2019年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科).doc

1、第 1 页（共 30 页）2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 zi（2+ i）的共轭复数是（ ）A1+2i B12i C1+2i D12i2 （5 分）已知集合 Ax| ylg（2x），B x|x23 x0，则 AB（ ）A x|0x2 Bx|0x2 C x|2x3 D x|2x33 （5 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 S525， a3+a48，则 an的公差为（ ）A2 B1 C1 D24 （5 分）己知某产品的销售额 y 与广告费用 x 之间

2、的关系如表：x （单位：万元） 0 1 2 3 4y （单位：万元） 10 15 20 30 35若求得其线性回归方程为 ，则预计当广告费用为 6 万元时的销售额为（ ）A42 万元 B45 万元 C48 万元 D51 万元5 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A64 B68 C80 D1096 （5 分）己知直线 是函数 f（x ） 与的图象的一条对称轴，为了得到函数 yf（x ）的图象，可把函数 ysin2x 的图象（ ）A向左平行移动 个单位长度第 2 页（共 30 页）B向右平行移动 个单位长度

3、C向左平行移动 个单位长度D向右平行移动 个单位长度7 （5 分）在ABC 中，ABC60，BC 2AB2，E 为 AC 的中点，则 （ ）A2 Bl C0 Dl8 （5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 AB2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC AB，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于点 E则点 E 即为线段AB 的黄金分割点若在线段 AB 上随机取一点 F，则使得 BEAFAE 的概

4、率约为（ ）（参考数据： 2.236）A0.236 B0.382 C0.472 D0.6189 （5 分）已知偶函数 f（x ）的图象经过点（一 1，2） ，且当 0ab 时，不等式0 恒成立，则使得 f（x l）2 成立的 x 的取值范困是（ ）A （0，2） B （一 2，0）C （，0）（2，+ ） D （，一 2）（0，+）10 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D第 3 页（共 30 页）11 （5 分）已知 A，B，C 为球 O 的球面上的

5、三个定点，ABC60，AC2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥 p 一 ABC 的体积为 V1，三棱銋 O 一 ABC 的体积为 V2，若 的最大值为 3，则球 O 的表面积为（ ）A B C D612 （5 分）若关于 x 的不等式 有正整数解，则实数 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D9二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+y 的最大值为 14 （5 分）若 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为 15 （5 分）己知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px（ p0）的焦点，直线 EF

6、与抛物线交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF| 12，则 p 16 （5 分）在如图所示的三角形数阵中，用 ai，j （ij ）表示第 i 行第 j 个数（i，jN*） ，已知 ai，1 1 （iN *） ，且当 i3 时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即 ai，j a i1，j 1 +ai1，j （2ji 1） ，若 am，2 100，则正整数 m 的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AC 与 BD 为其对角线，已知 BC1，且cosBCD 第 4 页（共 30 页）（1）

7、若 AC 平分BCD，且 AB2，求 AC 的长；（2）若CBD45，求 CD 的长18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BAD45，PD2， M 为 PD 的中点，E 为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且 PF3FB（1）求证：EF平面 ABCD；（2）若平面 PDC底面 ABCD，且 PDDC，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其右焦点为F（1， 0） ，且点 （1， ）在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点

8、分别为 A、B，M 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线 MF交椭圆 C 于另一点 N，直线 MB 交直线 x4 于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上第 5 页（共 30 页）20 （12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人” ，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级 消费金额普通会员 2000银卡会员 2700金卡会员 3200预计去年消费金

9、额在 （0，1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 （3200，4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人第 6 页（共 30 页）奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案 2：每位会员均可参加摸奖

10、游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300元奖励金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由21 （12 分）已知函数 ，其定义域为 （0，+） （其中常数e2.71828，是自然对数的底数）（1）求函数 f（x ）的递增区

11、间；（2）若函数 f（x ）为定义域上的增函数，且 f（x 1）+f （ x2）4e ，证明：x 1+x22请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos ，直线 l与曲线 C 交于不同的两点 A， B（1）求曲线 C 的参数方程；（2）若点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，求 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x +1|+|x

