1、平 面 向 量 综 合 讲 义 SYSU 荣 珠 海1平 面 向 量 综 合 讲 义前 言 .02近 七 年 全 国 卷 高 考 真 题 .06第 1 讲 数 量 积 基 础 071.1 平 行 （ 共 线 ） 071.2 垂 直 071.3 夹 角 081.4 模 长 091.5 投 影 10第 2 讲 平 面 向 量 基 本 定 理 13第 3 讲 最 值 （ 范 围 ） 15第 4 讲 等 和 线 18第 5 讲 极 化 恒 等 式 20第 6 讲 “ 五 心 问 题 ” （ 奔 驰 定 理 ） 22第 7 讲 矩 形 的 两 个 小 性 质 24第 8 讲 向 量 与 其 他 知 识
2、综 合 25第 9 讲 斜 坐 标 系 26平 面 向 量 综 合 讲 义 SYSU 荣 珠 海2前 言【 高 考 命 题 规 律 】年 份 题 号 题 型 考 查 内 容 思 想 方 法 分 值2011年 理 10 选 择 题 向 量 积 与 三 角 函 数 、 不 等 式 模 平 方 5分文 13 填 空 题 单 位 向 量 ， 向 量 垂 直 方 程 思 想 5分2012年 理 13 填 空 题 向 量 模 长 ， 夹 角 模 平 方 5分文 15 填 空 题 向 量 模 长 ， 夹 角 模 平 方 5分2013年 理 13 填 空 题 向 量 垂 直 方 程 思 想 5分文 13 填
3、空 题 向 量 垂 直 方 程 思 想 5分2014年 理 15 填 空 题 三 点 共 线 数 形 结 合 思 想 5分文 6 选 择 题 平 面 向 量 基 本 定 理 数 形 结 合 思 想 5分2015年 理 7 选 择 题 平 面 向 量 基 本 定 理 数 形 结 合 思 想 5分文 2 选 择 题 向 量 加 减 法 数 形 结 合 思 想 5分2016年 理 13 填 空 题 模 运 算 模 平 方 5分文 13 填 空 题 垂 直 方 程 思 想 5分2017年 理 13 填 空 题 模 运 算 ， 平 方 模 平 方 5分文 13 填 空 题 垂 直 方 程 思 想 5分全
4、 国 卷 向 量 主 要 以 客 观 题 形 式 出 现 ， 属 于 基 础 题 ， 解 决 此 类 问 题 一 要 准 确 记 忆 公 式 ，二 要 准 确 运 算 。 主 要 考 察 内 容 为 向 量 的 向 量 积 运 算 以 及 坐 标 运 算 ， 涉 及 到 模 长 问 题 牢 记 平 方（ 后 开 方 ） 的 思 路 ， 便 能 直 捣 黄 龙 ， 一 举 破 题 。 另 外 ， 虽 然 这 几 年 全 国 卷 平 面 向 量 不 涉 及到 较 难 知 识 以 及 能 力 考 查 ， 但 是 备 考 方 面 还 是 应 当 适 当 提 高 训 练 训 练 难 度 ， 如 建 系
5、解 决 棘 手数 量 积 问 题 等 ， 至 于 等 和 线 、 奔 驰 定 理 、 极 化 恒 等 式 等 进 阶 知 识 则 因 人 因 地 因 时 制 宜 。平 面 向 量 综 合 讲 义 SYSU 荣 珠 海3第 4 讲 等 和 线“ 爪 ” 字 型 图 及 性 质 ：（ 1） 已 知 ,AB AC 为 不 共 线 的 两 个 向 量 ， 则 对 于 向 量 AD， 必 存 在 ,x y， 使 得AD xAB yAC 。 则 , ,B C D 三 点 共 线 1x y 当 0 1x y ， 则 D与 A位 于 BC同 侧 ， 且 D位 于 A与 BC之 间当 1x y ， 则 D与 A
6、位 于 BC两 侧1x y 时 ， 当 0, 0x y ， 则 D在 线 段 BC上 ； 当 0xy ， 则 D在 线 段 BC延 长 线 上（ 2） 已 知 D在 线 段 BC上 ， 且 : :BD CD m n ， 则 n mAD AB ACm n m n 补 充 ：例 1： （ 2017全 国 卷 理 12） 在 矩 形 ABCD中 ， 1AB ， 2AD ， 动 点 P 在 以 点 C 为 圆 心 且与 BD相 切 的 圆 上 若 AP AB AD ， 则 的 最 大 值 为 （ ）（ A） 3 （ B） 2 2 （ C ） 5 （ D） 2例 2： 在 ABC 中 ， D为 BC边
