1、第二章 中学数学教学目的和内容 2.1 中学数学教学大纲简介 一、大纲内容 二、建国以来中学数学教学大纲的变更 2.2 确定中学数学教学目的的依据 中学数学教学目的（定义） 一、 中学数学教学目的要依据党的教育总目标及普通中学的性质和任务来确定。 二、中学数学教学目的要依据数学的的特点来确定。 三、中学数学的教学目的要依据中学生地学习基础年龄特征和认识水平来确定。 2.3 中学数学教学目的 一、调整大纲的教学目的 二、义务教育初中数学教 学大纲的教学目的 三、全日制普通高级中学数学教学大纲（送审稿） 2.4 当代国际数学教育目的或目标简介 一、国际数学教育目的简介 二、 世界各国数学教育目的（
2、或目标）特点分析 2.5 中学数学的教学内容及体系 一、 中学数学教学内容的选择 二、中学数学教学的基本内容 三、 中学数学教学内容的安排体系 教学内容安排要符合的原则 四、 中学数学教材的编排方式 五、数学教材内容的改革与研究 第三章 中学数学的教学原则 3.1 教学原则概说 3.2 数学教学原则 第四章 数学学习的心理特征与数学思维能力的培养 4.1 数学学习与数学认知结构 一、 数学学习的分类 二、 有意义学习与数学认知结构 4.2 数学知识、技能的学习 一、 数学概念的学习 二、 数学定理公式的学习 三、 数学技能的学习 4.3 数学思维 一、 数学思维的分类 二、数学思维结构 三、
3、数学思维品质 4.4 数学思维的发展 一、 数 学思维发展的年龄特征 二、 中学生数学思维发展的特点 4.5 发展数学思维的教学途径 第五章 逻辑与数学教学 5.1 数学概念 一、 数学概念的意义和结构 二、 概念间的关系 三、内涵与外延的反变关系、限定和扩大 四、 概念的定义 五、概念的划分 5.2 数学命题 一、 判断概述 二、 数学命题 5.3 数学中的推理与证明 一、形式逻辑的基本规律 二、 数学中的推理 三、 数学中的证明 5.4 数学概念、数学命题的教学 一、数学概念的教学 二、公式、定理的教学 第六章 数学能力的结构与培养 6.1 能 力概述 6.2 运算能力及其培养 6.3 逻
4、辑思维能力及其培养 6.4 空间想象能力及其培养 第七章 数学教学工作 7.1 备课 一、备课的基本要求 二、教学计划的制定和教案的编写 7.2 课堂教学 一、数学课的类型和结构 二、怎样上好课 三、数学课的教学方法 四、课堂教学的辅助手段 第二章 中学数学教学目的和内容 2.1 中学数学教学大纲（现在叫课程标准） 是中学数学教学的纲 领性文件。它是根据国家科技、经济和教育事业发展的需要对中学数学提出的要求 ,根据数学本身的特点及发展的需要，根据学生在不同阶段的认识水平和心理特征，在总结、吸收国内外数学教育的经验和教训的基础上，反复研究和论证而制定出的。我国的数学教学大纲由国家颁发，全国统一施
5、行。（ P7） 2.2 确定中学数学教学目的的依据 中学数学教学目的 ： 是指通过中学数学教育，学生在数学的基础知识、基本技能、数学能力、个性发展、思想情操等方面所应达到的目标。（ P12） 一、 中学数学教学目的要依据党的教育总目标及普通中学的性质和任务 来确定 。 确定学科教学的目的，必须服从于国家办教育的总方计 ,即把青少年培养成为什么样的人，才能适应社会的需要。普通中学的教育是属于基础教育的性质 ,是帮助受教育者打下文化知识基础和做好生活准备的教育。普通中学的性质和任务决定了中学数学教学传授给学生的是数学基础知识、基本的技能技巧和思想品德教育及美育。（ P13） 二、 中学数学教学目的
6、要依据数学的的特点来确定 。 数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结沦的明确性。虽然数学概念与结论都表现为高度的抽象形式，但它们的形成与发现以及对结论的证明都要运用到一系列逻辑思维的形式和方法，所以，数学自身就具有向学生进行思维训练、发展学生逻辑思维能力的功能。在从具体事物中抽象出数量关系和空间形式的科学抽象过程中，可以培养学生的抽象能力。同时数学也是发展学生观察力、注意力、记忆力和想象力的理性材料。数学研究的内容必然涉及对事物形状、大小、位置关系的想象，因此，数学可以培养学生空间想象能力。（ P14） 三、 中学数学的教学目的要依据中学生地学习基础年龄特征和认识水平来确定