12、2|，g（x）x 2+mx+1（1）当 m4 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x ）g（x）在2， 上恒成立，求实数 m 的取值范围第 7 页（共 30 页）2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 zi（2+ i）的共轭复数是（ ）A1+2i B12i C1+2i D12i【考点】A5：复数的运算 菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5N ：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数

13、 i（2+i）2i1 的共轭复数为12i故选：D【点评】本题考查共轭复数的定义、复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （5 分）已知集合 Ax| ylg（2x），B x|x23 x0，则 AB（ ）A x|0x2 Bx|0x2 C x|2x3 D x|2x3【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4A ：数学模型法；5J ：集合【分析】利用对数式的真数大于 0 化简集合 A，求解一元二次化简集合 B，再利用交集的运算性质求解得答案【解答】解：Ax| ylg（2x） x|x2，B x|x23x0 x|0x3，ABx|x2x|0 x 3x|0x2故选：

14、B【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题3 （5 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 S525， a3+a48，则 an的公差为（ ）A2 B1 C1 D2【考点】85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】根据题意，由等差数列的前 n 项和公式可得 a1+a2+a3+a4+a55a 325，解可第 8 页（共 30 页）得 a35，又由 a3+a48，可得 a43，由等差数列的通项公式分析可得答案【解答】解：根据题意，等差数列a n中，若 S525，即 a1+a2+a3+a4

15、+a55a 325，则 a35，又由 a3+a48，则 a43，则等差数列a n的公差 da 4a 3352；故选：A【点评】本题考查等差数列的性质以及前 n 项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题4 （5 分）己知某产品的销售额 y 与广告费用 x 之间的关系如表：x （单位：万元） 0 1 2 3 4y （单位：万元） 10 15 20 30 35若求得其线性回归方程为 ，则预计当广告费用为 6 万元时的销售额为（ ）A42 万元 B45 万元 C48 万元 D51 万元【考点】BK：线性回归方程菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计【分析

16、】由已知表格中数据求得 ， ，再由回归直线方程过样本中心点求得 a，得到回归方程，取 x6 即可求得答案【解答】解： ， ， ，a226.529则 ，取 x6，得 故选：C【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题5 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 30 页）A64 B68 C80 D109【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为正

17、四棱柱中挖去一个正四棱锥，画出直观图，数形结合可得答案【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，如图所示，底面正方形的边长为 4，高为 5 棱锥的高为 3，该几何体的体积为： 64，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥、棱柱的体积，简单几何体的三视图，是基本知识的考查6 （5 分）己知直线 是函数 f（x ） 与的图象的一条对称轴，为了得到函数 yf（x ）的图象，可把函数 ysin2x 的图象（ ）A向左平行移动 个单位长度B向右平行移动 个单位长度第 10 页（共 30 页）C向左平行移动 个单位长度D向右平行移动 个单位长度【考点】HJ：函数 yAsin（x+）的图象变换菁优网

18、版权所有【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质【分析】由三角函数图象的性质可得：yf （x）sin（2x+ ）sin2 （x + ） ，由三角函数图象的平移可得：为了得到函数 yf （x）的图象，可把函数 ysin2x 的图象向左平移 个单位长度，得解【解答】解：令 2x+k ，由 x 是此方程的一个解，则 k+ ，又| ，所以 ，即 yf（x）sin（2x + ） sin2（x+ ） ，所以为了得到函数 yf（x）的图象，可把函数 ysin2 x 的图象向左平移 个单位长度，故选：C【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的平移，属中档题7 （5 分）在ABC 中，ABC

19、60，BC 2AB2，E 为 AC 的中点，则 （ ）A2 Bl C0 Dl【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算 菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式即可求出【解答】解：E 为 AC 的中点，BE （ + ） ， （ + ） | | |cos60第 11 页（共 30 页） 12 1，故选：B【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于基础题8 （5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取

20、线段 AB2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC AB，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于点 E则点 E 即为线段AB 的黄金分割点若在线段 AB 上随机取一点 F，则使得 BEAFAE 的概率约为（ ）（参考数据： 2.236）A0.236 B0.382 C0.472 D0.618【考点】CF ：几何概型菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】由勾股定理可得：AC ，由图易得：0.764AF1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得 BEAFAE 的概率约为

