1、李建华 北京师范大学 2015.11,初中数学中的概念教学 哲学、理论与实践的思考,辛钦数学分析简明教程序,我想尽力做到一点，即使得在引进新概念与监理新理论时，学生先有准备，能够尽可能地看出这些新概念、新理论的引进是很自然的，甚至是不可避免的。我认为只有利用这种方法，在学生方面才能对于所学的东西产生真正的兴趣，才能非形式化地理解与掌握所学到的东西。,什么是数学概念,一个小调查： 在初中数学范围内，我们认为是数学概念的怎样概括出“数学概念”的概念,什么是数学概念,概念：心理学名词。由同类多数事物之诸项知觉所构成之普通观念，谓之概念。伦理学上之概念即族类特性之定义，必须涵括同一族类观念，对于族类之
2、属性所知愈多，则其概念愈近于论理的。概念之构成，含有比较、抽析、判断、综合诸作用。 中华书局1981年1月第一版（据1936年版缩印），在上册1546页。,什么是数学概念,概念：类属性的概括、抽象对象性（实体）与过程性（关系）抽象的实体是认识的最终目标，具体的关系是形成实体的基础。,什么是数学概念,数学：数量关系与空间形式（模式与秩序） 关于数量关系与空间形式的实体： 数的系统，形的系统 两者之间的联系：度量的系统*与生俱来的抽象性 *彻底的追根溯源公理（常识） *严密的“关系”网结构（主体与客体）,数学概念的教学,原则：回归数学（思想、内容与方法） 方法：趣味性，活动性，探索性，故事性，发展
3、性*回归数学：历史与现代（数学教师的专业素养与职业价值） *尊重学生：故事，游戏，活动,回归数学：数学与数学教育的价值,数学至高至善价值的认同； 数学不仅仅是逻辑、语言、工具，更是人类文明最高形式的表现之一，是文化的组成部分； 教育的终极目标是使每一个人理解生命的价值和意义，数学是通向这一目标的独特通道。,Cogito, ergo sum,尊重学生：以敬畏之心努力营造环境,儿童是天生的学习家，学习是儿童与生俱来的能力，使儿童浸淫在美的数学环境中，将最大限度的激发出儿童的数学潜能； 美的数学要有适应人的发展特点的适当方式，这需要以研究为基础的创造； 兴趣与好奇心是儿童学习的内部动力，游戏与探索性
4、活动是引起兴趣与好奇心的最有效的形式。,Cogito, ergo sum,初中数学概念教学主题,数的系统：自然数、整数、有理数与无理数及其运算与大小关系（序） 形的系统：点、线（线段、射线、直线），三角形、四边形、多边形，全等与相似 度量的系统：长度、面积与体积，角度，数轴与坐标系,“数”的起源,数是可以用来运算，并与客观事物相联系的一些记号。数“数”：建立事物与1，2，3，联系的过程（1-1映射）。测量（几何学的概念）：单位+相等数“数”的过程中蕴含着“多少”和“顺序”两个概念。,“数”的起源,“多少”的数基数“顺序”的数序数（归纳法、Peano公理）度量的数长度、面积（分数、无理数）计算的
5、数运算、方程（负数、无理数、虚数）,“数”的起源,数的表示数制十进制（手指计数）进位制：整数和小数“实在”的意义：最基础的“数”的记号被无形中赋予实在的意义，比如十进制中的0，1，2，9。,“数”的起源,数的表示分数的“好运气”：分数也并不总是有着最直接的实在的意义，比如十进制的1/3，无限循环小数实际上描述了一个无限的过程，但这一“实在”被想当然的接受，“1/3”作为一个独立的记号意义也没有受到质疑，这也许是比或比例的几何直观意义带来的效果。,“数”的起源,数的表示不可公度，“无理”的 ：可以接受1/3是3倍之后等于1的数，不能接受 是平方之后等于2的数比或比例的几何直观对思想的约束！问题：
6、 的计算。*无限循环小数与无限不循环小数 *,“数”的起源,是无理数的无字证明：,“数”的起源,现实的 ：,将一张A4纸沿着长边的2个中点对折，将得到2个小长方形，小长方形的长与宽之比与A4纸相同.,“数”的起源,数的表示*无限循环小数与无限不循环小数 * 1. 实数的实在性;2. 实数的本质有限与无限的辩证法。思考：“ 的计算”、“的计算” 等说法的隐喻。,“数”的起源,数的表示实数的完备性“几何实在性”的终结！虚数“虚妄”的数！i不需要再有计算的问题运算“完备性”复数“平面的数”四元数“空间的数” 扩张与因袭代数学的解放,基数与序数概览,一些代数学概念的简单回顾1.Descartes 积A
7、B = (a,b)|a A, b B2.关系AB的任意子集成为从A到B的关系。3. 映射、单射、满射、1-1映射、逆映射,基数与序数概览,一些代数学概念的简单回顾1.Descartes 积AB = (a,b)|a A, b B2.关系AB的任意子集成为从A到B的关系。3. 映射、单射、满射、1-1映射、逆映射,基数与序数概览,一些代数学概念的简单回顾4.二元关系5.等价关系与分类等价关系：反身性、对称性、传递性6. 偏序与偏序集偏序关系：反身性、反对称性、传递性偏序集、偏序集的同态与同构偏序集表示定理*,基数与序数概览,一些代数学概念的简单回顾7.二元运算与代数系二元运算、代数系（1）群胚与半
