1、1非线性相空间重构(1 篇)以下是网友分享的关于非线性相空间重构的资料 1 篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。非线性相空间重构篇一第 20 卷第 11 期 系统 仿 真 学 报 V ol. 20 No. 112008 年 6 月 Journal of System Simulation Jun.,2008非线性时间序列的相空间重构技术研究秦奕青1,3，蔡卫东22,3，杨炳儒3(1.北京信息科技大学 计算机学院, 北京 100192; 2. 济南大学 信息科学与工程学院, 济南 250022;3. 北京科技大学 信息工程学院, 北京 100083)摘 要：分析了混沌时间序列相空间重构中
2、常用的 C-C 方法所存在的四点不足，提出了改进的 C-C-2 方法。该方法改进了时间序列关联积分的计算方法和参数，利用混沌序列周期 N 的概念，提出了通过寻找 S cor (t ) 的第一个属于混沌序列周期 N 的局部极小峰值，来确定最优延迟时间窗口的判断方式；并只寻找平均S 2(t ) 的第一个极小值来确定最优时间延迟，所得结果更合适、稳定，而且将原算法的抗噪能力由 30%提高到 80%。关键词：相空间重构；关联积分；延迟时间窗口；非线性时间序列 中图分类号 :TP18; O415.5 文献标识码:A 文章编号：1004-731X (2008) 11-2969-05Research on
3、Phase Space Reconstruction of Nonlinear Time SeriesQIN Yi-qing, CAI Wei-dong, YANG Bing-ru(1. Computer School, Beijing Information Science 32. School of Information Science and Engineering, University of Jinan, Jinan 250022, China;3. School of Information Engineering, University of Science and Techn
4、ology Beijing, Beijing 100083, China)1,32,33Abstract: A new method called C-C-2 is presented based on the analysis for the C-C method which is usually used to reconstruct the phase space of chaotic time series. First, the C-C-2 method improves the correlation integral algorithm of time series on the
5、 computing way and the parameters. Moreover, the method proposes a new way to determine the optimal delay time window by finding the first local minimum peak value of Scor (t) belonging to the period N of the chaotic time series based on the theory of the chaotic system period N. Finally, the method
6、 estimates the optimal delay time only by finding the first local minimum of the average S 2(t). The experimental results shows that the C-C-2 method are more stable and more appropriate and also improves the robustness of C-C method from 30% to 80%.Key words: phase space reconstruction; correlation
7、 4integral; delay time window; nonlinear time series引 言混沌时间序列分析与预测的基础是 Takens 、Packard 等提出的状态空间的重构理论 1,2，即把具有混沌特性的时间序列重建为一种低阶非线性动力学系统。通过相空间重构，可以找出混沌吸引子在隐藏区的演化规律，使现有的数据纳入某种可描述的框架之下，从而为时间序列的研究提供了一种崭新的方法和思路。相空间重构是非线性时间序列分析的重要步骤，重构的质量直接影响到模型的建立和预测。相空间重构的具体方法是用原始系统中某个变量的延迟坐标来重构相空间，Takens 1从数学上为其奠定了可靠的基础。
8、他的基本观点是：相空间重构法虽然是用一个变量在不同时刻的值构成相空间，但动力系统的一个变量的变化自即此变量随因此，重构的相空间的轨迹也反映系统状态的演化规律。相空间重构的原理如下： 收稿日期：2007-03-02 修回日期：2007-09-15基金项目：国家自然科学基金 (60675030)；山东省教育厅科技计划项目(J06G01)；济南大学科研基金项目(Y0614)。作者简介：秦奕青(1969-), 女, 北京人, 博士生, 副教授, 研究方向为数据挖掘、建模与仿真；蔡卫东(1968-), 男, 山5东济南人, 博士生, 副教授, 研究方向为混沌理论及应用、数据挖掘；杨炳儒(1943-),
9、男, 天津人, 教授, 博导, 研究方向为人工智能、数据挖掘和柔性建模。设单变量的时间序列为x (t i ), i =1,2,., N ，其采样时间间隔t 。通过时间延迟构成 m 维向量： X (t i ) =(x (t i ), x (t i +),., x (t i +(m 1) ), i =1,2,., M ，其中 m 为嵌入维数， 为时间延迟，X (t i ) 为 m 维相空间中的相点，M 为相点个数，且 M =N (m 1) ，集合X (t i ), i =1,2,., M 描述了系统在相空间中演化轨迹，这时可以在重构的 m 维空间中研究系统的混沌行为。研究表明，只要 m , 选择合
