1、第二章 集中趋势、离散趋势、 正态分布及其应用,组段,频数 f,一、频数表,100名2岁男童身高的频数表, 组段 是若干个从小到大顺序排列的数据范围，每一个组段包括上限和下限 组距，相邻组段之间的距离称为组距。, 上限和下限，上限指某个组段数据范围的最大值，下限指最小值。相邻后一组的下限即是前一组的上限。,每个组段的数据范围是：包括下限但不包括上限，因此只写出下限的大小。,组距 i =相邻两组段下限之差,最后一组既包括上限也包括下限。,频数是指在所有观察值中，数值大小落在某一组段范围内的数据有多少个。,所有组频数总和是观察值的总个数f = n,100个人中有13个人身高在81 83cm范围内,
2、将原始数据整理成频数表的步骤,1. 找出最大值和最小值，求全距R=Xmax-Xmin,2.确定组数、计算组距、写组段组数 = 815组,第一组段包括数据中的最小值，最后一组段包括数 据中的最大值。,3. 计数频数，完成频数表,所有组的频数之和应该等于总观察值的个数。,由于取整的关系，频数表的组数可以和最初确定的组数不等。,绘制频数表举例,100名18岁健康女大学生身高165.1 165.1 159.5 166.1 0,找出最大值和最小值，求全距 Xmax=173.6 Xmin=154.7 R=Xmax-Xmin=173.6-154.7=18.9,2. 确定组数、计算组距、写组段 组数 = 10
3、组 i=R/n=18.9/10=1.89 取整 i=2 第一组段: 154 (包含数据中的最小值) 第二组段: 156 (每隔组距2写一组段) 最后一组: 172174 (包含数据中的最大值),3. 计数频数，完成频数表,f,身高,100名2岁健康男童身高的频数分布,频数分布的类型,200例正常成人血铅含量,血铅,f,某地健康成人的第一秒肺通气量,f,通气量,频数分布类型分为：,对称分布,偏态分布,正偏态,负偏态,频数分布的特征,1.集中趋势2.离散趋势,集中趋势指计量资料数据的平均水平，统计学上用一系列平均数指标来表示。,二、 数值变量集中趋势的描述指标,常用的集中趋势指标有三个： 算术均数
4、、几何均数、中位数,不同的平均数指标用于表示不同分布类型资料的集中趋势；不同分布类型的资料应该用相应的指标来描述。,（一）均数（算术均数）,1. 表示符号：总体 样本,2. 适用资料： 对称分布资料（正态分布资料）,3. 计算方法：直接法和加权法,观察值数量较少时用直接法；观察值数量多时用加权法。, 直接法计算均数,例：P11,其中X表示所有观察值之和n表示观察值的个数或样本量, 加权法计算均数 (利用频数表计算均数）,X表示频数表各组的组中值。,组中值计算：,或：,f 为各组频数,计算100名2岁男童的平均身高（身高的集中趋势）,步骤：求组中值X求各组fXfX 求和代入公式计算均数,=84.
