1、复习导入,第5章 定积分及其应用,5.2 微积分基本公式,5.3 定积分的换元积分法与分部积分法,5.4 广义积分,5.5 定积分的应用,5.1 定积分的概念与性质,本章基本要求,约10学时,正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。,5.1 定积分的概念与性质,5.1.1 两个实例,规则图形,?,上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即 ,把这类几何图形定义为曲边梯形,由连续曲线,所围的平面图形称为曲边梯形。,与三条直线,如何求曲边梯形的面积？,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,基本思路:,例如,如何才能使 这种近似代取更精确,当曲边梯形的底边趋近于零时,矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面
2、积,求曲边梯形的具体方法:,将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形,在每个小曲边梯形处作一个矩形近似代取小的曲边梯形,1. 曲边梯形的面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,解决步骤：,在区间a,b内插入n-1个分点 ：,把区间a,b分成n个小区间,1.曲边梯形面积的求法,(1)分割,在第i个小区间上任取一点,矩形的面积,相应小曲边梯形的面积,用以,即,为宽，,为高的小,近似代替,(2)近似代替（以直代曲）,(4)取极限,令,则,(3)近似求和,将n个小矩形面积之和,作为曲边梯形面积的
3、近似值，即,四个步骤： 分割、近似代替、 近似求和、取极限,?,思路：在一个很短的时间间隔,内，以,内任意一时刻的瞬时速度近似代替该区间内任意一点 的速度，即以匀速代变速。,解决步骤：,第i个小区间的长度记为,把时间区间a,b分成n个小区间,(1)分割,在区间a,b内插入n-1个分点 ：,(3)近似求和,(2)近似代替(以匀速代变速或以不变代变),(4)取极限,近似代替,内任意一点的速度，即以匀速代变速。,两个实例,2.变速直线运动的路程,1.曲边梯形的面积：,速度,从时刻,到时刻,所经过的路程:,四个步骤： 分割、近似代替、 近似求和、取极限,以上两个问题虽然研究对象不同，但是从数量关系上看
4、都是 要求某种整体的量，且解决问题所用的思想方法也相同，通过：分割把整体的问题分成局部问题；近似代替在局部上“以直代曲或以不变代变”求出局部的近似值；近似求和得到整体量的一个近似值；取极限得到整体量的精确值.以上四步在数量上都归结为对某一函数,施行结构相同的数学运算确定一种特殊的和式“,在科学技术和生产实际中还有许多问题也都可以归结为求这种 和式的极限，现在抛开其问题的实际意义，将它们数量关系上 的本质特性加以概括，抽象出来得出定积分的定义.,”的极限.,5.1.2 定积分的定义,定义51,设函数 在区间 上有定义，在 中插入 个分点，把区间分成 个小区间每个小区间的长度依次为,在每个小区间
5、上任取一点 ，作函数值 与小区间长度 的乘积 ，并作和式（称为积分和式） 记 ，如果当 时，和式的极限存在，则称这个极限值为函数 在 上的定积分（简称积分），记作 ，即,定理51,闭区间a,b上的连续函数f(x)必可积 。,定理52,在闭区间a,b上只有有限个间断点，且有界的连续函数f(x)必可积 。,说明,. 定积分,的值与区间,的分法以及点,的取法无关；,2. 定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分,变量用什么字母表示无关，即有,3.规定,.由连续曲线,轴所围成的曲边梯形的面积：,. 5.作变速直线运动的物体,5.1.3 定积分的几何意义,课堂练习 ：用定积分的几何意义计算。,课堂练习
6、2 ：用定积分表示阴影部分的面积。,5.1.4 定积分的简单性质,性质1,性质2,可以推广,性质 ( 积分区间可加性),性质,性质,(2)奇函数的图像关于原点对称,(1)偶函数的图像关于y轴对称,不计算定积分的值，比较下列定积分大小,(1)因为当,所以,时，,(2)因为当,时，,0,0,课堂练习 ：,1比较定积分 与 的大小,（答案： ）,2比较定积分 与 的大小,（答案： ),性质 ( 积分中值定理 ),如果函数,通常我们称,使得,至少存在一点,上,上连续，则在区间,在闭区间,上的平均值。,在,为函数,积分中值定理的几何解释 ：,当 时,由曲线 ,直线 所围成的曲边梯形的面积，等于以区间 为底、以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积 。,1定积分的概念,2用定积分定义计算定积分的方法 ,3定积分的几何意义,本节小结,4定积分的性质,作业,
