1、1 第十六章 二次根式 1.二次根式： 式子 a （ a 0）叫做二次根式。 定义包含三个内容 : 必需含有二次根号 “ ”； 被开方数 a0； a 可以是数，也可以是含有字母的式子 。 例 1.下列式子中 ,是二次根式的有 _(填序号 ) （ 1） 32 （ 2） 6 （ 3） 12 （ 4） m （ m 0） （ 5） xy （ 6） 12a （ 7） 35 2.二次根式有意义的条件： 大于或等于 0。 例 2.当 x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ 二次根式中字母的取值范围的 基本依据 ： （ 1）开方数不小于零；（ 2）分母中有字母时，要保证分母不为零。 例 3.已知 x
2、 、 y 为实数，且 2 0 0 9 2 0 0 9 1y x x ，求 xy 的值 3.二次根式的双重非负性： a ： 0a ， 0a 附：具有非负性的式子： 0a ； 0a ； 02a 例 4.若 ,xy为实数，且 2 2 0xy ，则 2009xy的值为（ ） A 1 B -1 C 2 D -2 4.二次根式的性质： （ 1） )0()( 2 aaa （ 2） )0( )0(2 aaaaaa例 5.利用算术平方根的意义填空 （ 1）从运算顺序来看 ； （ 2）从取值范围来看 ； （ 3） 从运算结果来看 例 6. 1、填空：（ 1） 2)12( x - 2)32( x )2( x =_.
3、（ 2） 2)4( = 2、已知 2 x 3，化简： 3)2( 2 xx 1)5(3 1)4(31)3(238)2(2)1(2 xxxxxxx2)4( 2)01.0( 2)31( 2)0(24 201.0 231 20 2)4( 2)01.0( 231?)( 22 有区别吗与 aa2 5.二次根式的乘除法 ： 二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab = a b （ a0， b0）； ab = ab （ a0， b0） 例 7.计算：（ 1） 9 27 （ 2） 2 5 3 2 （ 3） a5 ab51（ 4） 5 a3
4、b31例 8.计算 ： 54 2212 ba 4925 64100 例 9.计算：（ 1） 123（ 2） 3128 （ 3） 364（ 4） 22649ba6.最简二次根式： 必须同时满足下列条件： 被 开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； 被开方数中 不含分母 ； 分母中 不含根式 。 例 10.下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A 18 B ba2 C 22 ba D32例 11.计算： (1) 521312321 (2) 21541)74181(2133 7.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 例 12.下列根式中，与 3
5、是同类二次根式的是（ ） A. 24 B. 12 C. 32D. 18 8.二次根式的加减法： 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 例 13.计算： （ 1） 7 2 3 8 5 50+-（ 2）xxxx 1246932 （ 3） 50511221832 9.有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 例 14.计算： （ 1）（ 38 ） 6 （ 2） 22)6324( （ 3） )52)(32( （ 4） 2)232( （ 5）（ 10 - 7 ）（ - 10 - 7 ） （ 6） 12)323242731(
6、3 第十七章 勾股定理 1.勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a ， b，斜边长为 c，那么 cba 222 。 应用： （ 1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， 90C ，则 22c a b， 22b c a，22a c b） 例 1.在 Rt ABC 中， C=90 若 a=5， b=12，则 c=_； 若 a=15， c=25，则 b=_； 若 c=61， b=60，则 a=_； 若 a b=3 4， c=10 则 SRt ABC =_。 已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，则第三边长为 。 （ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形
7、的另两边。 例 2.在 长方形 ABCD 中， AB=3cm， AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 ABE 的面积为（ ） A、 6cm2 B、 8cm2 C、 10cm2 D、 12cm2 例 3.已知：在 Rt ABC 中， C=90， CD AB 于 D， A=60， CD= 3 ，求线段 AB 的长。 例 4.已知：在 ABC 中， AB=26， BC=25， AC=17，求 S ABC。 2.勾股定理逆定理： 如果三角形三边长 a ,b,c 满足 cba 222 ，那么这个三角形是直角三角形。 应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三
8、角形的一种重要方法。 （定理 中 a ， b ， c 及 2 2 2a b c只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c满足 2 2 2a c b，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边） 例 5.下列四组线段不能组成直角三角形的是（ ） A a=8， b=15， c=17 B a=9， b=12， c=15 C a= 5 ， b= 3 ， c= 2 D a： b： c=2： 3： 4 例 6.若 ABC 的三边 a、 b、 c，满足（ a b）（ a2 b2 c2） =0，则 ABC 是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰
9、三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 3.勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个 正整数 称为勾股数，即 2 2 2a b c中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25 等 例 7.长度分别为 3， 4 ， 5， 12， 13 的五根木棒能搭成 (首尾连接 )直角三角形的个数为 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 8.在三角形 ABC 中， AB=12， AC=5， BC=13，则 BC 边上的高为 AD= . 例 9.如图，有一块地，
10、已知， AD=4m， CD=3m， ADC=90， AB=13m， BC=12m求这块地的面积 4 4.直角三角形的性质 （ 1） 直角三角形的两个锐角互余。可表示如下： C=90 A+ B=90 （ 2）在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半。 C=90， A=30 BC=21 AB （ 3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90， D 为 AB 的中点 CD=21 AB=BD=AD 例 10.如图，在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线， CDA=80，则 A=_ B=_ 例 11.如图所示， BD、 CE 是三角形 ABC 的两条高， M、 N 分别
11、是 BC、 DE的中点，求证： MN DE 5.经过证明被确认正确的命题叫做 定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 例 12.下列命题的逆命题正确的是（ ） A全等三角形的面积相等 B全等三角形的对应角相等 C如果 a=b，那么 a2=b2 D等边三角形的三个角都等于 600 6.证明 ： 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 7.证明的一般步骤 （ 1）根据题意，画出图形。 （ 2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （ 3）经过分析，找出由已知推出求 证的途径，写出证明过程。
12、 例 13.已知：如图 ABC 中， AB=AC=10， BC=16，点 D 在 BC 上， DA CA 于 A 求： BD 的长 提示： 通过两个直角三角形中相等的线段，运用勾股定理列方程解答。 5 第十八章 平行四边形 一平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2平行四边形的性质 角：平行四边形的邻角互补，对角相等； 边：平行四边形两组对边分别平行且相等； 对角线：平行四边形的对角线互相平分； 面积： S=底 高 =ah； 例 1 在 ABCD中，若 A B 40，则 A _， B _ 例 2 若平行四边形周长为 54cm，两邻边之差为 5cm，则这两边的长度分别为 _
13、 例 3 如图， ABCD中， CE AB，垂足为 E，如果 A 115，则 BCE _ 例 4 如图，在 ABCD中， DB DC、 A 65， CE BD 于 E，则 BCE _ 例 3 图 例 4 图 例 5 若在 ABCD中， A 30， AB 7cm， AD 6cm，则 SABCD _ 例 6 平行四边形两邻边分别为 24 和 16，若两长边间的距离为 8，则两短边间的距离为 ( ) 例 7 如图，在 ABCD中， M、 N 是对角线 BD 上的两点， BN=DM，请判断AM 与 CN 有怎样的数量关系，并说明理由 .它们的位置关系如何呢？ 例 8 ABCD 的周长为 60cm，对角
14、线交于点 O， BOC 的周长比 AOB 的周长小 8cm，则 AB=_cm， BC=_cm. 例 9 ABCD中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，若 AC=8， AB=6， BD=m，那么 m 的取值范围是 _. 3平行四边形的判定方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 例 10 已知：如图， 在 ABC 中 ， BD 平分 ABC， DE BC， EF BC， 求证： BE=CF 例 11 已 知：如图，平行四边形 ABCD
15、 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， M、 N分别是 OA、 OC 的中点， 求证： BM DN，且 BM=DN. 例 12 四边形 ABCD 是平行四边形， BE 平分 ABC 交 AD 于 E， DF 平分 ADC 交 BC 于点 F，求证：四边形 BFDE 是平行四边形。 例 13 如图，在 ABCD中， E、 F 分别是边 AB、 CD 上的点，已知 AE CF，M、 N 是 DE 和 FB 的中点，求证：四边形 ENFM 是平行四边形 例 14 已知：如图， ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线上一点，过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延长 线
16、交于点 F，连结 AE、 CF求证： CF AE. A BDOCNMDCBANM OCBDA6 二、 特殊的平行四边形 （一） 矩形 1、 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、 矩形的性质 边：对边平行且相等； 角：四个角都是直角 ； 对角线：对角线互相平分且相等； 例 15 已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且 AC=2AB。 （ 1）求证： AOB 是等边三角形。 （ 2）本题若将 “AC=2AB”改为 “ BOC=120”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？ 3、矩形的判定： 边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321 四边形