21、 0.236，得解【解答】解：由勾股定理可得：AC ，由图可知：BCCD1，ADAE 1.236，BE21.2360.764，则：0.764AF1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得 BEAFAE 的概率约为 0.236，故选：A第 12 页（共 30 页）【点评】本题考查了勾股定理、几何概型中的线段型，属简单题9 （5 分）已知偶函数 f（x ）的图象经过点（一 1，2） ，且当 0ab 时，不等式0 恒成立，则使得 f（x l）2 成立的 x 的取值范困是（ ）A （0，2） B （一 2，0）C （，0）（2，+ ） D （，一 2）（0，+）【考点】3P：抽象函数及其应用菁优网版

22、权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，由偶函数的性质可得点（1，2）也在函数 f（x）的图象上，结合函数单调性的定义分析可得 f（ x）在0 ，+）上为减函数，据此原不等式可以等价转化为|x 1|1，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）为偶函数，且经过点（1，2） ，则点（1，2）也在函数f（x）的图象上，当 0ab 时，不等式 0 恒成立，则函数 f（x）在0，+）上为减函数，f（xl）2f（|x1|）f（1）|x1| 1，解可得：x2 或 x0，即 x 的取值范围为（，0）（2，+） ；故选：C【点

23、评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数单调性的定义以及判断方法，属于基础题10 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心率为（ ）第 13 页（共 30 页）A B C2 D【考点】KM：直线与双曲线的综合菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，得到以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2 c2，根据三角形的面积求出 B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可【

24、解答】解：以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2c 2，由对称性知ABF 的面积 S2S OBF 2 hch 4a 2，即 h ，即 B 点的纵坐标为 y ，则由 x2+（ ） 2c 2，得 x2c 2（ ） 2c 2 ，B 在双曲线上，则 1，即 1，即 （1+ ）1，即 1，即 1，即 1 ，得 16a4（c 2a 2） 2，即 4a2c 2a 2，得 5a2c 2，得 c a，则离心率 e ，故选：D第 14 页（共 30 页）【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出 B 的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键考查学生的运算能

25、力，运算量较大11 （5 分）已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，ABC60，AC2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥 p 一 ABC 的体积为 V1，三棱銋 O 一 ABC 的体积为 V2，若 的最大值为 3，则球 O 的表面积为（ ）A B C D6【考点】LG：球的体积和表面积 菁优网版权所有【专题】15：综合题；5U：球【分析】根据题意作出图形关键部分，利用同底三棱锥体积比等于高的比可得 R，r 之间的关系，由正弦定理可得 r，问题得解【解答】解：如图，设ABC 的外接球球心为 O，其半径为 r，球 O 的半径为 R，由题意可知， 3，第 15 页（共 30 页）可得

26、R ，2r ，r ， ， ，当球心 O 在三棱锥 PABC 外时，结果不变故选：B【点评】此题考查了球内接几何体，同底三棱锥体积比等于高的比，正弦定理等，难度适中12 （5 分）若关于 x 的不等式 有正整数解，则实数 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D9【考点】6B：利用导数研究函数的单调性 菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用【分析】原不等式转化为 ，令 f（x ） ，利用导数和函数的单调性即可求出【解答】解：不等式 ，x 9， 2ln3，xN*，0， ，令 f（x） ，则 f（x） ，第 16 页（共 30 页）当 x（0，e）时，f（

27、x ）0，函数 f（x）单调递增，当 x（e，+）时，f（x ）0，函数 f（x）单调递减，2e3，f（ 2） ，f（3） ，f（2）f（3）只需 f（3） ，即 6 时，即实数 的最小值为 6，故选：A【点评】本题考查了导数和函数的单调性的最值的关系，考查了转化与化归思想，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+y 的最大值为 3 【考点】7C：简单线性规划 菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各

28、点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 Zx+y 的最大值【解答】解：x，y 满足约束条件 ，表示的区域是如下图示的三角形，3 个顶点是 A（1，2） ，B（2，0） ，C （1，0） ，目标函数 zx+y 在（1，2）取最大值 3故答案为：3第 17 页（共 30 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值14 （5 分）若 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为 15 【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】34：