7、的 中 点 ， H 为 AD的 中 点 ， 过 点 H 作 一 直 线 MN 分 别 交,AB AC 于 点 ,M N ， 若 ,AM xAB AN yAC ， 则 4x y 的 最 小 值 是 （ ）（ A） 94 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 1例 3 ：（ 2 0 1 7 江 苏 1 2 ） 如 图 ,在 同 一 个 平 面 内 ， 向 量 OA ,OB ,OC 的 模 分 别 为 1 ,1 , 2 ,OA与 OC的 夹 角 为 ,且 tan 7 ， OB 与 OC 的 夹 角 为 45 .若 OC mOA nOB ( , )m nR ， 则m n 例 4： 如 图 ， 在 四
8、边 形 ABCD中 ， E为 AB 边 的 中 点 ， P为 以 A为 圆 心 ， AB 为 半 径 的 圆弧 上 任 意 一 点 ， 设 AC DE AP ， 则 的 最 小 值 是 _ACB OAB CD平 面 向 量 综 合 讲 义 SYSU 荣 珠 海41、（ 2017江 西 南 昌 十 所 重 点 二 模 ） 已 知 数 列 na 为 等 差 数 列 ， 且 满 足 3 2015BA a OB a OC ，若 AB AC R ， 点 O为 直 线 BC外 一 点 ， 则 1 2017a a _2、 （ 2017 全 国 高 中 联 赛 福 建 联 赛 ） , ,A B C 为 圆 O
9、上 不 同 的 三 点 ， 且 120AOB ， 点 C在 劣 弧 AB内 ， 若 ( , )OC OA OB R ， 则 的 取 值 范 围 为 _3 、 （ 2017.04 武 汉 调 研 ） 已 知 ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 O ， 且 60A ， 若),( RACABAO ， 则 的 最 大 值 为4 、 （ 2 0 1 7 黑 龙 江 哈 师 大 附 中 三 模 ） 已 知 AB AC ， AB AC ， 点 M 满 足 1AM tAB t AC ， 若 3BAM ， 则 t的 值 为 （ ）（ A） 3 2 （ B） 2 1 （ C） 3 12 （ D） 3 125、 已
10、 知 I 为 ABC 的 内 心 ， 7cos 8A ， 若 AI xAB yAC ， 则 x y 的 最 大 值 为 （ ）（ A） 12 （ B） 34 （ C） 45 （ D） 566、 已 知 I 为 ABC 的 内 心 ， 2, 3, 4AC BC AB ， 若 AI xAB yAC ， 则 x y _7 、 已 知 O为 锐 角 ABC 的 外 心 ， 60A ， 若 AO xAB yAC ， 则 x y 的 最 大 值 为_8 、 已 知 O为 锐 角 ABC 的 外 心 ， 60A ， 若 OA xOB yOC ， 则 2x y 的 最 大 值 为_9 、 （ 2 0 1 7
11、浙 江 金 华 高 三 上 期 末 考 ） 设 单 位 向 量 ,a b 的 夹 角 为 锐 角 ， 若 对 任 意 的( , ) ( , ) 1, 0x y x y xa yb xy ， 都 有 82 15x y ， 则 a b 的 最 小 值 为 _平 面 向 量 综 合 讲 义 SYSU 荣 珠 海5第 5 讲 极 化 恒 等 式极 化 恒 等 式 ： 2 21( ) ( ) 4a b a b a b （ 1 ） 平 行 四 边 形 模 式 ： 2241 DBACba （ 2 ） 三 角 形 模 式 ：在 右 上 图 的 三 角 形 ABD中 （ M 为 BD的 中 点 ） ，因 为 A
