2010年天津高考理科数学试题及答案.doc

1、2010 年天津高考理科数学试题及答案本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟，第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1 答第卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3 本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 如果事件 A、B 相互独立，那么P(AB)=

2、P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)棱柱的体积公式 V=Sh, 棱锥的体积公式 V= ,13sh其中 S 标示棱柱的底面积。 其中 S 标示棱锥的底面积。h 表示棱柱的高。 h 示棱锥的高。一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i 是虚数单位，复数 132i(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将 i2改为-1.132i-+51()12ii（ ） -i【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小

3、题，运算时要细心，不要失分哦。（2）函数 f(x)= 的零点所在的一个区间是23x(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。由 及零点定理知 f(x)的零点在区间（-1，0）上。1()30,()12ff【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。（3）命题“若 f(x)是奇函数，则 f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若 f(x) 是偶函数，则 f(-x)是偶函数（B）若 f(x)不是奇函数，则 f(-x)不是奇函数（C）若 f(-x)是奇函数，则 f(x)

4、是奇函数（D）若 f(-x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数【答案】B【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知 B 项是正确的。【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。（4）阅读右边的程序框图，若输出 s 的值为-7，则判断框内可填写(A)i3? （B）i4?（C）i5? （D）i6? 【答案】 D【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。第一次执行循环体时 S=1，i=3;第二次执行循环时 s=-2，i=5；第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写“if(-a),则实数 a 的取值范围是

5、21log,0()x（A） （-1，0）（0，1） （B） （-，-1）（1,+） （C） （-1，0）（1,+） （D） （-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。2112220b+2因为 A B,所以 a+1 b-2 或 a-1 b+2，即 a-b -3 或 a-b 3，即|a-b| 3【温馨提示】处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解。(10) 如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端

6、点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A）288 种 （B）264 种 （C）240 种 （D）168 种【答案】D【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。（1） B,D,E,F 用四种颜色，则有 种涂色方法；412A（2） B,D,E,F 用三种颜色，则有 种涂色方法；3344192（3） B,D,E,F 用两种颜色，则有 种涂色方法；248A所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。2010 年普通高等学校招生全国统一考试（

7、天津卷）数学（理工类）第卷注意事项：1 答卷前将密封线内的项目填写清楚。2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。3 本卷共 12 小题，共 100 分。二填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案天灾题中横线上。（11）甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。【答案】24，23【解析】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题。甲加工零件个数的平均数为 198201231524乙加工零件个数的平均数为 7403【温馨提示】茎叶图中共同的数字

8、是数字的十位，这事解决本题的突破口。（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【答案】 103【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为 2，正四棱锥的体积为 ，143所以该几何体的体积 V=2+ = 430【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉 哦。1（13）已知圆 C 的圆心是直线 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0,(xty

9、为 参 数 ）相切，则圆 C 的方程为 【答案】 2(1)x本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令 y=0 得 t=-1，所以直线 与 x 轴的交点为（-1.0）1ty因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，所以圆|103|2rC 的方程为 2(1)xy【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。（14）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P，若,则 的值为 。PB1C=,A2D3B【答案】 6【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。因

10、为 A,B,C,D 四点共圆，所以 ,因为 为公共角，所,DABPCAPBC以PBCPAB,所以 .设 OB=x，PC=y，则有 ，所以P 632xyy63BCxADy【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。（15）如图，在 中， , ,ABC:DAB3CD,则 .1D【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。 |cos|cos|sinACADCADCABC sinB3【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题

11、。（16）设函数 ，对任意 ，2()1fx2,3x恒成立，则实数 的取值范围是 .24()4(xfmffm【答案】D【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。依据题意得 在 上恒定成立，即222214()(14(1)xmxm3,)x在 上恒成立。2134m3,当 时函数 取得最小值 ，所以 ，即x21yx52543，解得 或22(31)43)032m【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）已知函数 2()23

12、sincos1()fxxxR（）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；f 0,（）若 ，求 的值。006(),542fx0cosx【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的sin()yAx性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 12分。（1）解：由 ，得2()23sincos1fxxx2()si()3incos2in()6fx x所以函数 的最小正周期为f因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又()2sin6fxx0,6,62，所以函数 在区间 上的最大值为 2，最小值(0)1,1fff()fx0,为-1（）解：由

13、（1）可知 00()2sin6fxx又因为 ，所以06()5fx03i5由 ，得0,42027,6从而 2004cos1sin65xx所以 000034cos2cos2cosin2sin66610xxxx （18）.（本小题满分 12 分）某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影响。23（）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率（）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加

