1、2010 年高教杯大学生数学建模试题 C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域） ，B 厂位于城区（图中的 II 区域） ，两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示
2、的距离（单位：千米）分别为 a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上
3、。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。建模过程1 问题的重述1.1 问题的背景某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.2 问题的提出1.2.1 相关信息问题二： 根据实际情况,设计院对炼油厂的大致位置定性的预先设置了位置(见上图),由于涉及到城区的拆迁及其补偿问题，设计院咨询了三家工程咨询公司，对城区每千米铺路补偿费用进行了估算，结果如下表所示：工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20此外，每千米铺路费为 7.5 万元。问题三
4、：根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管，这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同问题二。1.2.2 需要解决的问题1针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.根据预设的炼油厂的位置，为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3.针对给出的管线铺设费用为设计院给出管线布置方案及相应的费用。2 符号说明A 表示炼油厂 1B 表示炼油厂 2C（x 0，0）表示新建车站
5、D 表示非共用管道的单位建设费用E 表示共用管道的单位建设费用H 表示铺设管线的的总费用工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20a 表示 L1 离铁路的最近距离b 表示 L2 离铁路的最近距离c 表示炼油厂 A 距郊区与城区分界线的距离l 表示 A 点平行于铁路离 B 点的最近距离I（x，y ）表示 A、B 两点所交汇的一个可变的坐标点f 表示铺设油管的总线长T 表示城区铺路单位长度的拆迁和补偿的额外费用3 模型假设1. 炼油厂 A，炼油厂 B，车站都看成一个点，且在一个平面内2. 忽略可以阻挠铺设管道的一些外界因素，如拆迁时遇到的人为的阻力3. 铺路所需
6、的各种原材料及设备的市场价格在铺设道路时段稳定。4 模型的建立与求解4.1 问题一建模与求解：4.1.1 问题分析若管线建设费用最省，那么管线的长度应该是最短的，因此我们要设计的管线首先考虑线路最短，然后根据费用的不同考虑每段线路的长度。以 O 点为坐标原点，以铁路所在直线为 x 轴，以油厂 A所在直线为 y 轴，建立直角坐标系。(单位：千米)。4.1.2 数学模型的建立根据 I（ x，y）的坐标情况并联系本题实际可将其分成以下几种情况：1 ：0x00,ay00 知此时 l 与 a、b 之间存在一定的关系即： (b-a)3=a,显然方案二为最优方案，此时最低费3用为；2labDH2.当 (b-
7、a)= (a+b),x a,y0 时对各方案最省方案随 l 的变化用matlab 作图，直观观测最优解的情况，并验证以上分析的正确性。取定 a=5，b=8，1= (a+b)=13 （方案一）(+)2+2 3 3编写程序（见附录 1） ，程序运行后效果如图：注：图中 y 表示满足条件的最短线路值在 l0,显然方案二此时为最优；在= (a+b)=13 时,方案三已失效 (其所对应的 y0 已经小3 3于 0)，由图的此时最优方案为方案一。当费用不同时，可类似处理。4.2 问题二的建模和求解根据三家工程咨询公司对铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程的补偿等附加费用的估计的结果，在三家工程咨询公司的资
8、质级别不相同的情况下，对他们所作出的估价进行评估有着重要的作用，根据参考文献2,对这类问题,我们不能只对公司一的结果做出较大的肯定，要对其余两家公司的结果也需要认可，所以我们可以根据三家公司的实力来估算他们所的出估计价格比重.因此可以这样安排,公司一的估价所占的比重为百分之四十，其余的两家公司估价所占的比重均占百分之三十.所以 T=21*0.4+(24+20)*0.3=2.16 万元.根据设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体设计，两炼油厂的具体位置有以下图所示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域） ，B厂位于城区（图中的 II 区域） ，则由对问题一得讨论，有三种方案：方案一：I（x ，
9、y ）点与新建车站 C 点重合，无共用管线，如图所示设由 B 至新建车站 C 的管线经过城市和郊区分界线的 M（15，z）点C(X,0)A(0,5)20OM(15,z)15B(20,8)yx由已知条件得此时管线布置的总费用为:H=7.5 ( + + )+21.6* 52+2 (15)2+2 52+(8)2,其中 013*31/2,表达式中 y0，方案三失效 )xlabel(两加油站间的平行于铁路的距离 l)ylabel(三种方案对应的最小值随 l 的变化曲线 y)title(示意图 )gtext(方案一);gtext(方案二 );gtext(方案三)Char1=方案一;Char2=方案三;Ch
10、ar3=方案二;legend(Char1,Char2,Char3,Location,NorthWest)grid onhold offmyfun1function Y=myfun1(x)Y=sqrt(132+x.2)myfun2function Y=myfun2(x)Y=sqrt(9+x.2)+5myfun3function Y=myfun3(x)Y=6.5+0.5*(31/2)*x附录二：model:a=5;b=8;c=15;l=20;min=7.2*(sqrt(a-y)2+x2)+sqrt(z-y)2+(c-x)2)+y+sqrt(l-c)2+(b-z)2)+21.6*(sqrt(l-c)
11、2+(b-z)2);bnd(0,x,20);bnd(0,z,8);bnd(0,y,8);end运行结果：附录三：model:a=5;b=8;c=15;l=20;z=8;min=7.2*(sqrt(a-y)2+x2)+sqrt(z-y)2+(c-x)2)+y+5)+21.6*5;bnd(0,x,20);bnd(0,y,8);end运行结果：附录四：min=5.6*sqrt(25+x2)+6*(sqrt(15-x)2+q2)+sqrt(25+(8-q)2)+21.6*sqrt(25+(8-q)2);bnd(0,x,15);bnd(0,q,8);运行结果：附录五：min=5.6*sqrt(5-y)2+x2)+7.2*y+6*(sqrt(z-y)2+(15-x)2)+sqrt(25+(8-z)2)+21.6*sqrt(8-z)2+25);bnd(0,x,15);bnd(0,y,8);bnd(0,z,8);运行结果：附录六：model:z=8;min=5.6*sqrt(5-y)2+x2)+7.2*y+6*(sqrt(z-y)2+(15-x)2)+sqrt(25+(8-z)2)+21.6*sqrt(8-z)2+25);bnd(0,x,15);bnd(0,y,8);end运行结果：