7、 。 学生在中学阶段的学习以小学阶段的学习为基础，同时也要为进入高一级学校学习打好基础，所以确定中学 数学教学目的时，应注意数学知识、能力及学习方法与习惯等方面的衔接。 中学生年龄特征是指青少年各年龄阶段身心发展的不同特点。中学教育对象是青少年 ,他们正处在成长发育时期 ,认知能力与知识水平均没有达到成熟阶段 ,在理解能力上有局限性。数学教育与认识过程有非常密切的关系，而思维是认识过程的核心部分。从思维发展的特征来看 ,初中学生处在以形象思维为主的逐步向经验型的抽象思维过渡阶段，高中学生处在以经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段 ,高二是思维的初步成熟期。因此 ,在确定教学目的时，必须
8、从这些特点出发，抽象化程度 太高的内容与要求对中学生是不适合的。（ P16） 2.3 中学数学的教学目的 （略） 2.4 世界各国数学教育目的特点 （ P30-34） 一 、 注重数学应用 二 、 重视问题解决 三 、 注重数学思想方法 四 、 注重数学交流 五 、 注重培养能力 六 、 重视数学美育 七 、 注重培养自信心 八 、 重视计算器和计算机的使用 2.5 中学数学的教学内容及体系 一、 中学数学教学内容的 选择 原则 1 社会作用的原则。 随着社会的发展 ,社会各领域都需要用到数学，这就要求数学课程选取的内容是现代社会人们的生活、生产和科学技术普遍需要的数学知识。 （ P36） 2
9、 与科学技术的发展相适应的原则。 科学技术越发展，应用数学的程度就越高。高科技本质上是一种数学技术，人们通过数学才能更好地掌握科学技术。科技对人才的数学素质的需要必然要反映到数学教育中，特别地，反映到数学教学内容的取舍上，必定要删去那些不能适应科技发展需要的一些传统内容，增加近代或现代的知识，为学生提供应用的工具、阅读科技书籍的基础以及进一步学习的需要。 （ P37） 3 基础性原则 现代数学已有了相当迅速的发展，知识量急剧增加 ,但其基本的内容是相对稳定的，只有掌握了基本原理和基本概念 ,才能在此基础上学习 更高深的知识。同时中学的教育是基础教育 ,从这一性质来看，学习数学是为了提高社会公民
10、的文化素质 ,使学生具备进一步学习和参加生产劳动的数学素养。 （ P38） 4 教育性原则 选取的教学内容应对培养学生的数学思维、数学能力以及形成辩证唯物主义世界观和良好的个性品质有重要作用。 （ P38） 5 可接受性与发展性相结合的原则 所选择的教学内容应与学生的认知水平和接受能力相适应 ,同时又要有利于最大限度地促进学生的发展。 (P38) 6 统一性与灵活性结合的原则 作为一个国家、一个地区 ,对中学数学教学内容应按教学目的的要求具有统一性 ,规定 所有中学生都必须达到同一的基本要求，否则，提高全民族的文化素质和培养合格的建设人才等设想就会落空。同时，也要考虑到各地区之间的差异 ,各地
11、生产、经济发展和文化教育发展的不平衡。 (P39) 7 后继作用与灵活性相结合的原则 指内容的选择要考虑学生进一步深造和参加实际工作的需要，搞好中学与小学、大学、职业教育的衔接 ,注意数学学科自身内容的衔接以及与其它课程教学内容的衔接，以适应不同阶段、不同性质、不同学科的需要 ,使它们在内容上协调统一。 (P39) 8 可行性原则 指选择的内容在中学教学计划规定的时间和进度的范围内，经过绝 大多数的学校、教师教学实践的证明是可行的。选择的内容要与学生的认识水平、接受能力 ,教师的知识水平、教学能力相适应。 (P39) 二、中学数学教学的基本内容 (1)数学基础知识 ，指符合中学培养目标的数学科
12、学中最本质的、已定型的、科学的、系统的初步知识。 (P40) 数学思想和方法 (P40) 数学思想 是指数学研究活动中解决问题的基本观点和根本想法 ,它是对数学规律的理性认识。 数学方法 是指研究数学的手段和方式 ,它包括理论研究方法和数学理论应用于实际的方法。 中学数学方法大体分为发现方 法、逻辑方法和解题方法三类。 发现方法 是指发现数学性质、规律时常用的方法，如归纳方法、类比方法、猜想方法、联想方法等等，但所得的结果还需进行严格论证。 逻辑方法 是指通过概念、判断、推理等逻辑程序进行严格推理的证明方法，包括形式逻辑方法、数理逻辑方法和辩证逻辑方法。中学里主要学习形式逻辑方法 ,如比较法、
13、分析法、综合法、分析综合法、归纳法、演绎法、反证法、同一法等。 解题方法 可分为通法与技巧性较强的巧法，如配方法、换元法、待定系数法、代入法、消元法、解析法、数形结合法、抽屉原则等等通法；如放缩法、错位相消法、分裂项 法、割补法等等巧法。 数学语言和逻辑 。数学中对概念的表述、定理的逻辑推理和证明，对量、量的关系进行比较和运算等一系列的活动 ,都是在某种有规则的符号系统中进行的，采用的是一套形式化的数学语言。这种数学语言的形式简明扼要，表达内容深刻、精确。 (P40) 技能、技巧 。包括知识技能（如恒等变换、论证技能等）操作技能（如作图、测量、使用计算工具等 )和解题技能。 (P40) 三、