14、 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 为射手射击 3 次后的总的分数，求 的分布列。【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分。（1）解：设 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 .在 5 次射击中，恰XX2,3B有 2 次击中目标的概率 22540()133PC（）解：设“第 次射击击中目标”为事件 ；“射手在 5 次射击中，i (1,2345)iA有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 ,则123451234512345()()()PAAPP=2

15、= 81（）解：由题意可知， 的所有可能取值为0,12363123(0)()7PA123123123()()PA= 912324()()7PA123123()PA221837123(6)()PA87所以 的分布列是（19） （本小题满分 12 分）如图，在长方体 中， 、 分别是棱 ,1ABCDEFBC1上的点， ,2F1:24A（1） 求异面直线 与 所成角的余弦值；E1（2） 证明 平面AD（3） 求二面角 的正弦值。1F【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 12 分。

16、方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设 ,依题意得 ,1AB(02)D, ,(12)F1(04)3,2E（1） 解：易得 ,1F1(0,24)A于是 113cos, 5EDA:所以异面直线 与 所成角的余弦值为EF1AD35（2） 证明：已知 , ,(2)1,42E1,02ED于是 =0， =0.因此， , ,又AF1E1AF1AE所以 平面D(3)解：设平面 的法向量 ，则 ,即EF(,)uxyz0uED:021yzx不妨令 X=1,可得 。由（2）可知， 为平面 的一个法向量。(1,） AF1于是 ，从而cos,=3|Au5sin,=3u所以二面角 的正弦值为1-ED

17、F5方法二：（1）解：设 AB=1，可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 2链接 B1C,BC1，设 B1C 与 BC1交于点 M,易知 A1DB 1C，由 ,可知 EFBC 1.故1EF=B4是异面直线 EF 与 A1D 所成的角，易知 BM=CM=M,所以 ,所1=52223cos 5MB:以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 35（2）证明：连接 AC，设 AC 与 DE 交点 N 因为，所以 ，从而CEBRtCEtBA:，又由于 ,所以A90D，故 ACDE,又因为 CC1DE 且 ，所以 DE平面90D 1CAACF，从而 AFDE.连接 BF，同理可证 B1C平面

18、 ABF,从而 AFB 1C,所以 AFA 1D 因为 ，1E所以 AF平面 A1ED(3)解：连接 A1N.FN,由（2）可知 DE平面 ACF,又 NF 平面 ACF, A1N 平面 ACF，所以DENF,DEA 1N,故 为二面角 A1-ED-F 的平面角1NF易知 ，所以 ，又 所以 ，在RtCEtB:CE55C21305tNFNRtAN:中 ， 在 中 21430AN连接 A1C1,A1F 在 21114RtFC中 ，。所以2111cos 3t AN在 中 ， 15sin3F所以二面角 A1-DE-F 正弦值为 53（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四

19、个顶点得到的菱形的面21(0xyab） 32e积为 4。（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为（ ） ，点l ,AB,0a在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值0(,)QyAB4Q:y【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分（1）解：由 ，得 ，再由 ，得3e2ca24ac22ab由题意可知， 1,b即解方程组 得 a=2,b=12a所以椭圆的方程为 214xy(2)解：由（1）可知 A（-2,0） 。设 B 点的坐标为（x 1,

20、y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l的方程为 y=k(x+2),于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2()14ykx由方程组消去 Y 并整理，得 222(1)6(4)0kk由 得2164,kx21128,kyk从 而设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为228(,)14k以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0） 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是000(2,y)(2,=2QAyQABy:） 由 4， 得（2）当 K 时，线段 AB 的垂直平分线方程为2218()44kkYx令 x=0，解得 02614ky由 010(,)(,QABxy）210 222

21、(8)6462( ()141kkQABxy:） =42(65)4k=整理得 2 012147, =75y故 所 以综上 0024=5yy或（21） （本小题满分 14 分）已知函数 ()()xfcR（）求函数 的单调区间和极值；（）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明()ygx()yfx1x当 时，1xf（）如果 ，且 ，证明2x12()ffx12x【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分 14 分（）解：f ()1xxe令 f(x)=0,解得 x=1当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如

22、下表X ( ),11 ( )1,f(x) + 0 -f(x) :极大值 :所以 f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。,11,函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=e（）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x令 F(x)=f(x)-g(x),即 2()()xxFe于是 2()1xFxe当 x1 时，2x-20,从而 (x)0,从而函数 F（x）在-0,Fxe又 所 以1,+)是增函数。又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).-1e0， 所 以 1时 ， 有)证明：（1）若 2 1212(),),.x xx1