17、 ABCD 是矩形 . 例 16 已知 ABCD的对角线 AC、 BD 相交于点 O， AOB 是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积 例 17 已知：如图 ，在 ABC 中， C 90， CD 为中线，延长 CD 到点 E，使得 DE CD连结 AE， BE，则四边形 ACBE 为矩形 （二） 菱形 1、 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、 菱形的性质： 边：四条边都相等； 角：对角相等、邻角互补； 对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； 例 18 如图，菱形 ABCD 中， E， F 分别是 CB， CD 上的点，且 BE=DF （ 1）求 证： A
18、E=AF （ 2）若 B=60，点 E， F 分别为 BC 和 CD 的中点求证： AEF 为等边三角形 例 19 如图，菱形 ABCD 的边长为 2， BD=2， E， F 分别是边 AD， CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2 （ 1）求证： BDE BCF； （ 2）判断 BEF 的形状，并说明理由 。 3、 菱形的判定方法： 行四边形）对角线互相垂直的平（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321 四边形 ABCD 是菱形 . 例 20 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？ 求证：（ 1）四边形 ABCD 是平行四边形 (2) 过 A 作 AE
19、 BC 于 E 点 , 过 A 作 AF CD 于 F.用等积法说明 BC=CD. (3) 求证：四边形 ABCD 是菱形 . 例 21 如图，在 ABCD中， E， F 分别为边 AB， CD 的中点，连结 DE，BF， BD (1)求证： ADE CBF (2)若 AD BD，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形 ?请证明你的结论 ADBCOODCBAODCBAA B D C E F AB CDEF7 例 22 如图，四边形 ABCD 中， AB CD， AC 平分 BAD， CE AD 交 AB 于 E (1)求证：四边形 AECD 是菱形； (2)若点 E 是 AB 的中点，试判断 A
20、BC 的形状，并说明理由 例 23 如图， ABCD中 ， AB AC， AB 1， BC 5 对角线 AC， BD 相交于点 O，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC， AD 于点 E， F (1)证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF 是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等； (3)在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗 ?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数 （三） 正方形 1、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形 2、正方形的性质： 边：四条边都相等； 角：四角都是
21、直角； 对角线：对角线互 相垂直平分且相等， 每条对角线平分每组对角。 例 24 如图正方形 ABCD 的边长为 8， DM=2， N 为 AC 上一点，则 DN+MN 的最小值为 . 3、正方形的判定方法： 一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321 四边形 ABCD 是正方形 . 例 25 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、 C 两点作 l1 l2，作BM l1 于 M， DN l1 于 N，直线 MB、 DN 分别交 l2 于 Q、 P 点求证：四边形PQMN 是正方形 (四）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半
22、 . 如图 : DE 是 ABC 的中位线 DE BC， DE=21 BC 例 26 如图， ABC 中， D、 E、 F 分别是 AB、 AC、 BC 的中点， （ 1）若 EF=5cm，则 AB= cm；若 BC=9cm，则 DE= cm； （ 2）中线 AF 与 DE 中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想 （五）几种特殊四边形的面积问题 设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a ,b，则 S 矩形 =ab 设菱形 ABCD 的一边长为 a，高为 h，则 S 菱形 =ah；若菱形的两对角线的长分别为 b ,c ，则 S菱形= bc21 例 27 已知菱形的两条对角线分别是 6cm 和 8cm
23、 ，求菱形的周长和面积 例 28 已知菱形 ABCD 的周长为 20cm，且相邻两内角之比是 1 2，求菱形的对角线的长和面积 例 29 如图，四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长 10cm，求（ 1）对角线 AC 的长度；（ 2）菱形 ABCD 的面积 设正方形 ABCD 的一边长为 a ，则 aS 2正方形；若正方形的对角线的长为 b ，则 bS 221正方形8 第十九章 一次函数 一 .常量、变量： 在一个变化过程中 ， 数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 。 例 1 长方形相邻两边长分别为 x、 y，面积为 30，则用含 x 的式子表