14、中学数学教学内容的安排体系 教材体系 就是教学内容安排所展现的知识的序列及各知识 之间的相互联系，是数学科学知识体系经教学法加工而得到的学科知识体系。（ P41） 教学内容安排要符合的原则 1、 要符合学生的心理发展规律。 遵照学生思维发展规律，在编排知识体系时，既不可割断学生连续渐进的思维方式，也不能颠倒思维发展阶段的顺序。对内容的编排还要注意符合认识规律，由浅入深，由易到难，由表及里，循序渐进 ,贯穿迁移的训练。要发挥非智力的心理因素的作用。 （ P41） 2、 要符合数学知识的科学性和系统性 应以科学数学知识结构及其内涵的数学规律及思想方法为前提，以基本概念、基本原理为主线，展现数学感性
15、材料、应用 材料与基础知识的有机组成。 (P43) 3、 必须遵循理论联系实际的原则 理论结合实际，要求理论的建立依赖于实际，又要求已有的理论来解决实际问题，使原有的知识在学习中得以应用和深化，使新的知识在原有知识的应用中引伸。 (P43) 4、 必须遵循联系性和衔接性原则 数学各分支之间具有广泛的联系，特别是数学思想方法的相互渗透。为使学生更好地理解所学的数学基础知识 ,更全面灵活地掌握数学的基本思想和方法，教材体系必须揭示出知识间的相互联系。内容的安排还要注意数学与其他学科、小学与初中、初中与高中、高中与大学学科知识的衔接。 (P43) 四、中学数学教材的编排方式 螺旋排列式 是针对学生的
16、接受能力，按照繁简、深浅、难易的不同程度，使一科教材的基本概念和基本原理分层次地重复出现、逐步扩展螺旋上升的排列方式。 （ P45） 例如 ：螺旋排列式安排函数的知识体系 第一段（初二年级）： 函数的描述性概念及其表示法； 正比例函数和反比例函数； 一次函数； 二次函数 第二段（高中一、二年级）： 函数和反 函数概念（近代定义）； 幂函数； 指数函数与对数函数； 三角函数和反三角函数 第三段（高三年级）： 极限与连续； 导数与微分； 不定积分与定积分 直线排列式 是一科教材内容采取环环相扣直线推进不予重复的排列方式。这种方式的优点是能避免不必要的前后重复，节省时间，提高效率。 （ P45） 过
17、渡排列式是 为跨入新学段和升入高年级的学生学好新知 识、掌握新方法而适当提前安排有关奠基内容的排列方式。 （ P46） 例如： 原初中平面几何的教学是从二年级第一学期开始的，但因起始教材份量重，内容抽象，多数学生接受不了一开始就用形式逻辑的方法证明几何定理。因此，新编平面几何的起始教材按过渡式排列，编写较具体，注重发展学生空间观念，初步教给形式逻辑的思维方法，并提前在除以年级第二学期起步。 第三章 中学数学的教学原则 3.1 教学原则概说 教学原则 是指导教学活动的基本原理，是客观教学规律的主观反映，是所有教学规则的统一整体。 （ P50） 教学原则与教学规律的联系在 于 ：科学的教学原则是教
18、学规律的反映。我们的教学原则是根据不依人们的意志为转移的客观教学规律制定出来的。 （ P50） 教学原则与教学规律的区别在于 ：教学规律是不依人们意志为转移的客观存在，是教学活动中内在的本质的必然的联系。例如，复习教材就可以巩固知识，这是一条教学规律，不管我们是否愿意遵循 ,它都是客观存在的。我们对教学规律只能发现、掌握和利用，决不能臆造和违背。然而，教学原则是由人们自己制定的，可能部分或者完全符合教学规律 ,也可能根本不符合教学规律。 (P50) 教学原则与教学规则的联系在于 ：教学原则总是借助于 一定的教学规则来实现的，没有一定的教学规则，教学原则也就变成了空洞的东西。 (P51) 教学原
19、则与教学规则的区别在于 ：教学规则是教学原则的组成部分和具体细节，它的任务是阐明某一个教学原则的某一方面的指导原理。每一方面的每个教学原则都包括一系列具体的教学规则。 (P51) 3.2 数学教学原则 一、 数学学科的严谨性与数学教学的可行性相结合的原则 （ P55P56） 严谨性，是数学学科理论的基本特点之一。它要求数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用，而又不能按逻辑方法加以定义的原始概念 ,除了直观地 用语言描述之外，还要求用公理加以确定。它要求数学结论必须准确地表述，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩。可以说，整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结