23、2由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。（2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。根据（1） （2）得 1212(),.xx不 妨 设由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而)fg2()f-)2f(x)2- .因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f(x)在区间（-)1f(x)2-2xx，1）内事增函数，所以 ,即 2.1212（22） （本小题满分 14 分）在数列 中， ，且对任意 . ， ， 成等差数列，其公差为 。na10*kN21kak21kd（）若 = ，证明 ， ， 成等比数列（ ）kd22ka12k *N（）若对任意 ， ， ， 成等比数列，其公比为 。*Nakq

24、【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。（）证明：由题设，可得 。*4,21akNk所以 1 31()().()2 2a aak=4().4=2k(k+1)由 =0，得1a 222(1), ,(1).21kakakk从 而于是 。2,ak所 以所以 成等比数列。*,212kdkNak时 ， 对 任 意（）证法一：（i）证明：由 成等差数列，及成等比数列，得,212akk121, kakq当 1 时，可知 1，k1qq*N从而 111, 1(2)

25、2 kqk kk 即所以 是等差数列，公差为 1。1q（）证明： ， ，可得 ，从而 =1.由（）有10a234a12,q1*1,kkqNq得所以2*221, ,1aakkNk （ ）从 而因此， 222 *2 (1)2 142(),kaak kkakNk 以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n 为偶数时，设 n=2m( )*mN若 m=1,则 .2ka若 m2，则+222211 1()()4nmmkkkkkaa2 211 14 12()()()3().mmk k kkmn 所以2 231, ,46,8.n nk kaa 从 而(2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1（ ）*mN222 21(

26、)31()4mkkaa 142()2n所以 从而 231,nka23,35,7nka综合（1） （2）可知，对任意 , ,有2nN2nk证法二：（i）证明：由题设，可得 2122(1),k kkdaqaq所以21212(),kkkkkdaqa1d3211 22k kkkk kq qa由 可知 。可得 ，11,*kN1 1kkkq所以 是等差数列，公差为 1。kq（ii）证明：因为 所以 。120,a121da所以 ，从而 ， 。于是，由（i）可知所以 是3214d312q1q1kq公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得 = ，故 。1kq1k1kq从而 。1kdq所以 ，由 ，可得1

27、212121kkdkk12d。kd于是，由（i）可知 221,*kkaaN以下同证法一。2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。（1）A （2）B （3）B （4）D （5）B（6）C （7）A （8）C （9）D （10）B二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 24 分。（11）24:23 （12） （13） 1032(1)xy（14） （15） (16)633,2三、解答题（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的性sin()yAx质、同角三角

28、函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 12 分。（1）解：由 ，得2()23sincos1fxxx2()si()3incos2in()6fx x所以函数 的最小正周期为f因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又()2sin6fxx0,6,62，所以函数 在区间 上的最大值为 2，最小值(0)1,1fff()fx0,为-1（）解：由（1）可知 00()2sin6fxx又因为 ，所以06()5fx03i5由 ，得0,42027,6从而 2004cos1sin65xx所以 000034cos2cos2cosin2sin66610xxxx 18.本小题主要考查二项分布

29、及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分。（1）解：设 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 .在 5 次射击中，恰XX2,3B有 2 次击中目标的概率 22540()133PC（）解：设“第 次射击击中目标”为事件 ；“射手在 5 次射击中，i (1,2345)iA有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 ,则123451234512345()()()PAAPP=2= 81（）解：由题意可知， 的所有可能取值为0,12363123(0)()7PA123123123()()PA= 91232

30、4()()7PA123123()PA221837123(6)()PA87所以 的分布列是（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 12 分。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设 ,依题意得 ,1AB(02)D, ,(12)F1(04)3,2E（3） 解：易得 ,1F1(0,24)A于是 113cos, 5EDA:所以异面直线 与 所成角的余弦值为F1（4） 证明：已知 , ,(2)A13,42E1,02ED于是 =0， =0.因此， , ,又AF1ED1

31、AF1AE所以 平面(3)解：设平面 的法向量 ，则 ,即EF(,)uxyz0uED:021yzx不妨令 X=1,可得 。由（2）可知， 为平面 的一个法向量。(1,） AF1于是 ，从而cos,=3|Au5sin,=3u所以二面角 的正弦值为1-EDF5方法二：（1）解：设 AB=1，可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 2链接 B1C,BC1，设 B1C 与 BC1交于点 M,易知 A1DB 1C，由,可知 EFBC 1.故 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角，易知 BM=CM=1CEF=B4BMC,所以 ,所以异面直线 FE 与 A1D 所成角152223cos 5:的余弦值

