1、英语口语教学实验效果评价摘要本文主要是对英语口语教学实验效果进行评价，我们将本题归为对大量数据分析整理的统计问题，采用曲线拟合模型、显著性分析、聚类、灰色关联等数学方法进行分析得到预期结果。问题一 本文根据题目所给出的数据首先作图观察成绩的趋势，然后采用曲线拟合的方法来建立合适的模型： 29.1436.53.1)(teY利用模型进行预测，根据预测图探讨需要经过未来几年英语成绩的发展趋势，通过分析得出结论：在未来几年内，英语口语的平均分将在70分以下，所以本组认为如果要达到80分的目标，改革很有必要。问题二 本文将评价 OTM 的效果显著性问题转换为实验前后的成绩对教学实验有无显著性差异的问题，
2、若影响不显著则说明 OTM 的效果不显著，据此建立方差检验模型，构造一个 Z 检验统计量，通过假设检验来确定实验前与实验后的成绩存在显著性差异。然后统计出成绩提高的人数并通过它们所占总人数的百分比得出结论：OTM 成效显著。问题三 首先根据 11 个院系实验前后四项成绩差值的平均值的偏差程度说明各系学习英语的氛围是否存在差异。然后根据氛围的相对优劣程度分成两类，利用 K 均值聚类分析的方法得到处在同一水平下的院系的分类结果：英语学习氛围相对高 国贸、动科、机制、动医、水产、GIS英语学习氛围相对低 计算机、植科、水族、林学、营销问题四 我们将本题转换为分析不同班级、院系对 OTM 效果是否有影
3、响。本文采用有相互作用的双因素方差分析，将引起效果总的变异分解为两种因素引起的差异作出数量统计。通过方差分析了解班级、院系及交互作用对测定结果的影响及影响的相对大小。最后本文认为是否是实验班、不同的系别以及交互作用对成绩的影响都是不显著的，所以不论班级与院系的影响，OTM 的效果还是显著的。问题五 本题要求阐述成绩与口语介绍、口语描述、口语讨论的水平关系。我们采用灰色关联分析，求出参考数列与比较数列的灰色关联系数 。然后计算出介绍、描述、讨论与成绩之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来判断其三者对英语成绩的影响程度，即认为是水平关系。最后得到口语讨论、口语描述、口语介绍对口语总分成绩
4、的水平关系的顺序如下：口语描述口语讨论口语介绍关键词：曲线拟合 显著性分析 K 均值聚类 双因素方差分析 灰色关联分析一、问题重述英语，一直是当代大学生学习生活的主题。英语好，一切好！似乎已成定律。我校是农业院校，英语基础不是很好，但是通过全体英语教师的共同努力，我校学生的英语水平取得较大进步，英语四级通过率不断攀升。但是真正英语水平的提高，并不完全是英语四级通过率的提高，而是英语交流水平的提高，即口语的提高。为此，我校外语教学研究者进行了近两年的口语教学实验，摸索出了一套完整的口语培训方法，简称 OTM。一天，就这种培训方法的效果，诸多英语老师和管理工作者召开了一场教学研讨会。第一问：会上，
5、就寻找适合我校学生口语教学方法必要性的论述中，主要研究者拿出了我校近十年来我校进行口语教学以来我校学生口语平均成绩，见数据包中的数据 3。她得出了一个数学模型，阐述了我校要达到口语平均成绩接近 80 分的长远规划就必须进行口语教学改革。请你帮她完整地叙述这个模型以及她得出的结论。第二问：会上，由管理者就 OTM 教学效果向研究者提出疑问。研究者于是拿出文件夹数据 1 中的数据来进行论述。请你帮她就口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分对 OTM 的效果进行论证。第三问：会上有人认为各个院系学习英语口的氛围存在差异，你是如何看待的？如果各院系学习口语氛围存在差异，那哪些院系口语氛围处在同一水平？
6、第四问：有专家提出，阐述 OTM 是否存在效果，不能简单地依靠数据 1来说明。为此，研究者又拿出文件夹数据 2 的数据，用实验班与对照班的平均成绩进行对比。但由于院系、班级不一样，简单的平均对比引起众多人的质疑。请你帮她解决这一问题。第五问：口语总分是单独测试的，其成绩应该与口语介绍、口语描述、口语讨论的水平有关系，请你详细阐述这种关系。2、问题分析2.1 问题一在问题一中，根据数据 3 中给出的近十年来的英语口语教学的学生平均成绩。本组考虑首先作图观察成绩的趋势，然后利用曲线拟合的方法来建立合适的模型，利用模型进行预测，根据预测图探讨需要经过未来几年英语成绩的发展趋势，如果达到 80 分的年