29、方程思想；4A ：数学模型法；5P ：二项式定理【分析】由已知求得 n，写出二项展开式的通项，由 x 的指数等于 1 求得 r 值，则答案可求【解答】解：由已知可得，2 n32，即 n5 ，其二项展开式的通项 取 ，得 r4展开式中 x 的系数为 故答案为：15【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题15 （5 分）己知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px（ p0）的焦点，直线 EF 与抛物线交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF| 12，则 p 8 【考点】K8：抛物线的性质 菁优网版权所有【专题】11：计算题；

30、31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】画出图形，利用抛物线的性质以及抛物线的定义，转化列出方程，求解即可【解答】解：点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px（p 0）的焦点，直线 EF 与抛物线交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF| 12，F （ ，0） ，则 M（ ，） ，E（0， P） ，cos EFO ，作 NS 垂直 y 轴与 S，第 18 页（共 30 页）NS12 （12+ ）cosEFO，解得 p8，故答案为：8【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用16 （5 分

31、）在如图所示的三角形数阵中，用 ai，j （ij ）表示第 i 行第 j 个数（i，jN*） ，已知 ai，1 1 （iN *） ，且当 i3 时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即 ai，j a i1，j 1 +ai1，j （2ji 1） ，若 am，2 100，则正整数 m 的最小值为 103 【考点】F1：归纳推理菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4F：归纳法；5M：推理和证明【分析】根据条件先求出数列a n，2 的通项，利用累加法进行求解即可【解答】解：a n，1 1 ，a n1，1 1 ， （n2） ，第 19 页（共 30 页）下面求数列a n，2 的通项，由题

32、意知 an，2 a n1，1 +an1，2 ， （n3） ，a n，2 a n1，2 a n1，1 1 ， （n3） ，a n，2 （a n，2 a n1，2 ）+（a n1，2 a n2，2 ）+ （a 3，2 a 2，2 ）+a2，2 +n ，数列a n，2 是递增数列，且 a102，2 100a 103，2 ，m 的最小值为 103，故答案为：103【点评】本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列a n，2 的通项是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AC 与 BD 为其对角

33、线，已知 BC1，且cosBCD （1）若 AC 平分BCD，且 AB2，求 AC 的长；（2）若CBD45，求 CD 的长【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】 （1）由已知利用二倍角公式可求 cosACB ，由余弦定理可得：AC 2AC30，即可解得 AC（2）利用同角三角函数基本关系式可求 sinBCD，结合CBD45，利用两角和的正弦函数公式可求 sinCBD 的值，在BCD 中，由正弦定理可求 CD 的值【解答】 （本题满分为 12 分）第 20 页（共 30 页）解：（1）AC 平分BCD，可得： BCD2AC

34、B2ACD，cosBCD2cos 2ACB 1 ，cosACB 0，cosACB ，3 分在ABC 中，BC1，AB 2，cosACB ，由余弦定理 AB2BC 2+AC22BCACcosACB ，可得：AC 2 AC30，解得：AC ， （负值舍去） ，AC 的值为 6 分（2）cosBCD ，sinBCD ，7 分又CBD45，sinCBDsin（180BCD45）sin（BCD+45） （sinBCD+cosBCD ） ，9 分在BCD 中，由正弦定理 ，可得：CD 5，即 CD 的长为 512 分【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，

35、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BAD45，PD2， M 为 PD 的中点，E 为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且 PF3FB（1）求证：EF平面 ABCD；（2）若平面 PDC底面 ABCD，且 PDDC，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值第 21 页（共 30 页）【考点】LS：直线与平面平行； MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【分析】 （1）设 DM 中点为 N，连接 EN，NF ，BD，则 NEAD，可得 NE平面A

36、BCD，再由 ，得 NFDB ，则 NF平面 ABCD，由面面平行的判定可得平面 NEF平面 ABCD从而得到 EF平面 ABCD；（2）由平面 PDC底面 ABCD，且 PDDC，可得 PD 底面 ABCD，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 Dxyz，求出平面 PBC 与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【解答】 （1）证明：设 DM 中点为 N，连接 EN，NF ，BD，则 NEAD，NE平面 ABCD，AD 平面 ABCD，NE平面 ABCD，又 ，NFDB，NF平面 ABCD，BD 平面 ABCD，NF平面 A