10、适，重构的相空间与原系统具有相同的拓扑性质。在相空间重构中，嵌入维数 m 和时间延迟 的选取具有十分重要的意义，同时这种选取也是很困难的3。关于嵌入现在主要有以下两种观点4-6： 维数 m 和时间延迟 的选取，第一种观点认为两者互不相关，即 m 和 的选取是独立进行的。一般情况下，持这种观点的学者，对于最佳嵌入维数 m 的选取采用：首先计算出系统的分形维数 d ，m 取大于或等于 2d +1 的整数，目前主要有以下几种方法：G-P 算法、特征值分解方法、替代邻点法等。最佳延迟时间 的选取比6较复杂，方法也比较多，包括自相关函数法、互信息法等。以上各种方法，或者是在预先假定一个合适的 值的情况下
11、求 m ；或者是在假定一个合适的 m 值的情况下求 。当我们研究现实经济数据的时候，我们无法事先预知经济系统因此上的有关非线性特征，无从对 m 或 做出合适的假定，述方法都不适用。第二种观点则认为 m 和 是相互关联的。因为现实中的 2969 2008 年 6 月 系 统 仿 真 学 报 Jun., 2008时间序列都是有限长且不可避免地受到各种噪声的影响。大量实验表明，m 和 的关系与重构相空间的时间窗 W 密切相关(W =(m 1) ) ，对于特定的时间序列，其 W 相对固定，令 N 有S 1(m , r , t ) =1tC s (m , r , t ) C s m (1,r , t )
12、 (6) t s =1m 和 的不恰当配对将直接影响重构后的相空间结构与7原空间的等价关系，因此相应地产生了 m 和 的联合算法，如如果时间序列 x =x i 独立同分布，那么对固定的 m , t ，当 N 时，对于所有的 r ，均有 S 1(m , r , t ) 恒等于零。但实际时间序列是有限长且元素间存在相关性，实际得到的结果一般不等于零。S 1(m , r , t ) t 反映了时间序列的自相关特性，仿照求时间延迟的自相关法原理，最优时间延迟 d 可取C-C 法、时间窗口法嵌入维、时间延迟自动算法等。从操作的难易程度、计算量的大小方面来看，尤其是对小数据组而言，1999 年由 Kim
13、H. S.等 7提出应用关联积分同时估计出时间延迟 和延迟时间窗口 W 的 C-C 方法更为有效。C-C 方法虽然没有坚实的理论基础，但是在实际应用中有很好的效果，并且该方法相对简单，易于在计算机上实现，能够同时得到 d 和 W ，众多的实验证明该方法还有较好的抗噪声能力8。本文针对 C-C 方法在相空间重构中的不足，提出了一种基于 C-C 方法的改进算法，来确定最优时间延迟 d 与最优延迟时间窗口 W 。该算法对关联积分的计算、最优延迟时间窗口、最优时间延迟的判断规则都进行了改进，使得最优延迟时间窗口 W 选取更可靠、准确，最优时间延迟 d 的选择更准确，而且还大大提高了原算法的鲁棒性。8S
14、 1(m , r , t ) t 的第一个零点。或者取 S 1(m , r , t ) t 对所有半径 r 相互差别最小的时间点，此时表示重构相空间中的点最接近均匀分布，重构吸引子轨道在相空间完全展开。选择最大和最小的两个半径 r ，定义差量S 1(m , t ) S 1(m , r i , t )min1(m , r i , t ) (7)S 1(m , t ) 度量了 S 1(m , r , t ) t 对所有半径 r 的最大偏差。综上所述，最优时间延迟 d 可取 S 1(m , r , t ) t 的第一个零点或S 1(m , t ) t 的第一个局部极小点。根据 BDS 统计结论可以得
15、到和 N , m , r 的合理估计，一m =, r =k 2, 般情况下取 N =3000, 2,3,4,5k =1,2,3,4, std(=x ) , ( 为时间序列 x =x i 的标准差), t =1,2,.,200，计算式(8) 、式(9)1(t ) =1 C-C 方法分析1.1 C-C 方法原理考虑混沌时间序列 x =x i , i =1,2,., N ，其采样时间间隔t 。以 m 为嵌入维数， 为时间延迟，重构相空间 X =X i ，X i 为 m 维相空间中的相点T144S 1(m , r i , t ) (8) 16m =1i =191(t ) =14S 1(m , t )
16、(9) 4m =1寻找 1(t ) 的第一个零点或 1(t ) 的第一个局部极小点即X i =(x i , x i +,., x i +(m 1) ) , i =1,2,., M (1) 为最优时间延迟 d 。另外，由于统计量式 (6)采用分块平均的策则嵌入时间序列的关联积分为9 当 t =kT 时(k 为大于零的整数) ，略，对于周期为 T 的时间序列，2C (m , N , r , t ) =(r d ij ) , r 0 (2) S 1(t ) 与S 1(t ) 均为零。综合考虑 S 1(t ) 与1(t ) ，定义指标M (M 1) 1i S 1_cor (t ) =S 1(t ) +
17、S 1(t ) (10)其中 m 为嵌入维，N 是时间序列的数据个数， r 为计算中所寻找 S 1_cor (t ) 的全局最小点即可获得最优延迟时间窗口取的搜索半径，t 为时间延迟，M =N (m 1) t 表示 m 维W ，即平均轨道周期的最优估计。相空间中嵌入点数目， 为 Heaviside 函数：(x ) =0, if x 1.2 C-C 方法仿真试验仿真实验采用 MATLAB 平台，考察了 Lorenz 混沌系统10关联积分是个累积分布函数，表示相空间中任意两点之间距离小于 r 的概率。-范数表示。定义序列 x =x i 的检验统计量m(式(11)的 x 分量，用四阶 Runge-K
18、utta 法积分方程组，选择初始值为x , y , z =1,0,1，参数值为, r , b =16.0,4.0,S (m , N , r , t ) =C (m , N , r , t ) C (1,N , r , t ) (3) 45.92，积分步长 h =0.01，积分区间为 0, 1000。式(3)式的计算过程为：将时间序列 x 平均分解成 t 个互不相交的子序列，t 为重构时间延迟，即x (1)=x 1, x t +1,., x N t t +1试验过程中，我们选取了53001, 56000的 3000 个点，x (2)=x 2, x t +2,., x N t +2 (4) 用 C-C 方法对混沌系统 x 分量的重构结果和 Kim 在文7中. . . 的一样，如图 1 所示。x (t ) =x t , x t +t ,., x N t dx dt =x +y dy dt =xz +rx y (11)dz =xy bz1.3 C-C 方法的不足 计算式(3)式定义的统计量采用分块平均的策略，即1t在进行系统仿真的同时，我们分别在不同的区间选取了 S