20、构。 我们这里提出的“数学学科的严谨性要求”，是指在数学教学中，教师安排教学内容、讲授数学知识时 ,应该根据数学学科理论的基本特点，使学生在理解、掌握、运用这些知识时能满足严谨性的要求。 数学学科的严谨性和数学教学的可行性这对矛盾的双方都是具有相对性的。其实，它们总是在“对立一统一”的不同层次的循环运动中发展的。显然，严谨性是矛盾的主要方面，因为它是数学教学的教学目的之一。因此，严谨性可以主导矛盾运动的发展方向，只要抓住矛盾的主要方面 ,对严谨性要求加以适当调整 ,做到保证数学教学内容的科学性 ,有利于发展学生逻辑思维能力，适应学生现有知识和能力的水平，是可以形成严谨性要求与可行性相统一的良性
21、循环的。即严谨性不断提高，可行性也不断增强。这样才能发挥教师的主导作用和学生学习的自觉性和积极性。 数学学科严谨性与数学教学可行性相结合原则的贯彻 （ 1） 明确要求，谨慎处理 。 （ P57） 现行教学大纲和教材对中学各部分数学内容在严谨性方面的具体要求，都有一定的 反映。教师必须深入钻研大纲、教材，明确各部分内容对严谨性的要求程度 ,在教学中参照施行。不宜随意提髙要求，也不宜降低要求。尤其是对于那些鉴于中学生认识发展的特征而降低了严谨性的内容，或者说只有阶段性的相对严谨性的内容 ,教学处理必须谨慎 ,一定要设法向学生讲清这些内容还有欠缺，还有发展的必要，只是当前尚未深入。比如，锐角三角函数
22、的教学，开始是利用直角三角形的边长之间的各种比给出，但是必须指出：锐角三角函数是随角的改变而变化的变量，而且它的变化可以由相应的线段之比来确定，决不能使学生误认为锐角三角函数只是边长一定的 直角三角形的两边之比。 （ 2） 从开始抓起，持之以恒 .(P57) 从初中一年级的数学教学开始，就应当在数学严谨性方面提出明确的要求。首先要规范数学用语。数学概念也好，数学定理也好，不仅要懂得其内涵，了解其外延，还要用规范的数学术语或数学表达式表示出来。其次，数学命题的推导、数学算式的推演也要严格地使用数学语言。这种严谨性要求，随着中学数学教学的发展，其标准也应该逐步提高。因为，中学数学教学内容越高深 ,
23、抽象程度也越高 ,相应地严谨性要求也越高。教师应该采取适当的措施，使学生尽快地适应这种发展，以形成习惯。为此，教 师应该持之以恒，并以身作则。备课、讲授、批改作业、课外辅导都应该注意这方面的要求。 （ 3） 要求学生周密思考、言必有据 。 (P58) 周密思考 ,就是要全面地思考 ,不要遗漏，从而体现严谨性。但是，要养成这种习惯，必须经过严格训练。 言必有据，是数学严谨性的重要标志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中学数学教学中，教师可以结合典型例题，强调“言必有据”。譬如，在几何证明题中 ,要求学生在练习时 ,每一步推论都用括号注明其理由，以逐步养成言必有据的习惯。 （ 4） 改革中学数学
24、教学内容 。 (P59) 数学教育工作者们普遍认为 ，要想很好地解决严谨性与可行性的矛盾，促成这对矛盾形成良性循环，必须从早抓起。但是，历来的中学数学教材在低年级阶段 ,对严谨性要求太低 ,，而到高年级阶段又从严要求，学生一时难以适应 ,教师也不易把握分寸。尤其是代数、几何两门课在低年级对严谨性的要求有很大的差异。如何改革中学数学教学内容，如何提出适度的严谨性要求的标准，如何处理那些不具备严谨性要求而又必须引用的数学知识，以维持教学可行性的问题等，是我们在贯彻数学学科的严谨性与数学教学可行性相结合原则时必须研究的课题。对此，必须加强探索和改革的力度。 二、 数学概 念的抽象性与具体对象的直观性
25、相结合的原则 （ P59） 数学的抽象性 抽象性，是数学学科理论的基本特点之一。本来现实世界的客观对象是非常具体的。但是，数学是将客观对象的所有其它特性抛开，而只提取其空间形式和数量关系进行系统的、理论的研究。因此，数学具有比其它学科更显著的抽象性。然而任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，却往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些相对具体的抽象概念作为基础。抽象程度越高的数学概念，概括性越强，越是能代表更广泛的具体对象共有的属性。数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，而 且高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，这就是数学概念抽象的相