7、数较长就说明改革很必要。2.2 问题二在问题二中，需要通过数据1中口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分的数据对 OTM 的效果进行论证。首先不考虑院系和班级的影响，仅将每位学生的四项成绩整理为实验前与试验后。本题考虑根据 Z 检验判定实验前与实验后的两组数据的差异是否显著。然后统计出口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分这四项中实验后成绩提高的人数，求出它们所占总人数的百分比，并且对结果作图，最后根据结果说明 OTM 的效果。2.3 问题三在问题三中，要求分析各院系学习口语氛围是否存在差异，并且探讨哪些院系口语氛围处在同一水平。由于学习英语口语的氛围与口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分有
8、关。首先对11个院系的数据进行处理，求出这11个院系实验前和实验后四项成绩差值的平均值，并且根据差值的偏差程度说明各系学习英语的氛围是否存在差异。然后根据氛围的相对优劣程度分成两类，利用聚类分析来分析哪些院系处在同一水平。2.4 问题四本题要求分析不同班级、院系对 OTM 效果是否有影响，分析效果之间是否存在差异。首先我们对实验班和对照班的每个班级的成绩进行统计，并得出实验班和对照班的成绩差值。考虑到不同院系以及班级之间也会有相互影响的可能，所以我们采用有相互作用的双因素方差分析，将引起试验总的变异分解为两种因素引起的差异作出数量统计。通过方差分析可以了解两种因素及交互作用对测定结果的影响及影
9、响的相对大小。即可分析不同班级、院系对 OTM效果是否有影响。2.5 问题五本题要求阐述成绩与口语介绍、口语描述、口语讨论的水平关系。我们运用灰色关联分析，首先确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列，求出参考数列与比较数列的灰色关联系数 。然后计算出介绍、描述、讨论与成绩之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来判断其三者对英语成绩的影响程度，即认为是水平关系。3、问题假设1、假设英语口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分这四项成绩的满分都是100 分；2、假设题目所给的数据真实可靠；3、假设在问题二中院系和班级不影响结果；4、假设只有口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总
10、分的成绩影响学习氛围。5、假定问题四中，不同院系以及班级的成绩是独立的并且服从等方差的正态分布。4、符号说明Y英语口语平均分t年份1X实验前学生英语成绩的平均值2实验后学生英语成绩的平均值1S实验前学生英语成绩的标准差2实验后学生英语成绩的标准差1n实验前学生样本容量2实验后学生样本容量平均效应i因素 A 的第 i 个水平水平的附加效应j因素 B 的第 j 个水平的附加效应)(ij因素 A 的第 i 个水平和因素 B 的第 j个水平相互作用的附加效应ijk随机误差项分辨系数)(ki关联系数ir关联序权重5、模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 模型建立本组将数据一的数据做一个散点图，然后确定
11、模型的拟合函数。散点图如下：图5-1-1分析上图，我组认为此样本应该用逻辑斯蒂增长函数，我们将逻辑斯蒂增长函数函数初步看作： ceKYt)(15.1.2模型求解通过对数据以及散点图的观察，得出当t=6时，平均增长速率最大。所以我们初步对以上的数据进行拟合，得到结果如下： 542.3018.)6(teY回归的结果决定系数R方为0.993，DW值为1.338，将上模型求出的结果和原数据进行对比，如下图：图5-1-2从上图看来，初步建立的模型是非常合理的，决定系数已经到了0.99。但是我组秉承着精益求精的精神，我们将进一步优化拟合，使模型达到更好的结果，进行多次试验后，得到最后模型如下： 29.14
