1、,2.2.2 椭圆的简单几何性质,焦点在x 轴上,椭圆的标准方程,焦点在y 轴上,F1(-c，0),F2(c，0),F1(0，c),F2(0，-c),Ax2By21（A0，B0，AB）,椭圆的一般方程,一、椭圆的范围,即,-axa -b yb,结论：椭圆位于直线xa和yb围成 的矩形里,二、椭圆的对称性,结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形,对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点,中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心,小试身手：1.已知点P(3，6)在 上,则( ),(A) 点(-3,-6)不在椭圆上,(B) 点(3,-6)不在椭圆上,(C) 点(-3,6)在椭圆上,(D) 无法判断点(-3
2、,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上,三、椭圆的顶点,顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,o,x,y,B1(0,b),B2(0,-b),A1(-a,0),A2(a,0),令x=0,得y=？说明椭圆 与y轴的交点为(0,b)、(0,-b),令y=0,得x=？说明椭圆 与x轴的交点为(a,0)、(-a,0),三、椭圆的顶点,长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。,a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？,焦点落在椭圆的长轴上,长轴：线段A1A2；,长轴长 |A1A2|=2a,短轴：线段B1B2；,
3、短轴长 |B1B2|=2b,焦 距 |F1F2| =2c,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；,焦点必在长轴上；, a2=b2+c2，,B2(0,b),B1(0,-b),b,a,c,椭圆的简单几何性质,a,|B2F2|=a；,由椭圆的范围、对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.,小 结 ：,四、椭圆的离心率,1离心率的取值范围：因为 a c 0，所以0e1,2离心率对椭圆形状的影响：,1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁,观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？ 椭圆的形状有何变化,2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭
4、圆就越圆,3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）,结论：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆,小试身手：,3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?,根据：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆,练习1： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？,练习,1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。 2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 。,4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=_,|x| a,|
5、y| b,|x| b,|y| a,关于x轴，y轴，原点对称,（ a ,0 ）;(0, b),（ b ,0 ）; (0, a),( c, 0),(0, c),长半轴长为a,短半轴长为b.,焦距为2c,a2=b2+c2 ab0 ac0,一个框，四个点， 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现,课堂小结,用曲线的图形和方程,来研究,椭圆的简单几何性质,小试身手：2.说出椭圆 的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:,例求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图,解：把已知方程化成标准方程,这里，,椭圆的长轴长和短轴长分别是,离心率,四个顶点坐标分别为,焦点坐标
6、分别为,基本量：a、b、c、e、（共四个量） 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）,练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.,解：,练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.,解：,复习练习： 1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）,2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴 都对称的是（ ） A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4,C,D,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：1. 经过点P（3,0）、Q（0，2）；2. 长轴的长等于20，离心率等于 .
7、,注意：焦点落在椭圆的长轴上,注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，必须讨论两种情况,练习,2.离心率为 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程为 多少?,26,1椭圆标准方程,所表示的椭圆的存在范围是什么？,2上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？,3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？,4对称轴与长轴、短轴是什么关系？,52a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？,6关于离心率讲了几点？,回 顾,5. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。,6、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为 ，且G上一点到G的两个焦点的距离
8、之和为12，求椭圆G的方程。,7、课本例5变式： 已知椭圆 的左右焦点分别为F1、 F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，求点P到 轴的距离。,直线与椭圆的位置关系 ：,一、直线和椭圆的位置关系,通过直线方程和椭圆方程联立成方程组， 解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。,2、弦长公式：,差分法,直线与椭圆：,（2）弦长问题,（3）弦中点问题,（4）与垂直有关的问题,（1）直线与椭圆位置关系,通过直线方程和椭圆方程联立成方程组， 解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标， 然后利用两点间的距离公式求线段长度。,第二种方法是处理直线和椭圆位置关系 的常用方法，利用根与系数的