26、对性。 例如： 把有理数理解为 2、 3、 5.之类的数 数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合的理论基础 由数学抽象的相对性与中学生抽象思维的局限性所决定。 （ P60） 数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，而且高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，这就是数学概念抽象的相对性。另一方面，中学生尤其是低年级中学 生对具体对象的直观性有很强的依赖性，或者说中学生抽象思维有一定的局限性。事实上，引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发；若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；教学要从具体对象入手，适时地上升为抽
27、象理论 ,然后又及时地把它概括到更丰富、更广泛的具体对象上去 ,学生就会逐渐突破其抽象思维不强的局限性 ,从而适应数学概念的抽象性，并逐步提髙抽象思维的能力。 由教学过程与认识过程的共性和特殊规律所决定。 (P61) 教学过程就是学生认识与掌握知识的过程，教学过 程与认识过程基本上是一致的，教学过程不过是前人对知识认识过程的快速的、科学的重演。因此，教学过程必须以科学的认识论为基础。 另一方面 ,教学过程也有与认识过程相区别的特殊性。教学过程最主要的特点在于，它是传授间接知识或书本知识的有效途径。教学过程与认识过程之间存在着间接知识与直接经验的矛盾。为了解决这对矛盾 ,必须坚持抽象与具体相结合
28、的原则，才可能使抽象的理论具体化，间接知识直接化 ,理论知识实际化。 由人的两种信号系统协同活动的规律所决定 。 (P62) 所谓第一信号系统 ,是以外界具 体的对象、现象为客观刺激物，直接作用于各种感觉器官，引起反射的系统，这是人与一般动物所共有的；所谓第二信号系统，是以语言作为剌激信号，引起神经反射的系统，这是只有人类才有的。 人的第一和第二信号系统永远是协同活动和相互作用的：第二信号系统是在第一信号系统的基础上形成起来的，第一信号系统又经常受第二信号系统支配和调节。另一方面，第二信号系统的言语又有直观性要求的生理机制。言语直观是通过教师有意识组织的言语来恢复学生大脑皮层中已建立的暂时联系
29、或唤起学生同时性、相似性和对比性的联想 ,并借此促使学生迅速地形成新的暂 时联系或开辟新的神经通路。这便是抽象性与直观性相结合的真谛之所在。第一、第二信号系统在不同年龄阶段，还具有不同的发展特征和规律，这是我们正确地坚持抽象与具体相结合原则的重要根据。 数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合贯彻 【到】 （ 1）直观教学 （ P64） 注意通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观，以形成学生鲜明的表象，为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。这些感性知识越完善、越丰富，学生形成抽象的理性知识也就越顺利、越牢固。 直观教学必须注意以下几点：实物直观、模型直观、图形直观教学，要注意知识的系统性和
30、理论的严谨性，以便把直观得到的感性认识提高到抽象的理论的水平；直观教具亮出的时机也要适当，拿出教具后要引导学生观察、分析、综合、概括、抽象，不要在细节上分散了学生的注意力，要利于他们抓住本质的数学特征。 运用言语直观教学时，要为透彻地讲授知识服务，为了让学生更能准确地理解教材的文字，不能滥用粗俗的习语，以免喧宾夺主，适得其反。言语直观要照顾学生的年龄特征和知识水平，以他们已有的记忆表象为基础，使其再现并重新组合，形成新的高层次的表象。要防止脱离学生经验，单纯追求言语的形象性。言语直观要求教师语言通俗、 有趣、易懂，并配以节奏感和鼓动性，富于启发性和感染力 ,但切忌“八股调”和矫揉造作的手势，以
31、及各种语病。 （ 2） 数形结合 （ P65） 可以根据数学本身的特点，采用数形结合的方法。这样可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化 ,有利于分析、发现和理解它们。 （ 3） 注重观察 (P66) 对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维的能力。 （ 4） 重视教学手段改革 (P67) 运用幻灯、投影仪、电视、电子计算机等先进教 学设备，加速教学手段现代化 ,也是贯彻抽象性与直观性相结合教学原则的重要途径。 三、 数学理论与实际问题相结合的原则 （贯彻） （ P69） 紧密联系实际