8、群（2）群、环与域（3）代数系的同态与同构 嵌入*,基数与序数概览,基数与序数1.基数与无限集基数的概念例1. N=0,1,2,n,E=0,2,4,2n,例2. N N N例3. Q N有限集与无限集 无限集的特征可数集,基数与序数概览,有理数的可数性：有理数之树,基数与序数概览,基数与序数例4. 0，1 （0，1）例5.（0，1） R例6. 实数集是不可数集基数的比较Cantor定理,基数与序数概览,基数与序数例7. |P(M)| = 2|M|例8. |R| = |P(N)|例9. R R2Cantor-Schrder-Bernstein定理,Cantor-Schrder-Bernstein
9、定理,Cantor-Schrder-Bernstein定理,康托的有限与无限,基数理论: Cantor的连续统假设（Hilbert第一问题）新的统合amazing 的结论全体自然数是构成“最小”的无限！ 全体自然数与全体有理数“一样多”！ 全体实数是“第2个”被认知的无限！ 任意集合的幂集合的基数都来的真的大！ 全体自然数的幂集合与全体实数一样多！,基数与序数概览,基数与序数2.良序集与序数良序集的概念良序集的同构与序数序数的构造 超限归纳法良序公理,Peano公理与自然数的构造,Peano公理（1）1N；（2）n N，n+ N；（3）n N，n+ 1；（4）m、n N，m+= n+，则m=n
10、；（5）若N的任意子集S满足1 S；n Sn+ S,则 S=N。,Peano公理与自然数的构造,性质1. n N，n+ n； 性质2. n N，n 1， m N s.t. m+= n.加法：n + 1= n+；n + m+=（n+m）+.加法满足结合律、交换律、消去律。,Peano公理与自然数的构造,乘法：n 1= n；n m+= n m + n.乘法满足结合律、交换律，乘法对加法的分配律。,Peano公理与自然数的构造,序关系比较定理： m、n N，以下情形有且只有一种情形成立：（1）m = n；（2）j N s.t. m = n + j；（3）k N s.t. n = m + k。,Pea
11、no公理与自然数的构造,序关系m、n N，定义： n m j N s.t. m = n + j。传递性、加法保序性、乘法保序性最小数原理：N的任意非空子集都有最小数。阿基米德公理： a、b N，a b，则n N s.t. b na。,从自然数到整数 负数的引入与整数的构造,1.负数的引入实际的需要、运算的需要从运算角度一个可能的引入方法：定义-a是满足x + a=0的数，那么如何得到运算法则的合理性解释呢？比如，（-a）+（-b）=-（a+b）（-a）.（-b）= ab,从自然数到整数 负数的引入与整数的构造,1.负数的引入 设x + a = 0, y + b = 0,于是（x + y）+ (
12、a + b) = 0所以 （-a）+（-b）=-（a+b）又 b(x + a) = 0, (y + b) x= 0即 bx + ba = 0, yx +bx = 0于是 yx = -bx =ba即 (-a)(-b) = ab,从自然数到整数 负数的引入与整数的构造,2.整数的构造（1）一个集合D = (a,b)| a、b N（2）等价关系与商集(a,b) (c,d) b+c = a+d 定义： Z = D/ ,从自然数到整数 负数的引入与整数的构造,（3）运算加法：a,b+c,d=a+c,b+d乘法：a,bc,b=ad+bc,bd+ac定义的合理性（与代表选取无关）结合律、交换律、分配律加法的
13、0元和负元乘法的单位元,从自然数到整数 负数的引入与整数的构造,（4）序关系正整数集Z+ = a,b|a、b N，ba定义：a、b Z，a b b - a Z+ 传递性、加法保序性、乘法保序性,从自然数到整数 负数的引入与整数的构造,（5）嵌入f：N Z,n 1,1+n证明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)a b f(a)f(b).* 整数环Z,从整数到有理数 分数的引入与有理数的构造,1.分数的引入设xa = 1, yb = 1,于是(xy)(ab) = 1所以 xy = a-1b-1=(ab)-1记a-1 = 1/a，则ab-1 =
