1、第 0 页2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 2注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分.第卷 1 至 3 页，第卷3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值(3)(1)izm范围是（A） （B） （C） （D）31,+3-【解析】A ， ， ，故选 A0m131m
2、（2）已知集合 ， ，则1,23A|(1)20BxxZAB（A） （B）（C） （D）01231023【解析】C，ZBxxZx ， ，故选 C010123AB（3）已知向量 ，且 ，则 m=(,)(3,)amb=()ab（A） （B） （C）6 （D）88【解析】D，42ab ，()()12()0ab解得 ，故 选 D8m（4）圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a=230xy1axy（A） （ B） （C） （D）234【解析】A圆 化 为标准方程为： ，28130xy2214xy故圆心为 ， ，解得 ，故选 A42ad3a第 1 页（5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会
3、合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （ D）9【解析】B有 种走法， 有 种走法，由乘法原理EF6G3知，共 种走法318故选 B（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 ，周 长为 ，圆锥母线长为， 圆柱高为 rch由图得 ， ，由勾股定理得： ，2r4c 2234l，故选 C1Shl 68（7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴
4、为2（A） （B ）6kxZ6kZ（C） （D ）2121x【解析】B平移后图像表达式为 ，siny令 ，得对称轴方程： ，2+12xk 26Zkx故选 B（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 ， ，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的2xn s（A）7 （B）12 （C）17 （ D）34【解析】C第一次运算： ，02s第二次运算： ，6第 2 页第三次运算： ，故选 C62517s（9）若 ，则 =3cos4sin（A） （B） （C） （D）7251515725【解析】D ， ，3cos45 27sin2coscos1425故
5、选 D（10）从区间 随机抽取 2n 个数 , ， ， ， ， ，构成 n0,11x2nx1y2ny个数对 ， ， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m1,xy2,y个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（A） （B ） （C） （D）4nmn4mn2【解析】C由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在12iixy如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知 ，41mn ，故选 C4mn（11）已知 ， 是双曲线 E： 的1F221xyab左，右焦点，点 M 在 E 上， 与 轴垂1F直，sin ,则 E 的离心率为213（A） （B） （C） （D）2【解析】A离心率
6、 ，由正弦定理得12FeM1212sin31eFF故选 A（12）已知函数 满足 ，若函数 与Rfx2fxf1xy图像的交点yf为 ， ， ，则 （ ）1xy2mxy1miiixy（A）0 （B ）m （C）2m （D）4m【解析】B第 3 页由 得 关于 对称，2fxffx01而 也关于 对称，1y对于每一组对称点 ，0ix=2iiy ，故 选 B11mmiiiii mxy第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2224 题为选考题，考生根据要求作答（13） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 ，4os5A， ，5cos13Ca则
7、b【解析】 2 ， ，4cos5As13C， ，in2i，63siisincosin5BAC由正弦定理得： 解得 sinibaBA213b（14） ， 是两个平面，m， n 是两条线，有下列四个命题：如果 ， ， ，那么 如果 ， ，那么 m如果 ， ，那么 a如果 ， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等mn【解析】（15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字
8、是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2）， 则乙（ 2，3），甲（1， 3）满足，若丙（1，3）， 则乙（ 2，3），甲（1， 2）不 满足，故甲（1，3），第 4 页（16）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，ykxbln2yxln1yxb（17（【解析】 1ln2的切线为： （设切点横坐标为 ）lyx11lnyx1x的切线为：n222lx1222lnl1xx解得 1x2 lnlb三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）为等差数列 的前 n 项和，且 ， 记 ，nSa1a728Slgnba其中 表示不超过 x 的最大
9、整数，如 ， x0.9l1（）求 ， ， ；1b10（）求数列 的前 项和nb10【解析】设 的公差为 ， ，nad7428Sa ， ， 4131()ndn ， ，1lgl0ba1lglba0012记 的前 项和为 ，则nnT10210b12lgllgaa当 时 ， ；n 9当 时 ， ；l 10当 时， ；2lg3na 109当 时， ln 1092318T（18） （本小题满分 12 分）X0.85a.25a175a2P.0.2.10.5第 5 页某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1
10、2 3 4 5保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；60%（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 ，A()1()(0.3.15)0.PA设续保人保费比基本保费高出 为事件 ，6%B()()051B解：设本年度所交保费为随机变量 X平均保费，0.25.10.