24、示 y 为 _ _，则这个问题中， _常量； _是变量 例 2 小军用 50 元钱去买单价是 8 元的笔记本，则他剩余的钱 Q（元）与他买这种笔 记本的本数 x 之间的关系是（ ） A Q=8x B Q=8x-50 C Q=50-8x D Q=8x+50 例 3 甲、乙两地相距 S 千米，某人行完全程所用的时间 t（时）与他的速度 v（千米 /时）满足 vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（ ） A S 是变量 B t 是变量 C v 是变量 D S 是常量 例 4 写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量 （ 1）用 20cm 的铁丝所围的长方形的长 x（ cm）与面积 S（
25、 cm2） 的关系 （ 2）直角三角形中一个锐角 与另一个锐角 之间的关系 （ 3）一盛满 30 吨水的水箱，每小时流出 0.5 吨水，试用流水时间 t（ 小时）表示水箱中的剩水量 y（吨） 二、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中 ,如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 函数的判断：对每一个自变量 x 是否只有唯一的一个函数值 y 和它对应。 三、函数中自变量取值范围的求法： （ 1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （ 2）用分式表示的 函数，自变量的取值范围
26、是使分母不为 0 的一切实数。 （ 3）用二次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数 （ 4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。 （ 5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 例 5 一辆汽车的油箱中现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位： L）随行驶里程 x（单位： km）的增加而减少，平均耗油量为 0.1L/km （ 1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子 （ 2）指出自变量 x 的取值范围 （ 3）汽车行驶 200km 时，油箱中还有多少汽油？ 四、 函数图象的
27、定义： 一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 （一般取五个点） 1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：（按照横坐 标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 9 六、函数有三种表示形式： （ 1）列表法 （ 2）图像法 （ 3）解析式法 例 6 下面的图象反映的过程是：小明从家去菜
28、地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离 根据图象回答下列问题： （ 1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ （ 2）小明给菜地浇水用了多少时间？ （ 3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ （ 4）小明给玉米地锄草用了多少时间？ （ 5）玉米地离小明家多远？小明从玉 米地走回家的平均速度是多少？ 例 7 已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去，下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题： （ 1）甲乙两地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达了乙地？早到多长时间？
29、（ 2）描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态 （ 3）求摩托车行驶的平均速度 例 8 在下列式子中，对于 x 的每一个确定的值， y 有唯一的对应值，即y 是 x 的函数，请你试着画出这些函数的图象： （ 1） y=x+0.5； （ 2） y= 6x （ x0） 例 9 一天，亮亮感冒发烧了，早晨他烧得厉害，吃过药后感冒好多了， 中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了图中能基本反映出亮亮这一天（ 0 24 时）体温的变化情况的是（ ） 例 10 某产品的生产流水线每小时可生产 100 件产品，生产前没有产品积压，生产 3 小时后安排工人装箱
30、，若每小时装产品 150 件，未装箱的产品数量为 y，生产时间为 t，那么 y 与 t 的大致图象只能是（ ） 例 11 如图，向高为 H 的圆柱形空水杯里注水，表示注水量 y 与水深 x 的关系的图象是（ ） 10 例 12 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶， 过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ） 例 13 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离 s（米）与散步所用的时间 t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）
31、 A从家 出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了 B从家出发，一直散步（没有停），然后回家了 C从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了 D从家出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18 分钟后才开始返回 例 14 俊宇某天上午 9 时骑自行车离开家， 15 时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示： 图象表示了哪两个变量的关系？ 10 时和 13 时，他分别离家有多远？ 他可能在什么时间内休息，并吃午餐？ 七、 正比例函数 1、定义 ：一般地，形如 y=kx(k 为常数，且 k0)的函数叫做正比例函数 ， 其中 k 叫做比例系数。 特征