5、84cm,某研究者调查了101名30-49岁正常成年男子血胆固醇含量(mmol/L)，整理成如下频数表，请计算其均数。,=4.735mmol/L,（二）几何均数,1. 符号表示 G,2. 适用资料：数据为等比数列，或对数正态分布资料,等比数列：后面数除以前面数总是等于一个常数，如2、4、8、16,3. 计算方法：直接法和加权法,观察值数量较少时用直接法；频数表资料用加权法。, 直接法计算几何均数,例：P12,或, 加权法计算几何均数 (利用频数表计算几何均数）,步骤：求lgX求各组flgXflgX 求和代入公式计算均数对数用反对数求几何均数,=4,计算几何均数的注意事项： 观察值中不能有 观察
6、值符号相同，不能同时有正值和负值,（三）中位数,1. 概念把一组变量值按大小顺序排列，位置在最中间的数值称为中位数。,2. 符号：M,3. 适用资料：偏态分布资料、资料一端或两端无确定数值、分布类型未知的资料,4. 计算方法：直接法和频数表法, 直接法计算中位数,根据样本量n不同分成两种情况,n为奇数,n为偶数,求1,2,3,4,5这五个数的中位数,求1,2,3,4,5,6这六个数的中位数, 用频数表计算中位数 (利用频数表计算中位数）,累计频数和累计频率,L：中位数所在组段下限i：中位数所在组段的组距fx：中位数所在组段的频数C：中位数所在组段前一组累计频数,关键要先找出中位数位于频数表中哪
7、一组。,方法：累计频率累计频率刚刚等于或大于50%的组 累计频数累计频数刚刚等于或大于n/2的组,计算公式,步骤：求累计频数求累计频率判断中位数所在组段代入公式计算中位数,23.8小时,右表中是300名健康成年人尿汞含量测量的结果，计算其平均尿汞水平。,（1）判断频数分布类型：偏态分布,（2）找出中位数所在组段,中位数在累计频数刚到150（300/2）的组，或累计频率刚达到50的组。,（3）代入公式计算,=16.5ug/L,5. 百分位数,中位数是一个特殊的百分位数，是50百分位数计算方法和中位数相同,用x表示,求P95，95百分位数,57.8小时,三、 离散趋势,离散趋势指计量资料数据距离平
8、均位置的分散程度，统计学上用一系列离散趋势的指标来表示。,4 6 8 10 4 5 6 7 8,数据分散程度大数据分散程度小,表示数据离散趋势（变异程度、离散程度、分散趋势）的指标：,全距,标准差,变异系数,不同的指标用于表示不同分布类型资料的离散趋势；不同分布类型的资料应该用相应的指标来描述。,四分位数间距,方差,（一）全 距（极差） R,R=XmaxXmin, 优点：计算简单、可用于所有类型资料, 缺点：没有将所有数据的分散程度考虑在内,（二）四分位数间距 Q,上四分位数QU：第75百分位数 P75 下四分位数QL：第25百分位数 P25 四分位数间距：上四分位数和下四分位数之差 Q=QU
9、-QL,比全距稳定，但仍然没有考虑到每个观察值的变异度。,P25 M P75,0%,100%,（三）方差,1. 符号：总体 样本S,2. 适用资料：对称分布资料（和均数一样）,3. 原理,考虑每个数据和均数间的差,差值可能会有正有负,将所有的差值加起来求平均,校正,S2,（四）标准差,1. 符号：总体 样本S,2. 适用资料：对称分布资料（和均数一样）,3. 来源: 标准差是方差的算术平方根,4. 优点：全面考虑了所有数据的变异程度,5. 意义：单位相同，均数相近的情况下，标准差越大，说明数据越分散，离散程度越大；标准差越小，说明数据越集中，离散程度越小。,6. 计算方法：直接法和加权法,观察
10、值数量较少时用直接法；频数表资料用加权法。, 直接法计算标准差,S =,S =,4 6 8 10 4 5 6 7 8,计算以下两组数据的标准差,=3.16,=1.58, 加权法计算标准差（利用频数表计算标准差）,S =,f：频数表中的频数,X：频数表各组的组中值,注意：fX2 和 (fX)2,例：100名岁男孩身高，求离散趋势,2. 计算各组fX,1. 求组中值X,3. 计算各组fX2,4. 将fX和fX2代入公式计算,S =,=3.79cm,例2 101名30-49岁正常成年男子血胆固醇(mmol/L),S =,=0.882mmol/L,（四）变异系数, 符号：CV, 计算公式：, 适用情况
11、：当两组计量资料比较离散程度时,- 两组资料度量衡单位不同,- 两组资料均数相差悬殊, 优点：没有单位，可以进行不同指标之间的比较,例 某地2岁男孩100人，身高的均数为84.8cm，标准差为3.8cm；体重均数为13.0kg，标准差为1.43kg。比较身高和体重的变异程度。,身高和体重用不同的度量衡单位，因此不能直接比较标准差。,身高,体重,通过比较CV，结果是体重的变异程度大。,小结：集中趋势指标和离散趋势指标的应用,四、正态分布和医学正常值范围的估计,（一）正态分布,1. 正态图形特点：, 单峰 峰值的位置是均数的位置, 左右对称 以均数位置为对称轴， 向两侧逐渐降低，不会与横轴相交,