32、，讲授概念、公式、原理、法则，加强理论基础的教学 。 （ P69） 为了让学生能真正理解、掌握基本理论知识，又必须联系实际，从具体事物和现象入手。 例如 ,引入有理数概念，尤其是正、负数概念，可以结合“表示零上 5 度和零下 5 度的气温”、“表示东行 10 千米和西行 10 千米”等实际问题。 将抽象的数学概念、定理与实际问题相结合地引入讲授，一方面可以逐 步培养学生抽象思维的能力，既体现了理论源于实践，又符合认识论的规律；另一方面可以向学生讲明抽象的理论对实际问题的指导意义和应用价值 ,激发学生学习基础理论的积极性，克服盲目死记硬背的弊端。 紧密联系实际，指导学生参加教学实践和社会实践，切
33、实搞好基础理论教学和基本技能训练。 （ P70） 我们知道，数学学科知识是人们的主观对客观世界的反映，只有通过实践这条联系主观与客观的纽带，才能使理论知识转化为实际技能。在课堂上，教师在讲授了必要的数学基础知识之后，可以让学生进行观察、实验、制作等 实践活动，或者解答具有实际意义的问题。 例如 ,讲过平行线、异面直线等概念，可以让学生在日常生活和周围环境中寻找属于这些概念的相应的实际对象；讲授了直角尺求圆直径的方法后，可以让学生自己动手自制一个直角尺，并实测几个圆的直径。 解答具有实际意义的问题，能广泛地用来引导学生将数学论与实际问题相结合。这类问题可以学校或社会各个方面。可以是真实的、具体的
34、，也可以是模拟的，形式也是多样的。 （ 3） 不断地改进现有教学内容和教科书，加强中学数学与实际的联系。 （ P71） 为了适应社会进步和科学发展，数学教学内容必然要不断地 更新。例如，微积分初步、概率统计初步等纳入中学数学教学内容，是应该坚持、发扬的重要举措；又如，中学数学教学应注意与其它学科的教学紧密配合。现代数学内容、数学思想和数学方法也要结合实际问题，编入中学数学教科书。现行中学数学教科书中确实充实了不少现代数学内容，其目的之一就是提高中学数学的实用性。所以讲授这些内容时，还必须注意加强这些内容与实际问题的联系，才能达到目的。例如，引入集合概念之后，就应当引用文氏图来示意，并随即用于解
35、决一定数量的涉及集合之间关系的实际问题。 （ 4） 在贯彻数学理论与实际问题相结合的原则时 ，必须注意以下几个问题。 （ P72） 第一，数学理论与实际问题相结合要从学生的实际出发，不要为了结合实际问题而结合实际问题。比如，有些数学理论学生早已熟练地掌握 ,教师就没有必要一定让学生到实际中去观察 ;而有些内容是学生根本无法接触到又难于理解的实际问题，教师也没有必要硬讲给学生听。 第二，数学理论与实际问题相结合要从数学学科的实际出发。数学理论有很强的逻辑性，构成了独立的系统，并不是每一章每一节每一个概念都可以联系实际问题。比如，对数理论在计算上有实用性，但其概念本身却不易结合实际问题。所以，教学
36、内容暂时不便结合实际问题时 ,不必勉强。 第三 ,数学理论与实际问题相结合，是为了提高教学质量，强调与实际问题相结合，并不等于忽视或削弱理论知识的讲授。如果为了结合实际问题占用了大量的教学时间，而少讲或不讲系统的理论，那就不妥当了。 第四，贯彻数学理论与实际问题相结合的原则，要求教师对数学知识及其应用都比较熟练，做到有目的、有计划，胸中有数；教师所举的实际问题应该具有典型性、思想性、科学性、鲜明性和适当性。否则，举例不当，讲解不清，反而冲淡了理论的价值，降低了教学质量。 四、 巩固知识与发展能力相结合的原则 （ P72） （ 1） 巩固知识与发展能为相结合的意义 。 （ P73） 能力的发展
37、,应用是核心，应用的熟练程度，标志着能力的高低。显然，这里的熟练程度又取决于知识的巩固程度。所以，要想发展能力，必须先巩固知识。 （ P73） 应用又是一个由认识到行动的过程。在行动过程中，知识可以获得确认或检验 ,这不仅能巩固已学的知识 ,甚至还能获取新的知识。可见，应用过程本身也是知识保持的过程。所以，要想获取巩固的知识，必须将知识付诸于应用。 （ P73） 巩固知 识与发展能力之间具有这种相辅相成的依赖关系，在数学教学中，我们倡导贯彻巩固知识与发展能力相结合的原则 。（ P74） （ 2） 巩固知识与发展能力相结合原则的贯彻 （ P74） 1） 遵循记忆的规律，巩固所学的知识。 （ P7
