1、东城区 2018-2019 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合 ，则20,2,10,AxBAB(A) (B) ,12,(C) (D)0 10(2)下列复数为纯虚数的是(A) (B) 21i2i(C) (D)i(1)(3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是(A) (B) 3yx2logyx(C) (D)
2、2(4)执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 值为5,3nmp(A) (B) 360 60主主12(C) (D)3612(5)“ ”是“函数 的图象关于直线 对称”的512m()cos(2)6fxxm(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(6) 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为(A) 2 (B) 5(C) (D) 3(7)在极坐标系中，下列方程为圆 的切线方程的是=2sin(A) (B) cos22cos(C) （D） 1in1(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量 (单位：
3、焦耳)与地震里氏震级E之间的关系为 .已知两次地震的里氏震级分别为 级和 级，若它们Mlg4.815EM8.07.5释放的能量分别为 和 ，则 的值所在的区间为12(A) (B) (1,2) (5,6)(C) (D)7,8 1,第二部分（非选择题 共 110 分）2、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若 满足则 的最小值为 .,xy23,xy， y2(10)1(23,0)_.mm已 知 双 曲 线 的 一 个 焦 点 为 ， 则(11)若等差数列 和等比数列 满足 ， ，试写出一组满足条件的nanb1,2ab321a数列 和 的通项公式： ， .bn(12)在菱形 中，若
4、 ，则 的值为 .ABCD3CBD(13)函数 在区间 上的最大值为 .()sin)cos()6fxx2,63(14)已知函数 定义域为 ，设()fxR()1,.ffxfF，若 ，则 ；2()1xf(1)_fF若 ，且对任意 ， ，则实数 的取值范围为_ .()eaxfxR()fFxa三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题 13 分）在ABC 中， 2sincosin.ABaC（）求 的大小；B2cosACa( )若 的 面 积 为 ， 求 的 值 .(16)（本小题 13 分）某中学有学生 500 人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中
5、随机抽取了 50 名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时） ，将数据分为 5 组： ， ，10,2),14)， ， ，整理得到如图所示的频率分布直方图.14,6),18),20（）求频率分布直方图中的 的值；x（）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数；（）已知课外阅读时间在 的样本学生中有 3 名女生，现从阅读时间在 的样本学10,2) 10,2)生中随机抽取 3 人，记 为抽到女生的人数，求 的分布列与数学期望 .XX(EX(17)（本小题 14 分）如图 1，在四边形 中， ， , , 分别为 的中点，ABCDBA2CDEF,ABC， .将四边形
6、 沿 折起，使平面 平面 (如图 2)，AEF2EFEED是 的中点.GB()证明： ；()在线段 上是否存在一点 ，使得 面 ？ 若存在，求 的值；若不存CHD平ABFEBHC在，说明理由；()求二面角 的大小.DAF(18)（本小题 13 分）已知函数 2()exfa() 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1()yf0,()f() 当 时，若曲线 在直线 的上方，求实数 的取值范围0xfxyxa(19)（本小题 13 分）已知椭圆 过点 .2:1xyCa(2,)P（）求椭圆 的方程，并求其离心率；（）过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上 （点 不在直线 上） ，Pxl
7、ACAl点 关于 的对称点为 ，直线 与 交于另一点 .设 为原点， 判断直线 B与直线AlPCBO的位置关系，并说明理由.O(20)（本小题 14 分）对给定的 记由数列构成的集合 .dN， 11(),nndaadnN（）若数列 ，写出 的所有可能取值；(2)na3a（）对于集合 ，若 . 求证：存在整数 ，使得对 中的任意数列 ，整数 不()d k()dnak是数列 中的项；na（）已知数列 ，记 的前 项和分别为 .若 求证：na， b()dna， bn,nAB1nab，.nAB东城区 2018-2019 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）参考答案及评分标准 2019.1一、