12、36.53.1)(teY上述模型回归结果的决定系数R方为0.996，DW值为2.170，此时我们认为拟合结果最佳，并且预测图如下：图5-1-3从预测图上可以看到，在未来几年内，英语口语的平均分将在70分以下，距离80分的目标不可预估，所以本组认为如果要达到80分的目标，改革很有必要。5.2 问题二5.2.1 模型建立统计检验是先对总体的分布规律作出某种假说，然后根据样本提供的数据，通过统计运算，根据运算结果，对假说作出肯定或否定的决策。Z 检验法适用于大样本的两平均数之间差异显著性检验的方法。它是通过计算两个平均数之间差的 Z 分数来与规定的理论 Z 值相比较，看是否大于规定的理论 Z 值，从
13、而判定两平均数的差异是否显著的一种差异显著性检验方法。由于问题二中样本数据大于 30，所以对问题（2）用 Z 检验来判定实验前与实验后每个学生的成绩差异是否显著。总体标准差 未知的正态分布资料，是用于两个平均值差异程度的检验方法。它是用 Z 分布理论来推断差异发生的概率，从而判定实验前与实验后的两组数据的差异是否显著。其一般步骤：（1）建立假设：两 组 数 据 差 异 不 显 著:0H两 组 数 据 差 异 显 著1（2）检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其 Z 值计算公式为： 21nSX其中， , 是样本1、样本2的平均数；X， 是样本1、样本2
14、的标准差；S， 是样本1、样本2的容量。n（3）比较计算所得 Z 值与理论 Z 值，推断发生的概率，依据 Z 值与差异显著性关系表作出判断。如下表示：表5-2-1P 值 差异显著程度58.2Z01.差异非常显著9615差异显著.P差异不显著（4）第四步，根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。5.2.2模型求解运用 SPSS 软件进行求解，得到结果如下表所示：表5-2-2双侧检验水准 口语介绍 口语描述 口语讨论 口语总分方差方程的 levene 检验 0.028 0.889 0 0.5880 0 0 0均值方程的 t 检验0 0 0 0是否具有显著性差异 是 是 是 是由上表分析可得，因为口
15、语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分的 P 值均小于0.05，所以可以说明实验前与实验后的成绩存在显著差异。将上面差异性数据进行进一步的分析，我们将实验前成绩减去实验后的成绩，根据增长值的正负来判断成绩的增加与减少。最后求出成绩增加占总人数的百分率，来说明 OTM 的效果，结果如下表所示：表5-2-3提高的人数 总人数 百分率口语介绍 603 721 84%口语描述 621 725 86%口语讨论 639 720 89%口语总分 633 715 89%通过对上表数据的分析，本校采用了 OTM 后，四项成绩均提高了百分八十以上，说明 OTM 是有一定的效果的。我们用四项成绩均值的雷达图来更直观地
16、展现 OTM 的显著成效。图 5-2-1图 5-2-2图 5-2-3图 5-2-45.3问题三5.3.1模型建立学习英语口语的氛围与口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分有关。为了研究各院系学习英语口语的氛围，我们需要对 11 个院系的数据进行处理，求出这 11 个院系实验前和实验后四项成绩差值的平均值，得到各个院系的四项成绩的差值结果如下表：表 5-3-1分院 口语介绍 口语描述 口语讨论 口语总分植科 9.06 5.72 6.22 7.07 林学 2.29 3.98 4.98 1.89 机制 3.15 3.51 4.88 4.64 动医 5.83 9.46 9.87 7.96 动科 5.4
17、0 10.84 11.83 9.42 水产 6.98 7.07 14.14 9.04 GIS 9.19 10.05 15.03 10.52 机制 8.42 14.27 14.61 10.41 国贸 6.77 12.55 21.39 11.99 营销 1.93 3.37 5.05 3.79 计算机 4.23 4.82 4.88 19.52 水族 3.64 4.04 6.32 3.87 根据上表的结果可以看出；实验前和实验后的差值偏差比较大，说明各系学习英语的氛围存在差异，本文利用聚类分析来求解哪些院系处在同一水平。快速聚类法又称 K 均值法，其基本思想是：先给出一个粗略的分类，然后根据某种原则判