38、4） 通过加深理解，增强识记和保持。理解就是掌握数学对象的本质特征及其相互关系。加深理解，掌握了各种相关知识之间的联系，又更容易使记忆保持。例如，四类象限角的各种三角函数值的符号，除了从定义出发进行理解之外，还可以借助单位圆直观地帮助学生加深理解。 通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。经过归纳整理过的信息，加以类比，引起联想 ,这个提取的过程也就很容易实现了。例如，学习不等式时，可以将不等式与等式的相应概念和性质，进行归纳、类比，使已学知识系统化 ;学习相似三角形时 ,可以将相似三角形与全等三角形的定义、判定、性质，进行归纳、类比。 2） 掌握遗忘的规律，复习所学知识 （ P75） 要想提高
39、记忆效率，巩固所学知识，就必须克服遗忘。组织科学的复习，是克服遗忘的有效手段 ,也是巩固记忆的基本途径。 复习的周期和时机对遗忘先快后 慢、先多后少的规律，我们应该将复习的周期控制成先短后长，复习的力度控制成先强后弱，或者说复习的次数先多后少。复习的时机，应该选择在所学知识即将遗忘、印象模糊、再认和再现有一定困难时，及时复习。 （ P75） 复习的方式要多样化，要使复习旧知识而有新鲜感，形成强烈的刺激、反应。也就是说在复习时不是简单的重复，而是每复习一次，提出一次新的要求，上升一个新的知识层次。 （ P76） 3） 巩固知识着眼于发展能力 （ P76） 巩固知识的关键在于组织学生复习，巩固知识
40、必须着眼于发展学生分析问题、解 决问题的能力。能力的发展，是需要训练的。那么就要求我们在复习、训练两方面下功夫，使复习与训练有效地配合起来。这样不仅达到了发展能力 ,同时又有利于巩固知识。 基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练，用以促使学生知识整体结构向系统化方向发展 ,提高他们掌握、应用所学知识的能力。例如，将复数的基础知识系统化 ,概括成框图。这样，可以将复数与复平面、平面向量、平面直角坐标系与极坐标系、三角函数概念、参数方程、平面点集等知识都沟通了。 （ P77） 综合知识的复习 ,要有计划、有 步骤地进行题组训练。这样的复习题组 ,要具备代表性、综合性、渐进性 ,还要有
41、一定梯度 ,题组间要求具有配合协调性。 （ P77） 第四章 数学学习的心理特征与数学思维能力的培养 （ P80） 4.1 数学学习与数学认知结构 （ P80） 数学学习 是指学生在教育情境中，以数学语言、符号为中介，自觉地、积极主动地掌握数学概念、公式、法则、定理，形成数学活动的经验，发展数学技能与能力的过程。（ P80） 一、数学学习的分类 按学习内容分类： 机械学习 是指学生并未理解由符号所代表的知识，仅记住某个数学符号、数学概念、公式、定理等。 （ P80） 有意义学习 则指学生经过思考，掌握并理解了由符号所代表的数学知识，并能融会贯通。 （ P81） 按学生进行学习的方式： 接受学习
42、 是指要学习的全部数学内容是以定论的形式呈现给学习者的，这种学习不涉及学习者任何独立的发现，只需要他将所学的新知识与旧的知识有机结合起来，即内化，以便以后的再现和运用。 （ P81） 发现学习 是指一般只提出问题或提供背景材料，主要内容要有学生自己独立发现。因此，发现学习的主要特点是：不把学习的主要内容提供给学生，而是由学自己独立发现，然后内化。 （ P82） 二、有意义学习与数学认知结构 （ P83） 1、 数学认知结构 的形成依赖于外在的数学知识结构和学习者内在的心理结构，它是学习者通过教师所激发起来的心理结构作用于外界的数学知识结构而形成的一种内在的知识结构。数学认知结构大体上由以下要素
43、构成： 内化了的数学理论； 内化了的数学技能； 数学活动的经验。 （ P83） 同化 学生在学习数学时，总是以原有的数学认知结构为依据对新知识进行加工。当新知识能与原有的数学认知结构中适当的知识相联系，那么通过新旧知识的相互作用 ，新知识被纳入原有的数学认知结构之中 ,从而扩大了它的内容，这一方式称为同化。 （ P84） 顺应 若新知识在原有的数学认知结构中没有适当的知识与它相联系，则就要对原有的数学认知结构进行改组，进而形成新的数学。 （ P84） 2、 有意义学习的实质 。 从认知结构的观点来看，有意义学习的实质，就是符号所代表的新观念（指概念、原理等 )与学习者认知结构中已有的适当观念之
44、间建立起实质性的和非人为的联系。 （ P84） 3、 有意义学习的条件 （ P85） （ 1） 有意义接受学习的条件是 ： （ P85） 数学理论具有 潜在意义 即数学理论本身具有逻辑意义，并且学习者认知结构中又具有适当的知识基础。 （ P85） 学生具备有意义学习的心向 即学生有积极主动地把新材料与认知结构中原有的适当内容加以联系的倾向性。 （ P85） 内化过程是有意义的 即对呈现的数学理论不仅在认知结构中进行“登记”，而且考虑它的逻辑依据 ,使新知识与旧知识发生联系，最后还要寻求获得这一理论的思维过程 ,即新理论要转化为个人参照系，使之与本人的数学认知结构趋于和谐。另外 ,在数学理论获得