8、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A （6） D （7）C （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10）4 3（11） （答案不唯一） （12）2n 2（13） （14）3 1(,ln三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解: sin2sinico.ABCaCcAaCBA( )在 中 ， 由 正 弦 定 理 得 所 以 ， =0又 ，.5 分=.4所 以 21sin,.24SABCacca( )因 为 的 面 积 所 以2228,5.baaba由 余 弦 定 理 所
9、 以，.13 分225310cos.Aa所 以（16） （共 13 分）解：（）由 ，0.52.80.12.21x可得 . .3 分1x（） ， 0.2.50.3即课外阅读时间不小于 16 个小时的学生样本的频率为 . 03， 50.3150所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于 16 个小时的学生人数为 150.6 分（）课外阅读时间在 的学生样本的频率为 ，10,2)0.82.16,即阅读时间在 的学生样本人数为 8，50.68,1)8 名学生为 3 名女生，5 名男生，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，X； ；358(0)2CP358()CPX； .21358()6CPX
10、381()56CPX所以 的分布列为：X0 1 2 3P52852815616故 的期望 . .13 分 X9()01358E（17） （共 14 分）解：()在图 1 中， ,2,AEFAE可得 为等腰直角三角形， .F因为 所以DBC，A,.C因为平面 平面 ，FE,DE且 两 平 面 交 于， CDEF平 面所以 .AB平 面又 ， 故 ；EGF平 面 CEG由 为中点，可知四边形 为正方形， ；AAFEG所 以又 ，AFE.所 以 平 面， .4 分C又 平 面 .ACG所 以（II）由()知： ， ， 两两垂直， ，FEBFxyz如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系设 ， 则1
11、FE(0,)(,20)(,)(1,0).CBDHB设 是 线 段 上 一 点 ，0,1.BC则 存 在 使 得(,2)(1,2,).DH因 此 点 ，(0,.FABEF由 （ ） 知 为 平 面 的 法 向 量 ，DH因 为 平 面 ， 0ABFEDHFC所 以 平 面 当 且 仅 当 ，(12)(0,2=.即 -,-=.解 得9 分 1.2BHBCHDAFEC所 以 在 线 段 上 存 在 点 使 得 平 面 此 时 ，（III） (1,0)(,)(0,1).AEG设 ， ，由(I)可得, (1,0).AFCE是 平 面 的 法 向 量 ，(01,)(,10)D设平面 的法向量为 ，,xyz
12、n由 ,0AC，n0.yz，即1,1.xyz令 则 (,1).于 是 n=cos,0.EG所 以 n所以二面角 .14 分9.DACF的 大 小 为（18） （共 13 分）解：() 当 时， ，所以 ， .1a2()exf()e1)2xf(0)1f又因为 ，0f所以曲线 在点 处的切线方程为 .4 分()yfx0,()fyx()当 时，“曲线 在直线 的上方”等价于0x ()yfxyx“ 恒成立”，即 时 恒成立，2eax0xe10a由于 ，所以等价于当 时， 恒成立.x x令 ，则 .1(),0exg ()exg当 时，有 ().所以 g(x)在区间 单调递减 .0,11,) 0,ex 故
13、 是 在 区 间 上 的 最 大 值 从 而 对 任 意 恒 成 立 .，综上，实数 的取值范围为 . .13 分a1,)（19） （共 13 分）解：（）由椭圆方程 ，可得 .2:1(2)xyCa过 点 ,28a所以椭圆 的方程为 ，离心率 . .428xy632e分（）直线 与直线 平行.证明如下：ABOP设直线 ，:12ykx:12Bykx，(,)(,).AB设 点 的 坐 标 为 点 的 坐 标 为 ，由 得218xyk， 2 2418()1640.kxkxk222()6()82, .414141AAkkkxx则同理 ，所以28Bkx2.ABxk， ，1Ay由 1By，284BAkkx
14、有因为 在第四象限，所以 ，且 不在直线 上.0AOP1.2,.ABBopOPykxk又 故所以直线 A与直线 平行. .13 分（20） （共 14 分）解：（）由于数列 ，即 ，(2)nad1.a由已知有 ，所以 ，21323，322ada将 代入得 的所有可能取值为 4 分23 5,1.（）先应用数学归纳法证明数列: ()1()nnadamdZ若 数 列 则 具 有 的 形 式 .，当 时， ，因此 时结论成立.110假设当 时结论成立，即存在整数 ，使得 成立.nkN（ ） 0m01kad当 时， ，11000(1)kamdd，或10()ka10.k所以当 时结论也成立. n由可知，若数列 具有 的形式. ()nad， naN对 任 意 ， 1()mdZ由于 具有 的形式，以及 ，可得 不是 的整数倍.na1()mdZ2dnad故取整数 ，则整数 均不是数列 中的项. .9 分kkna（）由 可得：1nad221.nnad所以有 221nn，221nnaad，2，221.ad以上各式相加可得 ，221nnaSd即2 22 21 1. .n nbdAB 同 理当 时，有1nab 2+1na ，由于 所以 ，于是dN，2+1nbd 222211nnabdd ，.14 分.nAB即 成 立