32、：（ 1） k 为常数，且 k0（ 2）自变量的次数是 1 (3)自变量的取值范围为全体实数。 2、 图象 : （ 1) 正比例函数 y= kx (k 是常数， k0) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y= kx 。 必过点 ：（ 0， 0）、（ 1， k） (2)性质 :当 k0 时 ,直线 y= kx 经过第三，一象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；当 kx2，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ） A y1y2 B y10 时，向上平移；当 b0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经
33、过第一、三象限 图象从左到右上升， y 随 x 的增大而增大 k2 B m1 B x1 C x-2 B x-2 C x0（ k0）的解集是 x-3，则直线 y=-kx+2 与 x 轴的交点是 _ 例 46 已知不等式 -x+53x-3 的解集是 x-2 时 y1y2；当 x-2 时 y1y2，则直线 y1=-x+1 和直线 y2=-2x-1 的交点是（ ） A（ -2， 3） B（ -2， -5） C（ 3， -2） D（ -5， -2） 例 50 已知方程 2x+1=-x+4 的解是 x=1，则直线 y=2x+1 与 y=-x+4 的交点是（ ） A（ 1， 0） B（ 1， 3） C（ -
34、1， -1） D（ -1， 5） 例 51 在同一坐标系中画出一次函 数 y1=-2x+1 与 y2=2x-3 的图象，并根据图象回答下列问题：（ 1）直线y1=-x+1、 y2=2x-2 与 y 轴分别交于点 A、 B，请写出 A、 B 两点的坐标 （ 2）写出直线 y1=-2x+1 与 y2=2x-3 的交点 P 的坐标 （ 3）求 PAB 的面积 400300200100246850010x /千米y /升O5 4 3 2 1 -1 3 2 1 O y X 15 快艇轮船816062x / 小时y / 千米0例 52 如图一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程中路程随时间
35、变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），根据图象解答下列问题： （ 1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） （ 2）轮船和快艇在途中（ 不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？ （ 3）问快艇出发多长时间赶上轮船？ 例 53 一种节能灯的功率为 10 瓦（ 0.01 千瓦），售价为 60 元；一种白炽灯的功率为 60 瓦，售价为 3 元 .两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（ 3000 小时以上） .如果电费价格为 0.5 元 /（千瓦 时），消费者选用哪种灯可以节省费用？（ 提示：总费用 =用电费 +灯的售价） 例 54 从 A、 B 两水
36、库向甲、乙两地调水 ,其中甲地需水 15 万吨 ,乙地需水 13 万吨 ,A、 B 两水库各可调出水 14 万吨 .从 A 地到甲地 50 千米 ,到乙地 30 千米 ;从 B 地到甲地 60 千 米 ,到乙地 45 千米 .设计一个调运方案使水的调运量 (单位：万吨 千米 )尽可能小 . 备用图： xyAOB16 第二十章 数据的分析 1.平均数 ： （ 1）算术平均数： 一组数据中， 有 n 个数据nx， 21，则它们的算术平均数为 n xxxx n 21. （ 2）加权平均数 ： 若在一组数字中， x1 的权为 w1 ， x2 的权为 w2 ， ， xn 的权为 wn ，那么 www w
37、xwxwxnnnx 212211 叫做 x1 ， x2 ， xn 的加权平均数。 其中， w1 、 w2 、 、 wn 分别是 x1 ， x2 ， xn 的 权 . 权的理解 :反映了某个数据在整个数据中的 重要程度 。 权的表示方法：比 、 百分比 、 频数（人数 、 个数 、次数等 ）。 例 1 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对 A、 B、 C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示： (1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ (2)根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按 4:3:1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？
38、例 2 老师在计算学期总平均分的时候按如下标准 :作业占 100%、测验占 30%、期中占 35%、期末考试占 35%，小关和小兵的成绩如下表：求两人的平均成绩个是多少？ 学生 作业 测验 期中考试 期末考试 小关 80 75 71 88 小兵 76 80 68 90 例 3 为了鉴定某种灯泡的质量，对其中 100 只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：（单位：小时） 求这些灯泡的平均使用寿命？ 例 4 某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况，对学生作课外作业所用时间进行调查， 右 表是该校初二某班 50 名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表 （ 1）第二组数据的组中值是 多少？