32、为 3（2）证明：连接 AC，设 AC 与 DE 交点 N 因为 ，所以2CEBA，从而 ，又由于 ,所以RtDCEtBA:CDEBA90D，故 ACDE,又因为 CC1DE 且 ，所以 DE平面90 1ACF，从而 AFDE.连接 BF，同理可证 B1C平面 ABF,从而 AFB 1C,所以 AFA 1D 因为 ，1EA所以 AF平面 A1ED(3)解：连接 A1N.FN,由（2）可知 DE平面 ACF,又 NF 平面 ACF, A1N 平面 ACF，所以DENF,DEA 1N,故 为二面角 A1-ED-F 的平面角1NF易知 ，所以 ，又 所以 ，在RtCEtB:CE55C21305tNF

33、NRtAN:中 ， 在 中 21430AN连接 A1C1,A1F 在 21114RtFC中 ，。所以2111cos 3t AN在 中 ， 15sin3F所以二面角 A1-DE-F 正弦值为 53（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分（1）解：由 ，得 ，再由 ，得3e2ca24ac22ab由题意可知， 1,b即解方程组 得 a=2,b=12ab所以椭圆的方程为214xy(2)解：由（1）可知 A（-2,0） 。设 B 点的坐标为（x 1,y1）,直线 l 的斜率为 k，

34、则直线 l的方程为 y=k(x+2),于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2()14ykx由方程组消去 Y 并整理，得 222(1)6(4)0kk由 得2164,kx21128,kyk从 而设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为228(,)14k以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0） 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是000(2,y)(2,=2QAyQABy:） 由 4， 得（2）当 K 时，线段 AB 的垂直平分线方程为2218()44kkYx令 x=0，解得 02614ky由 010(,)(,QABxy） 210 222(8)6462()411kkx

35、:） =42(65)4k=整理得 2 0142147, =75ky故 所 以综上 002=5yy或（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分 14 分（）解：f ()1xxe令 f(x)=0,解得 x=1当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X ( ),11 ( )1,f(x) + 0 -f(x) :极大值 :所以 f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。,11,函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=e（）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x

36、) 2x令 F(x)=f(x)-g(x),即 ()()xF于是 2()1xFxe当 x1 时，2x-20,从而 (x)0,从而函数 F（x）在-0,Fxe又 所 以1,+)是增函数。又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).-1e0， 所 以 1时 ， 有)证明：（1）若 2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。（2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。根据（1） （2）得 1212(),.xx不 妨 设由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而)fg2()f-)2f(x)2- .因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f(x)在区

37、间（-)1f(x)2-21x21x，1）内事增函数，所以 ,即 2.(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。（）证明：由题设，可得 。*4,21akNk所以 1 31()().()2 2a aak=4().4=2k(k+1)由 =0，得1a 222(1), ,(1).21kakakk从 而于是 。2,ak所 以所以 成等比数列。*,212kdkNak时 ， 对 任 意（）证法一：（i）证明：由 成等差数列，及成等比数列，得,212akk121,

38、 kakq当 1 时，可知 1，k1qq*N从而 111, 1(2)2 kqk kk 即所以 是等差数列，公差为 1。1q（）证明： ， ，可得 ，从而 =1.由（）有10a234a12,q1*11,kkqNq得所以2*221, ,1aakkNk （ ）从 而因此， 222 *2 (1)2 142(),kaak kkakNk 以下分两种情况进行讨论：（2） 当 n 为偶数时，设 n=2m( )*mN若 m=1,则 .2ka若 m2，则+222211 1()()4nmmkkkkkaa2 211 14 12()()()3().mmk k kkmn 所以2 231, ,46,8.n nk kaa 从

39、 而(2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1（ ）*mN222 21()31()4mkkaa 142()2n所以 从而 231,nka23,35,7nka综合（1） （2）可知，对任意 , ,有2nN2nk证法二：（i）证明：由题设，可得 2122(1),kkkkdaqaq所以21212(),kkkkdaqa1d3211 22kkkkkkq qa由 可知 。可得 ，11,*kN1 1kkkq所以 是等差数列，公差为 1。kq（ii）证明：因为 所以 。120,a121da所以 ，从而 ， 。于是，由（i）可知所以 是3214d312q1q1kq公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得 = ，故 。k1k从而 。1kdq所以 ，由 ，可得1212121kkdkk12d。kd于是，由（i）可知 221,*kkaaN以下同证法一。