14、 a/b*推测分数加法和乘法的可能形式,从整数到有理数 分数的引入与有理数的构造,2.有理数的构造（1）一个集合D = (a,b)| a Z, b Z*=Z0 （2）等价关系与商集(a,b) (c,d) bc = ad 定义： Q = D/ ,从整数到有理数 分数的引入与有理数的构造,（3）运算加法：a,b+c,d=ad+bc,bd乘法：a,bc,b=ac,bd定义的合理性结合律、交换律、分配律加法的0元和负元乘法的单位元,从整数到有理数 分数的引入与有理数的构造,（4）序关系正有理数集Q+ = a,b|ab Z+定义：a、b Z，a b b - a Q+ 传递性、加法保序性、乘法保序性,从整
15、数到有理数 分数的引入与有理数的构造,（5）嵌入f：Z Q,a a,1证明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)a b f(a)f(b).稠密性、阿基米德性质* 有理数域,从有理数到实数 无理数数的引入与实数的构造,1.无理数的引入设x2 = 2, 证明：x不是有理数。用反证法。x = m/n, m、n互质, 则m2/n2=2，m2=2 n2，m2是偶数，从而m是偶数，设m=2t，于是4t2=2n，n=2t2，n是偶数，这与m、n互质矛盾。,从有理数到实数 无理数数的引入与实数的构造,2.实数的构造（1）一个集合Contor序列：rn是有理
16、数序列，如果 Q+，N1 N s.t. m、nN1, |rm-rn| ，那么，就称rn是Contor序列。D = rn| rn是Contor序列（2）等价关系与商集rn sn lim(rn-sn)=0定义： R = D/ ,从有理数到实数 无理数数的引入与实数的构造,（3）运算加法：rn+sn=rn+sn乘法：rnsn= rnsn定义的合理性结合律、交换律、分配律加法的0元和负元乘法的单位元,从有理数到实数 无理数数的引入与实数的构造,（4）序关系正实数集R+ = rn| Q+,N1 N+ s.t. nN1, rn 定义：a、b R，a b b - a R+ 传递性、加法保序性、乘法保序性,从
17、有理数到实数 无理数数的引入与实数的构造,（5）嵌入有理实数与无理实数f：Q R,r rn证明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)a b f(a)f(b).实数的完备性* 实数域,从实数到复数 虚数单位i的引入与复数的构造,1.虚数单位i的引入x2 = -12.复数的构造（1） C=(a,b)| a ,b R （2）加法：(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)乘法：(a,b)(c,b) = (ac-bd,ad+bc)结合律、交换律、分配律加法的0元和负元乘法的单位元,从实数到复数 虚数单位i的引入与复数的构造,（3）复数不能比较大
18、小的实质非有序域。用反证法，假设存在复数集合P满足(I) 若a C，则有且仅有下述情形之一成立：a = 0；a是P的一个元素；-a是P的一个元素。(II) 若a、b是P的两个元素，则a + b 和ab也是P的元素。再考虑i与P的关系即可。代数学基本定理：任意复系数多项式在复数域里有解。,数系的发展,自然数 整数 有理数 实数 复数 四元数 抽象代数结构,Cogito, ergo sum,“形”的起点：勾股定理,中国古代的经典周髀算经成书约公元前100年，卷一上记录了公元前11世纪，周公与商高的一段对话，即出现了勾股定理。,Cogito, ergo sum,什么是勾股定理,昔者周公问于商高曰：窃
19、闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度，请问数安从出？,Cogito, ergo sum,什么是勾股定理,商高曰：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三、股修四、径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。,Cogito, ergo sum,什么是勾股定理,周公曰：大哉言数，请问用矩之道？,Cogito, ergo sum,什么是勾股定理,商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆
20、。笠以写天，天青黑，地黄赤，天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。,Cogito, ergo sum,什么是勾股定理,是故，知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。周公曰：善哉。,Cogito, ergo sum,赵爽的弦图,Cogito, ergo sum,什么是勾股定理,Cogito, ergo sum,什么是勾股定理,Cogito, ergo sum,两个相关联的问题,1. 什么是直角？2. 什么是面积？,Cogito, ergo sum,商高的证明,既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。,Cogito, erg
21、o sum,商高的证明,Cogito, ergo sum,原本中的证明,约公元前300年,原本及其公理化方法,几何原本（希腊语：）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷。这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于圣经而流传最广的书籍。,原本及其公理化方法,中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，15521610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本欧几里得原本（15卷）合译的，定名为几何原本，几何的中文名称就是由此而得来的。他们翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力(Alexander Wylie，18151887)和中国科学家李善兰在1857
22、年译出。,数学与孩子,欧几里得（Euclid）的杰作原本2000多年的世界性的教科书！把所有的数学的起点归结为10条公理：公理1 跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。公理2 等量加等量，总量仍相等。公理3 等量减等量，余量仍相等。公理4 彼此重合的东西是相等的。公理5 整体大于部分,数学与孩子,公设1 过两点确定一条直线。公设2 直线可以无限延长。公设3 以一个点为圆心，任意距离为半径可以做一个圆。公设4 所有直角彼此相等。公设5 （平行公设）两条直线被第三条直线所截，同旁内角小于两直角，则这两条直线在同一侧必然交于一点。,原本证明的实质,“环而共盘”的妙处,“环而共盘”的妙处,“
23、环而共盘”的妙处,刘徽证明的实质,勾股定理一共有多少种证明方法？,勾股定理因为其重要性，很多人参与到寻求新证明的行列中，甚至据说1876年的美国总统Garfield也给出了如下的一个证明，显然，这个证明并不“新”！,勾股定理一共有多少种证明方法？,E. S. Loomis博士在他的书The Pytagorean Proposition里罗列了256个不同证明，并指出到1940年5月1日，共发现370种不同的证明，那个时候他都快88岁了。以下我们再给出两种有趣的证明，进而，介绍Hilbert第三问题平面类比问题，并给出勾股定理的无穷多种剖分证明！,达芬奇的数学艺术,达芬奇证明的实质,希尔伯特剖分
24、,勾股定理的剖分证明与勾股拼图,1,5,3,4,6,两个平面几何图形如果能够重合，则直观上可以看成是相同的图形，如果能够将其中一个用直线切割(剖分)，恰好可以“严丝合缝”地拼到另一个图形上，则这两个图形可以称为“剖分相等”。我们将刘徽、达芬奇与希尔伯特的三种证明，改造为三种勾股拼图，分别以他们的名字命名，设计了可以用来体会勾股定理剖分证明的数学尚品。其中每一个模式都包含一种将任意两个正方形用直线剖分后，拼补为一个大正方形的方法。,三种模式的勾股拼图板,1,5,3,4,6,刘徽模式 达芬奇模式 希尔伯特模式,华勒斯波埃伊格维也纳定理,希尔伯特第三问题,“已知两个多面体有相同体积，能否把其中一个多
25、面体分割成有限块再将之给合成另一个？”,勾股定理无穷多种剖分证明,毕达哥拉斯地砖,勾股定理无穷多种剖分证明,勾股定理无穷多种剖分证明,勾股定理无穷多种剖分证明,勾股定理无穷多种剖分证明,有铰链剖分百年经典问题,Henry E. Dudeney 1902年提出“将一个正方形通过有铰链剖分为一个正三角形”的问题，以下图示是对这个问题的解答：,有铰链剖分百年经典问题,D*Haus概念房屋D*Dynamic,D*Table,达芬奇茶几,勾股拼图桌,日本的数学文化代表算额,“我们现在使用的西洋数学，始于埃及，发于希腊，经过几千年逐步成立起来的。在日本有一种叫做“和算”的数学。和算最初出现在江户时代初期，在幕末时代，和算已经发展到和西洋数学几乎相同的水平了。西方的学者们花了几千年研究得来的数学，在日本却用了不到三百年就已经普及到了城市和村庄的平民，达到了高度发达的水平。” 译言网/江户时代的数学、和算,Thank You !,Li Jianhua,