45、的同时 ,形成一定的数 学技能。 （ P85） （ 2） 有意义发现学习的条件是： （ P85） 问题具有潜在意义 即数学认知结构中的理论知识对解决面临的问题是充分的。 （ P85） 学生具有有意义学习的心向。 （ P85） 解决问题的过程是有意义的 即：解决问题的手段是通过一个积极主动的探索过程获得的，而不是依靠强化训练所形成的机械操作模式获得的。 （ P85） 内化过程是有意义的 即： 1） 对发现学习中所涉及的所有知识、技能、活动经 验加以内化； 2） 对发现学习中得到的新的数学理论、技能和数学活动经验加以内化。 （ P85） 4.2 数学知识、技能的学习（ P86） 一、数学概念的学习
46、（ P86） 1、 概念同化 一种以定义的形式给出，由学生主动地与自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义 ,从而获得新概念。这种获得概念的方式叫做概念同化。（ P86） 概念同化心理过程 （ P88） 他要把新概念的本质属性与原有的认知结构中的适当概念相联系，明确新概念是原有概念的限制，并能从原有概念中分离出来； 要把新概念与原认知结构中的有关概念融合在一起，纳入认知结构中，以便于记忆和应用。 例如 ，学习梯形的概念：“梯形是一组对边平行另一组对边不平行的四边形”， 这时学生要主动积极地与自己认知结构中原有的概念 (平行、四边形等 )联系起来思考，认识到梯形是原有四边形中
47、特殊的一类，从而明确它的内涵和外延； 接着与原有的概念 (如平行四边形等）区别开来，并相互贯通组成一个整体 ,纳入原有的概念体系 (四边形 )之中； 最后通过例题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。 2、 概念形成 一种通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫概念形成。 （ P86） 概念形成心理过程是 ： （ P87） 辨别同类事物不同的例子，抽象出各例子的共同属性； 提出它们共同本质属性的各种假设并加以检验 ; 把本质属性与认知结构中的适当知识联系起来，使新 概念与已知的有关概念区别
48、开来 ; 把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延 ; 扩大或改组原有的数学认知结构 ,从而发展数学认知结构。 例如，初中学生学习变量和函数这两个概念，是处于初次接触变量数学的内容 ,所以这两个概念都可以用概念形成的方式让学生获得。 如函数概念的学习 ，一般可采用如下步骤： 第一步 ，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间的关系的表达式： 以每小时 40 千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和 时间； 用表格所给出的某水库的存水量与水深； 由 -某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间； 任何整数的平方运算中 ,底数与它的二次幂。 第二步 ，找出上述各例中两变量之间关系的共同的本质
49、属性。学生经过多次分析比较后可知：一个变量每取一个确定的值 ,相应地另一个变量也唯一地确定一个值，这是函数的本质属性；同时，前一个变量取值范围的限制，也是它们共同的本质属性。 第三步 ，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，辨别若干正 反面的例子。如在任意正数开平方运算中，被开方数 x 与平方根 y(写成 yx 这里 x 与 y 这两个变量就不是函数关系。 第四步 ，在以上几步的基础上，抽象、归纳、概括出函数定义。 第五步 ,通过练习、习题等的解答 ,加深对函数概念的理解 ,建立起新的数学认知结构，以利于进一步的学习。 3、 影响掌握概念的因素 （ P88） （ 1） 经验与抽象概括能力 。概念的获得依赖于学生有关的感性材料、经验和抽象概括能力。如果学生缺乏这方面的经验，教学时就 要采用实物、模型或举例等方式弥补。值得注意的是，举例时要区分日常用语中有一些词的含义与数学概念不一致的地方，以免发生混淆。例如，几何中的垂线与日常用语中的“垂线”（