18、断分类是否合理，如果不合理就用某种原则进行修改，知道分类结果比较合理为止。根据问题分析，本文将所有的样本分成两类，即学习氛围的相对优与劣，在每类选择一个有代表性的样品作为凝聚点。选出凝聚点之后对数据进行聚类，聚类步骤如下：（1）定义样品间距离，假设2个凝聚点的集合是 ,)0(2)(1)0(xL用每个样品以最靠近的凝聚点归类的原则实现初始分类，即 2,1,),(),(|0(0()0( ijjdxdGjii这样将样品分为 k 个不相交的类 ，得到初始分类，记为21)iG,)0()()0(（2）从 出发，计算新的类重心集合)0(G,)1(2)()1(xL其中， 是类 的重心)1(ix)0(i ,1)
19、0()1( ixnxiGii其中 是类 中的样品数，从 出发将样品作为新的分类，记in)0(iG)1(L2,1,21,|)()1()1( ijjxdxdjii得到分类,)1(2)(1)1(G（3）设第 m 步得到分类 ,)(2)(1)( mm是类 的重心， 不一定是样品，也不一定是 的重心。但当)(mix)1(iG)(ix )(mim 逐渐增大时，分类趋于稳定。此时， 就会近似为 的重心。从而有)(mix)(iG， 算法即可结束。)()1(miix )()1(mii5.3.2模型求解利用 R 软件进行聚类，结果如下：产产 产产产 产产 产产 产产 产产 产产 产产 产产 产产 GIS05101
20、520果果果果hclust (*, “complete“)产产产产图5-3-1通过上图可以很直观地看出这11个院系学习英语氛围的聚类情况。可以分为两大类：国贸、动科、机制、动医、水产、GIS，即这6个院系的英语学习氛围相当；计算机、植科、水族、林学、营销这5个院系的英语学习氛围相当。并且从数据上分析，认为国贸、动科、机制、动医、水产、GIS这6个院系的英语学习氛围比计算机、植科、水族、林学、营销这5个院系的英语学习氛围要好。5.4问题四5.4.1模型建立双因素方差分析基本原理：一般试验得到的数据，由于受到各种因素的影响，它们之间存在差异，这种差异既可能是由于随机因素引起的，也可能是试验条件的改
21、变引起的。方差分析是将引起试验总的变异分解为各种因素引起的差异作出数量统计。因此，通过方差分析可以了解每个因素对测定结果的影响及各因素影响相对大小，从而为优选提供科学依据。考虑到不同院系以及班级之间也会有相互影响的可能，所以我们采用有相互作用的双因素方差分析，因此建立数学模型： ijkijjiijX)(k，且相互独立；),0(2Nijk .1,1nml其中 表示平均的效应， 分别表示因素 A 的第 i 个水平和因素 B 的第 jji,个水平的附加效应， 表示因素 A 的第 i 个水平和因素 B 的第 j 个水平相)(ij互作用的附加效应， 为随机误差项，这里也假定它们是独立的并且服从等ijk方
22、差的正态分布。并且引进以下统计量：总平均值 limjnkijXX1因素 A 平方和 21)(liiASM因素 B 平方和 21)(mjjBXnl交互作用平方和 lij jiijBAS1 2* )(误差平方和 limjnkijijkXE12)(总离差和 lijnkijkST12)(可以证明 EMSSTBABA*构造检验统计量： )1/()1/(/ mlnSFmlnSEMF BBA在 成立时，检验统计量：H0)1(,1)1/(/0 mllnFmllnSEMFAHAA （为 真在 成立时，检验统计量：BH0 )1(,1)1/(0 mllnmFmllnSEFBHB（为 真对于给定的显著性水平 ， 的拒
23、绝域为：A0 )1(,1)/( lnllnSMA （的拒绝域为：BH0 )1(,1)1/( mlnFmlnSEFB（因此构造方差分析表如下：表5-4-1来源 自由度 平方和 平均平方和 F 统计量 P 值因素 A 1lASM)1/(lSAMSEA/A因素 B mBmBBBA*B )1(l )*(AS)1(/*lASA/)*( )*(AP随机误差 nlE/nS根据上表的信息，就可以对各个因素间交互作用是否显著和每个因素各水平间的差异是否显著做出判断。根据题意，提出假设： ；不 同 院 系 对 成 绩 无 影 响:0AH影 响 ；不 同 院 系 对 成 绩 有 显 著1 影 响 ；是 否 为 实
