.3 3 分(1) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) 5 分=0.50.1+0.30.2+0.20.3=0.17 7 分(2) 111()|0.5(| 0.2971PAB10 分2 （10 分）解：(1) Xb(3 ，0.1)， 3330.9(0,23)kkPXC分X 0 1 2 3p 0
7、.729 0.243 0.027 0.0017 分(2)PX1=1PX=0=0.271 10 分3 （12 分）解：（1） 01sin;2axda3 分（2） ()()xFftd6 分100,01sin2xtdx,01cos2x,分12241(3)/4/sin.4PXxd分4 （8 分）解： E（X）0.5，E（Y）0.3，E（XY） 0.1 4分Cov（ X， Y）E（XY）E（X）E（Y）0.05 6分PX +Y 1=0.20.40.1=0.7 8 分5 （10 分）解：（1） 4 分()(,)Xfxfyd06,1xy其 它 23,01x其 它8 分()(,)Yfyf1,0yx其 它 ()
8、,0yy其 它（2）X 与 Y 不相互独立，因为 10 分(,)()XYffx6 （10 分）解 （1）矩估计量3 分101()()2Exdx5 分12X(2) 最大似然估计量 对于给定样本值 似然函数为12,nx7 分11()(;)()ni ii iLfx12(),01nnixx， 8 分1()ln()lniilLx1()ln0iidlLx，最大似然估计量为 10 分1lniiiix1lniiiiX四、证明题（2 个小题，共 10 分）1证明 ：X 的概率密度为 1 分21(),xXfxe函数 ， 3 分,0,yxy1(),yhy5 分2() 21()()| ,.yuYXffheYN2证明： 同理 2 分21212(0,)(0,1)XN 34(0,1)XN两者独立 4 分因此 5 分 22134()()()Y