37、BCD，又NENFN，平面 NEF平面 ABCD则 EF平面 ABCD；（2）解：平面 PDC底面 ABCD，且 PDDC，PD底面 ABCD，如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D（0，0，0） ，P（0，0， 2） ，A（1，0，0） ，C（ ， ，0） ， ， （ ， ，2） ，设平面 PBC 的一个法向量为 ，第 22 页（共 30 页）由 ，取 ，得 又平面 PAD 的一个法向量为 设平面 PAD 与平面 PBC 所成的二面角为 ，则 cos 即平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象

38、能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其右焦点为F（1， 0） ，且点 （1， ）在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为 A、B，M 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线 MF交椭圆 C 于另一点 N，直线 MB 交直线 x4 于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上第 23 页（共 30 页）【考点】KL：直线与椭圆的综合 菁优网版权所有【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】 （1

39、）不妨设椭圆的方程为 + 1，ab0，由题意可得 ，解得即可，（2）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，直线 MN 的方程为 xmy+1，由方程组，消去 x 整理得（3m 2+4）y 2+6my90，根据韦达定理求出点 Q 的坐标，根据向量即可求出 ，且向量 和 有公共点 A，即可证明【解答】解：（1）不妨设椭圆的方程为 + 1，ab0，由题意可得 ，解得 a24，b 23，故椭圆的方程 + 1，证明：（2）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，直线 MN 的方程为 xmy+1，由方程组 ，消去 x 整理得（3m 2+4）y 2+6my90第 24 页（共 30

40、页）36m 2+36（3m 2+4） 0y 1+y2 ，y 1y2 ，直线 BM 的方程可表示为 y （x 2） ，将此方程与直线 x4 成立，可求得点 Q 的坐标为（4， ） ， （x 2+2，y 2） ， （6， ） ，6y 2（x 2+2） 0， ，向量 和 有公共点 A，A，N，Q 三点在同一条直线上【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识20 （12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人” ，现从所

41、有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；第 25 页（共 30 页）（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级 消费金额普通会员 2000银卡会员 2700金卡会员 3200预计去年消费金额在 （0，1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 （3200，4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：

42、按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300元奖励金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3

43、 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由【考点】B8：频率分布直方图； CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】12：应用题；38：对应思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计【分析】 （1）根据题意计算随机抽取的 2 人中去年消费金额超过 4000 元的概率值；（2）计算方案 1 奖励的总金额 1 和方案 2 奖励的总金额 2，比较大小即可【解答】解：（1）随机抽取的 2 人中，去年的消费金额超过 4000 元的消费者有 X 人，则 X 的可能取值为 0，1，2；P（X1）P （X1）+ P（X2）

44、 + + ；第 26 页（共 30 页）（或 P（X 1）1P （X0）1 ） ，即去年的消费金额超过 4000 元的概率为 ；（2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星” ，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为257， 2515， 253，按照方案 1 奖励的总金额为 17500+15600+380014900（元） ；方案 2：设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为0，200，300；由摸到红球的概率为 P ，P（ 0） + ，P（ 200） ，P（ 300） ， 的分布列为： 0 200 300P数学期望

45、为 E0 +200 +300 76.8（元） ，按照方案 2 奖励的总金额为2（28+260+312）76.814131.2（元） ，由 1 2 知，方案 2 投资较少【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题21 （12 分）已知函数 ，其定义域为 （0，+） （其中常数e2.71828，是自然对数的底数）（1）求函数 f（x ）的递增区间；（2）若函数 f（x ）为定义域上的增函数，且 f（x 1）+f （ x2）4e ，证明：x 1+x22第 27 页（共 30 页）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性 菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法； 53：导数的综合应用【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证 f（x 1）+ f（2x 1）4e ，令 h（x）f（x）+f （2x ） ，0x1，即证 0，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）易知 f（ x） ，若 a 0，由 f（x ）0，解得： x1，故函数 f（x）在（ 1，+）递增，若 0 a1，令 f（x ） 0，解得：0x ，或 x1，令 f（x）0 ，解得： x1，故 f（x）在（0 ， ）递增，在