1、1三角函数与平面向量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式(2) 公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围2 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为 yAsin(x )的形式，其特征：一角、一次、一函数(2)在讨论 yAsin(x )的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设 tx ，yA sin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的3 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一
2、是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积) ，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现4 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性【自我检测】1 已知角 终边上一点 P(4,3)，则 的值为cos(2 )sin cos(112 )sin(92 )_2 已知 f(x)sin(x) cos(x) 的一条对称轴为 y 轴，且 (0，)，3则 _.3. 如图所示的是函数
3、 f(x)Asin(x )B (A0，0，| | )图(0，2)象的一部分，则 f(x)的解析式为_4 (2012四川改编)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接 EC、ED，则 sinCED_.5. 如图，在梯形 ABCD 中，2ADBC，AD AB，AD1，BC 2，AB3，P 是 BC 上的一个动点，当 取得最PD PA 小值时，tanDPA 的值为_【题型深度剖析】题型一 三角恒等变换例 1 设 0,00)的最小正周期为 2，并且当 x 时，f( x)max2.133(1)求 f(x)的解析式； (2)在闭区间 上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在
4、，求出其214，234对称轴方程；如果不存在，请说明理由题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例 3 已知向量 m ，n .(3sin x4，1) (cos x4，cos2x4)(1)若 mn1，求 cos 的值；(23 x)(2)记 f(x)mn，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac )cos Bbcos C ，求函数 f(A)的取值范围思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值 (2)在ABC 中，求出A 的范围，再求 f(A)的取值范围探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角
5、函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响【训练 3】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 lg alg blg cos Blg cos A0.(1)判断ABC 的形状；(2)设向量 m(2 a，b)，n(a，3b) ，且 mn，( mn)( nm)14，求 a，b，c 的值【高考中的平面向量、三角函数客观题】典例 1：(5 分)(2012山东)函数 y2sin (0x9)的最大值与最小值之和为( )(x6 3)A2 B0 C1 D13 3考点分析 本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想4解题策略 根据整体思
6、想，找出角 x 的范围，再根据图象求函数的最值6 3解后反思 (1)函数 yAsin(x )可看作由函数 yAsin t 和 tx 构成的复合函数(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到典例 2：(5 分)(2012天津)在 ABC 中，A90 ，AB 1，AC2.设点 P，Q 满足 AP ， (1 ) ， R.若 2，则 等于 ( )AB AQ AC BQ CP A. B. C. D213 23 43考点分析 本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力解题策略 根据平面向量基本定理，将题中的向量 ， 分别用向量 ， 表示出BQ CP AB AC 来，再进行数量
7、积计算解后反思 (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想【感悟提高】方法与技巧1研究三角函数的图象、性质一定要化成 yAsin(x )B 的形式，然后利用数形结合思想求解2三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解失误与防范1三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围；2向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角【专项训练 1】1 (2012大纲全国 )ABC 中，AB 边的高为 CD，若5a， b，ab0，|a|1，| b|2，则 等于CB C
