1、2.2.2椭圆的几何性质,D,复习思考,椭圆的定义、标准方程是什么？,平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。,标准方程为,一、椭圆的范围,由,即,说明：椭圆位于直线 X=a和y=b所围成的矩形之中。,二、椭圆的对称性,中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心,三、椭圆的顶点,在,中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ， ）， 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点（ ， ）,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别
2、叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。, F1 F2,0 b,a 0,可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，长度为a的线段是斜边。,由a，b，c满足关系式a2=b2+c2.,四、椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围： 因为 a c 0，所以1 e 0,2离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大（？），椭圆就越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为圆的方程。,说明
3、：当e0，c 0时椭圆接近于圆当e 1，c a时椭圆就越扁,1椭圆标准方程,所表示的椭圆的存在范围是什么？,2上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？,3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？,4对称轴与长轴、短轴是什么关系？,52a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？,6关于离心率讲了几点？,回 顾,小结一：基本元素,1基本量：a、b、c、e、（共四个量）,2基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）,3基本线：对称轴（共两条线）,请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）, F1 F2,A2,A1,B1,B2,0,关于x轴，y轴，原点对称。,
4、关于x轴，y轴，原点对称。,四.练习,2. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则 此椭圆的离心率是,3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA= ，求椭圆的方程.,例1求椭圆4x2+9y2=36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形。,解：把椭圆的方程化为标准方程,可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴的长a=3，短半轴的长b=2，,又得半焦距,因此椭圆的长轴长2a=6，短轴长2b=4，两点焦点的坐标分别是( ，0)，( ，0)；四个顶点的坐标分别是(3，0)，(3， 0)，(0，2)，(0，2)；
5、,椭圆的离心率e=,为了画出此椭圆的图形，将椭圆方程变形为,由,可以求出椭圆在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：,先描点并用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆.,例2我国自行研制的“中星20号”通讯卫星，于2003年11月15日升空精确的进入预定的轨道，这颗卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面的距离为212km，远地点与地球表面的距离是41981km，已知地球半径约为6371km，求这颗卫星运行轨道的近似方程(长、短半轴长精确到0.1km).,解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心O为原点，建立平面直角坐标系，使地球
6、的中心F在x轴上，点F(c，0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x轴的交点A，B分别是近地点和远地点。,设所求的卫星运行轨道的方程为,由已知， 得ac=|FA|=6371+212=6583，a+c=|FB|=6371+41981=48352，,解得a=27467.5，c=20884.5.,因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为,例3求适合下列条件的椭圆方程：（1）长轴是短轴的2倍，且过点(2，6);,解：（1）设椭圆的标准方程为,因为长轴是短轴的2倍，所以a=2b，又椭圆过点(2，6)，,所以,解得,所以椭圆方程为,又设椭圆的标准方程为,因为长轴是短轴的2倍，所以a=2b，又椭圆过点(2，6)，,所以,解得,所以椭圆方程为,（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，且焦距为6.,解：（2）由题意知c=3，且b=c，所以a2=b2+c2=18，,椭圆的标准方程是,例4已知椭圆mx2+5y2=5m的离心率e= ，求m的值。,解：由已知椭圆方程为,当焦点在x轴上时，5m，a= ，c=,所以,解得m=3.,当焦点在y轴上时，m5，a= ，c=,所以,解得m=,作业： 活页P73,