24、验 班 对 成 绩 无:0B显 著 影 响 ；是 否 为 实 验 班 对 成 绩 有1H无 交 互 作 用 ；和 因 素因 素 BAHBA:)*(0有 交 互 作 用 ；和 因 素因 素)(1通过 R 软件计算得出下表：表5-4-2求和 Sq 均值 Sq F 值 p 值实验班与否 370 370.3 0.356 0.551系别 2069 1034.6 0.995 0.371交互作用 3105 1552.7 1.493 0.226根据上表，可以看出，P 值均大于 0.05，因此认为是否是实验班、不同的系别以及交互作用对成绩的影响都是不显著的，所以不论班级与院系 OTM 的效果还是显著的。5.5问
25、题五5.5.1模型建立：利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是:（1）根据评价目的确定评价指标体系, 收集评价数据。设数据序列形成如下矩阵:)()(22)1()(1),( 2121 nxxnXmmm 其中 n 为指标总数,m 为样本区间,其中 ixTiiii ,)(,)(（2）确定参考数据列参考数据列应该是一个理想的比较标准, 可以以各指标的最优值(或最劣值)构成参考数据列,也可根据评价目的选择其它参照值，记作 )(),2(1(000mxx（3）逐个计算每个被评价对象指标序列(比较序列)与参考序列对应元素的绝对差值,即 nikxki ,21,)(0 （4）确定并计算其值，)(min01kxik
26、)(max01kinik（5）计算关联系数由下式, 分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数。 mkxkkxk iiki iiiiki ,1,)(max)(mn)( 00 式中 为分辨系数，在(0,1)内取值，若 越小，关联系数间差异越大，区分能力越强，通常 取 0.5。如果 为最优值数据列, 越大，越好，若0 )(ki为最劣值数据列， 越大，越不好。kx0 )(ki（6）计算关联序对各评价对象分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值, 以反映各评价对象与参考序列的关联关系, 并称其为关联序, 记为: mkiinr1)(5.5.2 模型求解对数据进行初步整理后，将没有成绩和缺
27、失成绩的学生剔除，构成应该成绩矩阵，如下： 43212143124321214312, nnnn bbaa 实 验 后实 验 前将上两个数据矩阵串联在一起，合成最终矩阵 X，如下： 42211412nnbbaX 实 验 后实 验 前利用 matlab 编程计算，得到相应的关联度，并通过关联度换算成权重 nii最后得到结果如下表所示：表 5-5-1口语讨论 口语描述 口语介绍关联度 0.9125 0.9157 0.9052权重 0.333 0.335 0.332由以上结果可知口语讨论、口语描述、口语介绍对口语总分成绩的水平关系的顺序如下：口语描述 口语讨论口语介绍6、模型评价和推广本题中我们采用
28、了较多的模型来求解各个问题，其中包含了逻辑增长曲线模型、也包含了灰度关联分析法，以及方差分析、聚类的数学分析方法，其中在第二问中，把实验前后的成绩差异显著性分析转化为组别这一因素对 OTM成效影响的显著性过程中，对显著性分析的巧妙转化应用是处理问题的关键。灰度关联法这一方法也可以广泛应用到多个变量对某一因变量有影响的数学问题中。只要给出了一段有相关性的序列数据就可以通过这一方法求出各变量与因变量的相关系数，并能通过优势因素分析找到影响因变量的关键变量，并确定变量对因变量影响的重要程度排名。问题五中，我们将研究成绩与口语介绍、口语描述、口语讨论的水平关系这一问题，抛开方程模型的常规思想，大胆尝试
29、通过灰色关联分析来确定各个指标的关联系数，来确定水平关系，可以将此评分方法应用到诸多含多个指标的数学问题评分当中去。同时在模型的求解中，我们采用多种软件进行编程求解，一定程度上巩固了结果的正确性。当然在诸多模型中难免出现一些不足之处，如在问题一的回归模型中，模型缺少理论的支撑，这在一定程度上影响了模型的推广，或则说在某一些数学问题的研究中由于这一限制条件的纯在必然导致结果纯在一定的偏差，此时如何最大程度减少误差应是问题处理的关键，而本题中我们过度地关注了指标的联系，而缺少了误差的分析，可能会对题目的求解结果有一定的影响。7、参考文献【1】陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007.【2】林君，陈翰林，数学建模教程，北京：科学出版社，2011.附录