8、A AD ( )A. a b B. a b C. a b D. a b13 13 23 23 35 35 45 452 已知向量 a(2，sin x) ，b(cos 2x,2cos x)，则函数 f(x)ab 的最小正周期是( )A. B C2 D423 已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m( ，1)，n(cos 3A，sin A) 若 mn ，且 acos Bbcos Acsin C ，则角 A，B 的大小分别为 ( )A. ， B. ， C. ， D. ，6 3 23 6 3 6 3 34 已知向量 (2,0)，向量 (2,2)，向量 ( cos ， sin
9、 )，则向量 与向量OB OC CA 2 2 OA 的夹角的取值范围是 ( )OB A. B. C. D.0，4 4，512 512，2 12，5125 (2012北京)在ABC 中，若 a3，b ，A ，则C 的大小为_336 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,2) ，B(2cos x，2cos 2x)，C (cos x,1)，其中x0， ，若 ，则 x 的值为_AB OC 7 已知函数 f(x)sin xcos x，且 f(x)2f (x)，f(x) 是 f(x)的导函数，则_.1 sin2xcos2x sin 2x8 (10 分) 已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B
10、(0,3) ，C(cos ，sin )， .(2，32)(1)若| | |，求角 的值；(2)若 1，求 的值AC BC AC BC 2sin2 sin 21 tan 9 (12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2bsin A.(1)求 B 的大小；(2) 求 cos Asin C 的取值范围6【专项训练 2】1 (2012江西)已知 f(x)sin 2 ，若 af (lg 5)，bf ，则 ( )(x 4) (lg 15)Aab0 Bab 0 Cab1 Dab12 已知 a ，b(1， )，则|at b| (tR )的最小值等于 ( )( 12，3
11、2) 3A1 B. C. D.32 12 223在ABC 中， 3，ABC 的面积 SABC ，则 与 夹角的取值范围是 AB BC 32，32 AB BC A. B. C. D.4，3 6，4 6，3 3，24 (2011安徽) 已知函数 f(x)sin(2x)，其中 为实数f(x) 对 xR 恒成立，且 f|f(6)|f()，则 f(x)的单调递增区间是 _(2)5若 00 且 a1)，试讨论函数的(sin2x2 sin4x2)奇 偶性、单调性7三角函数与平面向量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式(2) 公式应用：注意公式的正用、逆
12、用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围2 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为 yAsin(x )的形式，其特征：一角、一次、一函数(2)在讨论 yAsin(x )的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设 tx ，yA sin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的3 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积) ，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值试题
13、一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现4 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性8【自我检测】1 已知角 终边上一点 P(4,3) ，则 的值为_cos(2 )sin cos(112 )sin(92 )答案 34解析 tan .cos(2 )sin cos(112 )sin92 sin sin sin cos 根据三角函数的定义得 tan .yx 34所以 .cos(2 )sin cos(112 )sin(92 ) 342 已知 f(x)sin(x) cos
14、(x) 的一条对称轴为 y 轴，且 (0，)，则 _.3答案 6解析 f(x) sin(x) cos(x)32sin ，由 k (kZ)及 (0，)，可得 .(x 3) 3 2 63. 如图所示的是函数 f(x) Asin(x)B( A0，0，| | )图象的一部分，则 f(x)(0，2)的解析式为_答案 f(x) 2sin 1(23x 6)解析 由于最大值和最小值之差等于 4，故 A2，B1.由于 22sin 1，且| | ，得 .(0，2) 6由图象知 ( )2k (kZ)，2得 2k (kZ)又 2，23 2900.725由于 0,00，所以RP2 RQ2 PQ22RPRQ A2 9 A
15、2 9 4A22A 9 A2 12A .3探究提高 本题确定 的值时，一定要考虑 的范围；在三角形中利用余弦定理求 A是本题的难点【训练 2】已知函数 f(x)Asin xBcos x(A，B， 是常数， 0)的最小正周期为2，并且当 x 时，f( x)max 2.13(1)求 f(x)的解析式；(2)在闭区间 上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不214，234存在，请说明理由解 (1)因为 f(x) sin(x)，由它的最小正周期为 2，知 2，又因A2 B2213为当 x 时，f( x)max2，知 2k (kZ)，2k (kZ)，13 13 2 6所以 f(x