39、（ 2）求该班学生平均每 天做数学作业所用时间 测试项目 测试成绩 A B C 创新 72 85 67 综合知识 50 74 70 语言 88 45 67 所用时间 t(分钟 ) 人 数 0 t10 4 10 t 6 20 t20 14 30 t40 13 40 t50 9 50 t60 4 寿命 450 550 600 650 700 只数 20 10 30 15 25 17 例 5 某班 40 名学生身高情况如下图，请计算该班学生平均身高 例 6 右上 表是截至到 2002 年费尔兹奖得主获奖时的年龄，根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄？ 2.中位数： 将一组数据按照由小到
40、大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数 ，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3.众数： 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 例 7 八年级（ 1）班 45 名同学的身高统计如下： 身高（ m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 人数 2 3 8 12 12 5 2 1 求这组数据的中位数。 例 8 一组数据由 6 个 3， 8 个 11， 1 个 12， 1 个 21 组成，则这组数据的众数是（ ） A、 8 B、 11 C、 21 D、 1 例 9
41、某公司销售部有营销人员 15 人，销售部为了制定某种商品的销售金额，统计了这 15 个人的销售量如下（单位：件） 1800、 510、 250、 250、 210、 250、 210、 210、 150、 210、 150、 120、 120、 210、 150 （ 1）求这 15 个销售员该月销量的中位数和众数。 （ 2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为 320 件，你认为合理吗？如果不合理，请你制定一个合理的销售定额并说明理由。 例 10 某商店 3、 4 月份出售某一品牌各种规格的空调，销售台数如表所示： 1 匹 1.2匹 1.5匹 2 匹 3 月 12 台 20 台 8 台
42、 4 台 4 月 16 台 30 台 14 台 8 台 根据表格回答问题： （ 1）商店出售的各种规格空调中，众数是多少？ （ 2）假如你是经理，现要进货， 6 月份在有限的资金下进货单位将如何决定？ 165 100 5 身高（ cm） 185 175 155 145 15 20 6 70 20 4 人 数（人） 台数 规格 月份 18 4.平均数中位数众数的区别与联系 相同点 ：平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。 不同点 ： 1）、代表不同 平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来 一
43、代表数据的总体 “平均水平 ”。 中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的 “中等水平 ”。 众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的 “多数水平 ”。这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。 2）、特点不同 平均数：与每一个数据都有关 ,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。 中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数 据极端值的影响。 众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察
44、，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响 ,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。 3）、作用不同 平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。 中位数：作为一组数据的代 表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。 众数：作为一组数据的代表，可靠性也比
45、较差，因为它也只利用了部分数据。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的 “集中趋势 ”就比较适合。 例 11 在一次环保知识竞赛中，某班 50 名学生成绩如下表所示： 得分 50 60 70 80 90 100 110 120 人数 2 3 6 14 15 5 4 1 分别求出这些学生成绩的 众数、中位数和平均数 . 例 12 公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：（单位：岁） 甲群： 13、 13、 14、 15、 15、 15、 16、 17、 17。 乙群： 3、 4、 4、 5、 5、 6、 6、 54
46、、 57。 （ 1）、甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是 。 （ 2）、乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁。其中能较好反映乙群游客年龄特征的是 。 例 13 某公司的 33 名职工的月工资（以元为单位）如下： 职员 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 （ 1）求该公司职员月工资的平均数、中位数、众数？ （ 2）假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元，董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） （ 3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？ 19 例 14 某公司有 15 名员工，它们所在的部门及