12、具有两个参数：, 位置参数 决定曲线在横轴上的相对位置 越大，曲线越向右移, 形状参数 S 决定曲线的形状 S 越大，曲线越矮越宽 (数据 越分散),2. 正态分布的表示方法：如果某变量X的分布服从均数为，标准差为的正态分布，通常记为,X N（ , ）,例：100名女大学生的身高服从（163.84cm，3.79cm）的正态分布,3. 标准正态分布,标准正态分布又称z分布，是指均数为0，标准差为1的正态分布。,正态分布可以转换成标准正态分布：将所有观察值减均数除以标准差。,标准正态分布表示方法： N (0，1),或,0,S=1,身高,163.84cm,S=3.79cm,4.735mmol/L,胆
13、固醇含量,S=0.882mmol/L,标准正态分布（z分布）,4. 正态曲线下面积, 正态曲线以下，横轴以上的面积称为正态曲线下面积，用P表示。, 正态曲线下面积为100%（1），表示所有观察对象都包括在正态曲线的面积内。, 正态曲线下面积左右对称，各占50%。, 当正态分布的参数值固定后，正态曲线固定，正态曲线下面积由横轴上的界值来决定。横轴上X1X2之间的曲线下面积P可表示组段X1X2的频率。,身高,标准正态分布曲线下面积与界值,双侧95%：-1.96 1.96,双侧99%：-2.58 2.58,单侧95%：-1.645 1.645,单侧99%：-2.33 2.33,z值表,双侧95%正态
14、曲线下面积：,双侧99%正态曲线下面积：,常用正态曲线下面积和界值：,估计频率分布：,例1：100名2岁男童平均身高84.84cm，标准差3.79cm。 计算占总人数95%的男童身高范围。,=84.84-1.963.7984.84+1.963.79,=77.4cm92.3cm,身高在77.4cm92.3cm范围内的人占总人数的95%。,77.4 84.84 92.3,例2：身高小于80cm的人占总人数的比例,= -1.27,（1） 正态分布转化为标准正态分布，计算z值,（2） 查z值表,-1.27对应曲线下面积P是0.1020，即- -1.27占总面积的10.2%，故身高不足80cm的人占总人
15、数的10.2%,（二）医学参考值范围,1. 什么是医学参考值范围？,2. 双侧医学参考值范围和单侧医学参考值范围, 有些指标要求有上限和下限，计算双侧参考值范围。 例如：血压、血红蛋白、体重等, 只要求有上限或下限的指标计算单侧参考值范围。其中：, 上限：可以很小，过大不正常 例如：尿蛋白, 下限：可以很大，过小不正常 例如：肺活量,绝大多数正常人某项研究指标数值所在的范围。 常用95%和99%的正常值范围。,3. 计算方法, 正态分布法：要求资料服从正态分布 例：100名2岁男孩身高的均数是84.84cm，标准差是3.79cm，计算100名男孩身高的95%和99%正常值范围,=84.84-1
16、.963.79=77.4cm,=84.84+1.963.79=92.3cm,100名2岁男孩身高95%正常值范围是77.4cm92.3cm,95%正常值范围:,=84.84-2.583.79=75.1cm,=84.84+2.583.79=94.6cm,100名2岁男孩身高99%正常值范围是75.1cm94.6cm,99%正常值范围:,用百分位数法确定正常值范围,双侧95%： P2.5 P97.5,双侧99%：P0.5 P99.5,单侧95%上限：0 P95 单侧95%下限：P5 P100,单侧99%上限：0 P99 单侧99%下限：P1 P100, 百分位数法：资料不服从正态分布时用,练习一：
17、101名正常成年男子血胆固醇平均4.735mmol/L，标准差为0.882mmol/L，求其95%和99%正常值范围。,95%正常值范围：,99%正常值范围：,= 4.7351.960.882,= 3.016.46mmol/L,= 4.7352.580.882,= 2.467.01mmol/L,偏态分布95%单侧正常值范围：0P95,P95：10795%= 101.65 在20组。,P95= 20+4/6（101.65-98）=22.43mg/L,95%正常值范围是22.43mg/L以内。,练习二、调查测定某地107名正常人尿铅含量(mg/l)如下：尿铅含量：0 4 8 12 16 20 24 28 合计例数： 14 22 29 18 15 6 1 2 107,