16、)2sin 2sin .(x 2k 6) (x 6)故 f(x)的解析式为 f(x)2sin .(x 6)(2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令 x k (kZ )，解得 xk ，由 k ，解得 k ，又6 2 13 214 13 234 5912 6512kZ， 知 k5，由此可知在闭区间 上存在 f(x)的对称轴 ，其方程为 x .214，234 163题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例 3 已知向量 m ，n .(3sin x4，1) (cos x4，cos2x4)(1)若 mn1，求 cos 的值；(23 x)(2)记 f
17、(x)mn，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac )cos Bbcos C ，求函数 f(A)的取值范围思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值 (2)在ABC 中，求出A 的范围，再求 f(A)的取值范围解 (1)mn sin cos cos 23x4 x4 x4 sin sin ，32 x2 1 cos x22 (x2 6) 12mn1，sin .(x2 6) 12cos 12sin 2 ，(x 3) (x2 6) 12cos cos .(23 x) (x 3) 12(2)(2a c)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin As
18、in C)cos Bsin Bcos C，142sin Acos B sin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos B sin(B C )ABC ，sin(B C )sin A0.cos B ， 0b，B .6C AB .26 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,2) ，B(2cos x，2cos 2x)，C (cos x,1)，其中x0， ，若 ，则 x 的值为_AB OC 答案 或2 3解析 因为 (2cos x1，2cos 2x2)， (cos x,1)，AB OC 所以 (2cos x 1)cos x( 2cos 2x2)1AB OC 2cos 2xcos x 0
19、，可得 cos x0 或 cos x ，所以 x 的值为 或 .12 2 37 已知函数 f(x)sin xcos x，且 f(x)2f (x)，f(x) 是 f(x)的导函数，则_.1 sin2xcos2x sin 2x答案 195解析 由题意知，f(x )cos xsin x，由 f(x) 2f (x)，得 cos xsin x2(sin x cos x)，得 tan x3，所以 1 sin2xcos2x sin 2x 1 sin2xcos2x 2sin xcos x19 .2sin2x cos2xcos2x 2sin xcos x 2tan2x 11 2tan x 195三、解答题(共
20、22 分)8 (10 分) 已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3) ，C(cos ，sin )， .(2，32)(1)若| | |，求角 的值；AC BC (2)若 1，求 的值AC BC 2sin2 sin 21 tan 解 (1) (cos 3，sin )， (cos ，sin 3)，AC BC 2(cos 3)2sin 2106cos ，AC 2cos 2(sin 3) 2106sin ，BC 由| | | |， 可得 2 2，AC BC AC BC 即 106cos 106sin ，得 sin cos .又 ， .(2，32) 54(2)由 1，AC BC 得(co
21、s 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .23又 2sin cos .2sin2 sin 21 tan 2sin2 2sin cos 1 sin cos 由式两边分别平方，得 12sin cos ，492sin cos . .59 2sin2 sin 21 tan 599 (12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2bsin A.(1)求 B 的大小；(2)求 cos Asin C 的取值范围解 (1)由 a2bsin A，20根据正弦定理得 sin A2sin Bsin A，所以 sin B ，由ABC 为锐角三角形可得 B .12
22、 6(2)由(1)可知 ACB ，故 C A .56 56故 cos Asin Ccos Asin (56 A)cos Asin cos A cos A sin A(6 A) 12 32 cos A sin A32 32 3( 32cos A 12sin A) sin ，3 (A 3)由ABC 为锐角三角形可得，0f()，则 f(x)的单调递增区间是 _(2)答案 (kZ)k 6，k 23解析 由xR ，有 f(x) 知，当 x 时 f(x)取最值，f sin 1，|f(6)| 6 (6) (3 ) 2k(kZ)，3 2 2k 或 2k(k Z)，6 56又f f()，sin( )sin(2)
23、，(2)sin sin ，sin 0 且 a1) ，试讨论函数的奇偶性、单调性(sin2x2 sin4x2)解 f(x )log asin2x2(1 sin2x2)24log a .1 cos 2x8故定义域为 cos 2x1，即x|xk，kZ ，关于原点对称且满足 f(x)f(x) ，所以此函数是偶函数令 t (1cos 2x)，18则 t 的递增区间为 (kZ)；(k，k 2递减区间为 (kZ) k 2，k)所以，当 a1 时，f(x) 的递增区间为 (kZ )；递减区间为 (kZ)(k，k 2 k 2，k)当 0a1 时，f(x)的递增区间为 (kZ)；递减区间为 (kZ )k 2，k) (k，k 2