12、MAC 2 ， 所 以 2 214a b AM DB 例 1 ： （ 2 0 1 7 全 国 卷 理 12） 已 知 ABC 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ， P 为 平 面 ABC内 一 点 ，则 )( PCPBPA 的 最 小 值 是 （ ）（ A） 2 （ B ） 23 （ C） 34 （ D） 1例 2 ： 已 知 正 三 角 形 ABC 内 接 于 半 径 为 2 的 圆 O， 点 P是 圆 O上 的 一 个 动 点 ， 则 PA PB 的 取 值 范 围 是 _例 3： 在 ABC 中 , 0P 是 边 AB 上 一 定 点 ， 满 足 0 14PB AB ， 且 对
13、 于 边 AB 上 任 一 点 P，恒 有 0 0PB PC PB PC 。 则 ( )（ A） 90ABC （ B） 90BAC （ C） AB AC （ D） AC BC例 4 ： 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 已 知 8AB ， 5AD ， 3CP PD ， 2BPAP ，则 ADAB 的 值 是 .例 5： 已 知 ,A B是 圆 O： 2 2 1x y 的 两 个 点 ， P是 线 段 AB上 的 动 点 ， 当 AOB 的 面 积最 大 时 ， 则 2AO AP AP 的 最 大 值 是 _例 6 ： （ 2 0 1 7 浙 江 绍 兴 二 检 ） 在 ABC
14、 中 , AC BC ， 0P 是 边 AB 上 一 定 点 ， 满 足0 13PB AB ， 且 对 于 边 AB上 任 一 点 P， 恒 有 0 0PB PC PB PC 。 则 BCAC _平 面 向 量 综 合 讲 义 SYSU 荣 珠 海61、 （ 2017.12 河 北 鸡 泽 一 中 月 考 ） 已 知 ABC 是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形 ， P为 平 面 ABC内一 点 ， 则 ( )PA PB PC 的 最 小 值 是（ A） 2 （ B） 32 （ C） 3 （ D） 62 、（ 2 0 1 7 山 西 五 校 联 考 ） 在 平 行 四 边 形 ABCD中
15、 ， 3, 4AB AD ， 则 AC DB 等 于 _3 、 （ 2 0 1 7 江 苏 盐 城 一 模 ） 在 ABC 中 ， 已 知 3, 3AB C ， 则 CA CB 的 最 大值 为4、 （ 2016 全 国 高 中 联 赛 湖 北 联 赛 ） 已 知 MN 是 边 长 为 2 6 的 等 边 ABC 外 接 圆 的 一 条 动弦 ， 4MN ， P是 ABC 的 边 上 动 点 ， 则 MP PN 的 最 大 值 为 _5 、 （ 2 0 1 7 四 川 雅 安 三 诊 ） 直 线 0ax by c 与 圆 O： 2 2 16x y 相 交 于 两 点 M 、 N .若 2 2
16、2c a b ， P为 圆 O上 任 意 一 点 ， 则 PM PN 的 取 值 范 围 是 _6 、 （ 2 0 1 6 石 嘴 山 适 应 性 考 试 ） 在 ABCRt 中 ， 3CBCA ， NM, 是 斜 边 AB上 的 两 个动 点 ， 且 2MN ， 则 CNCM 的 取 值 范 围 为7、（ 2013 浙 江 五 校 联 盟 二 联 ） 已 知 BA、 是 单 位 圆 上 的 两 点 ， O为 圆 心 ， 且 oAOB 120 ，MN 是 圆 O的 一 条 直 径 ， 点 C在 圆 内 ， 且 满 足 )10()1( OBOAOC ， 则CNCM 的 取 值 范 围 是 （ ）（ A） 1,21 （ B） 1,1 （ C） 0,43 （ D） 0,18 、 （ 2 0 1 2 浙 江 1 5 ） 在 ABC 中 ， M 是 BC的 中 点 ， 3, 10AM BC ， 则 AB AC _9 、 已 知 向 量 ,a b 的 夹 角 为 3 ， 5a b ， 向 量 c a ， c b 的 夹 角 为 23 ， 2 3c a ，则 a c 的 最 大 值 为 _