9、关系， 设出交点坐标，但是不求出， 从而求出弦长。,这种方法称为设而不求， 这个公式叫做弦长公式。,47,48,三、求轨迹方程的问题,52,53,54,55,56,57,y,58,1.对于椭圆的原始方程,变形后得到 ,再变形为 .这个方程的几何意义如何？,新知探究,O,x,y,F,椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距 离与它到直线 的距离之比等于离心率.,新知探究,若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0e1)，则点M的轨迹是椭圆.,新知探究,直线 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(c，0)的准线方程是,新知探究,椭圆 的准
10、线方程是,新知探究,椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是,新知探究,对于椭圆,椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是,最大值为a，最小值为b.,新知探究,椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？,新知探究,点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时，F1MF2为最大？,点M为短轴的端点.,新知探究,椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.,|MF1|aex0,|MF2|aex0,新知探究,椭圆 的焦半径公式是,|MF|aey0,新知探究,例1 若椭圆 上一点P到 椭圆左准线的距离为10，求点P到椭 圆右焦点的距离.,12,典型例题,例2 已
11、知椭圆的两条准线方程为 y9，离心率为 ，求此椭圆的标准方程.,典型例题,例3 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，点P为直线x3与椭圆的一个交点，若点P到椭圆两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆的方程.,典型例题,例4 已知点M与点F(4，0)的距离和它 到直线l： 的距离之比等于 ， 求点M的轨迹方程.,典型例题,课堂小结,1.椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义.,H,d,(a,0),a,(0,b),b,(-a,0),a+c,(a,0),a-c,77,课前练习1,例5 如图.一种电影放映灯泡的放射镜面是旋
12、转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2,已知 求截口BAC所在椭圆的方程.,x,y,o,F,F,A,B,C,例2. 如图，我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面 439km。远地点B（离地面最远的点）距地面2384km,并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程(精确到1km).,F2,B,A,81,82
13、,83,课堂新授,例3.点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线l :x= 的距离的比是常数 , 求点M的轨迹.,例2.点M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到定直线l :x= 的距离的比是常数 , 求点M的轨迹.,d,变式1、点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2, 求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。,P(2,1),练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程,(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cosOFA=2/3;,(1)椭圆过(3,0),离心率e= ;,练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程,
14、(1)在 x轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相垂直,且焦距为6；,(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cosOFA=2/3;,(3)椭圆过(3,0),离心率e= ;,91,92,2答案,3答案,93,94,95,一般地,思考3,96,法二,97,98,99,100,3答案,101,本课小结,102,二、焦点三角形的面积问题,推广：,四、椭圆上的点到焦点距离的最值,三、求椭圆的离心率,1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是 .,知识巩固,A1,M,B2,O,F2,y,x,2. 如图F2是椭圆的右焦点，MF
15、2垂 直于x轴，且B2A1MO,求其离心率.,椭圆的简单几何性质(4)-新课探究,问题1:,与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.,椭圆简单几何性质(4)-探求新知,问题2:椭圆的参数方程中a,b, 的含义是什么? 例5 如图,以原点为圆心,分别以a、b(ab0) 为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点， 过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足 为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。 分析：本题是给定条件求轨迹问题，请同学们观察动画并 思考下列各问题： （1）动点A、B、N、M分别是如何人运动的？相互关系如何？其中最主要的动点是哪个点？ （2）动点M是
16、如何产生的？M的坐标与点A、B的坐标的关系如何？ （3）什么是参数方程？如何设出恰当的参数？,动画演示,椭圆的简单几何性质(4)-新课探究,解:,椭圆的简单几何性质(4)-新课探究,问题3:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?,椭圆的简单几何性质(4)-知识应用,变式练习1 将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:,椭圆的简单几何性质(4)-知识应用,补充例题:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小. 解1:把直线l平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的 点P,即:设l1的方程为x-y+m=0 ,整理得9y2-2my+m2-8=0,=4m2-49
17、(m2-8)=0, 解得m=3.由图形可知m=3,l1首先与椭圆相切,此时 ,即9y2-6y+1=0.,X,Y,l,O,x-y+m=0,X2+8y2=8,x-y+3=0,X2+8y2=8,椭圆的简单几何性质(4)-知识应用,补充例题:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.,X,Y,l,O,P,椭圆的简单几何性质(4)-知识应用,1、,椭圆的简单几何性质(4)-课堂小结,本节课学习了椭圆的参数方程及 的几何意义。 通过学习我们对椭圆有了更深入的了解，椭圆的两种定义，两种方程都是等价的，可以互相转化。 椭圆的参数方程应用广泛，特别是求有关最值问题，常比普通方程更简洁。,