11、25.30.175.123aaaa平均保费与基本保费比值为 （19） （本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， ， ，点5AB6CE，F 分别在 AD，CD 上， ，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF54AECF折到 的位置 .D10O（I）证明： 平面 ABCD；H（II ）求二面角 的正弦值.BAC0.853.1.250.1.2075.102.5EXaaa第 6 页【解析】证明： ，54AECF ，D 四边形 为菱形，ABC ， ，EFD ，H ，6AC ；3O又 ， ，5B ，4 ，1AEHDO ，3 ，222 DH又 ，OEFI 面
12、 DHABC建立如图坐标系 xyz， ， ， ，50B130C3D10A， ， ，4AurAur 6Cur设面 法向量 ，D1nxyz， ，由 得 ，取 ，10nAB430xyz345xyz 135nur同理可得面 的法向量 ，ADC2301nur第 7 页 ，12957cos210nur i（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 E: 的焦点在 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 的直线213xytx(0)k交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.（I）当 ， 时，求AMN 的面积；4t（II ）当 时，求 k 的取值范围.2【解析】 当 时， 椭圆 E 的方程为 ，A
13、点坐标为 ，4t2143xy20则直线 AM 的方程 为 yk联立 并整理得，2143xyk222341610kxk解得 或 ，则2x286k222813434AMk因为 ，所以AMN2 221141334Akk因为 ， ，0所以 ，整理得 ，222114343kk2140kk无实根，所以 20所以 的面积为 AMN2211349A直线 AM 的方程 为 ，ykxt联立 并整理得，213xtykt22330tkxtktt解得 或 ，xt2tt所以22 2236113tkttAMk第 8 页所以2613tANk因为 M所以 ，整理得， 222661133ttkk 236kt因为椭圆 E 的焦点在
14、 x 轴，所以 ，即 ，整理得t23k2310k解得 2k（21） （本小题满分 12 分）(I)讨论函数 的单调性，并证明当 时， (x)e2xf0x(2)e0;x(II)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最0,1)a2e=agg小值为 ，求函数 的值域 .()h(h【解析】证明： 2exf224eexxf当 时，x2, 0fx 在 上单调递增f 时，0xe0=12xf x 24eexaag42x32exa01a，由(1)知，当 时， 的值域为x2exfx，只有一解1，使得 ，2eta02t，当 时 ， 单调减；当 时(0,)xt(gx()(,)xt， 单调增)g22e1ee 2t tt
15、tah第 9 页记 ，在 时， ，e2tk0,2t2e10tk单调递增t 21e4hakt，请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，在正方形 ABCD，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D 点作 DFCE ，垂足为 F.(I) 证明：B，C，G，F 四点共圆；(II)若 ，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积.1A【解析】（）证明： DFC RttED GBFDBC ， ECDG GDFBC 90FGCDFC B，C ，G，F
16、 四点共圆180FB（）E 为 AD 中点， ，A ，2DGC在 中， ，RtF C连接 ， ，BRtBFG 12=2BCCGFSS（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 265xy（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（II ）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，l 与 C 交于 A、B 两点，cosinxy，求 l 的斜率10AB【解析】解：整理圆的方程得 ，210xy第 10 页由 可知圆 的极坐标方程为 22cosinxyC21cos0记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，k0kxy由垂径定理及点到直线距离公式知： ，226151即 ，整理得 ，则 2369014k253k（24） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 ，M 为不等式 的解集 .12fxx2fx（I）求 M；（II ）证明：当 a， 时， b1ab【解析】解：当 时， ，若 ；12x22fxx12x当 时， 恒成立；11f当 时， ，若 ， 12x2fx2fxx综上可得， |1M当 时，有 ，1ab， ， 210ab即 ，22则 ，2则 ，221abb即 ，证毕
