1、第一章 第一节 线性空间,主要内容： 线性空间的定义及其性质 向量组的线性相关性 线性空间的基与向量在基下的坐标 坐标变换与过渡矩阵 子空间与生成子空间 子空间的运算 子空间的直和,概述,线性空间是n维向量空间R n 的推广,是矩阵理论的基础。,线性空间是一类具有“线性结构”的元素集合，这种线性结构是通过两种线性运算“加法”、“数乘”在一定公理体系下给出的。,数学空间是指一个赋予了“某种结构”的集合。,定义 设V是一个非空集合，F是一个数域（如实数域R或复数域C），如果在V上规定了下列两种运算，则称V是数域F上的一个线性空间,1加法运算 对V的任意两个元素x、y，都有V的 唯一的“和” ，且满
2、足 （1）交换律 x+y=y+x; （2）结合律 x+(y+z)=(x+y)+z; （3）存在0元 x+0=x; （4）存在负元-x x+(-x)=0 .,2数乘运算 对V的任一元x，及F的任一数k，都存在唯一的“积” ，且满足 （5）分配律 k(x+y)=k x+k y （6）分配律 (k+l)x=k x+lx （7）结合律 k(lx)=(k l)x （8）1x=x,线性空间的元素也称为向量，它比n维向量有更广泛的含义。,注意：上述定义所规定的加法运算与数乘运算也称为V的线性运算，满足“封闭性”，即对V的任意两个元素及F的任一数k，所定义的“和” 与“积” 仍属于V。,当F是实数域时，V称为
3、实线性空间； 当F是复数域时，V称为复线性空间。,n维实向量空间是线性空间，仍记作 ； n维复向量空间是线性空间，仍记作 。,可以验证：,线性空间实例,例1 所有 型矩阵在矩阵加法和数乘运算下构成一个线性空间，记为,例4 闭区间a,b上所有连续函数的集合在函数加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为,例3 二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加法与数与函数的乘法构成一个线性空间。,例2 所有次数不超过n 的多项式在多项式加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为,相容的线性非齐次方程组 解的全体按 中的运算不构成线性空间,非线性空间举例,所有n阶可逆矩阵在矩阵加法和数乘运算下不构成线性空间（0矩阵不
4、可逆）。,所有次数等于n 的多项式在多项式加法和数乘运算下不构成线性空间。,实例5,设R+为所有正实数组成的集合，其上的加法与乘法分别定义为,试证R+是R上的线性空间。,证明 设,（3）1是零元，因为,（4）a的负元是1/a，因为,即对所定义的加法“”与乘法“”是封闭的。且满足,故R+是R上的线性空间。,定理 设V是数域F上的一个线性空间，则 （1）V的零元是唯一的； （2）V中任意元的负元是唯一的； （3） （4）如果 ，则k=0或 。,线性表示,则称x可由x1 ,x2 , ,x p线性表示，称x是x1 ,x2 , ,x p的线性组合。,例 在二维空间R2中，任意一个二维向量都可由标准单位向
5、量e1 , e2 线性表示。,设V是一个线性空间，,是V的向量组。,如果存在一组数,使得,例2、在线性空间,中，,例3,在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得,求解,注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求解问题。,如果向量组 与 可以相互表示，则称向量组 与向量组 是等价的。,给定线性空间V 的两个向量组 与 ，如果 中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向量组 可以由向量组 线性表示；,等价向量组具有：自反性、对称性、传递性,设 x1 ,x2 , ,x p 是线性空间V 的向量组。 如果存在一组不全为 0 的数 k1 ,k2 , ,kp 使得,则称向量组 x1
6、,x2 , ,xp 是线性相关的； 否则，就称向量组 x1 ,x2 , ,xp 是线性无关的。,线性相关,命题一 向量组x1 ,x2 , , xp是线性无关的充要条件 是仅当k1 = k2 = = kp= 0 时成立,命题二 向量组 x1 ,x2 , ,xp 是线性相关的充 要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表 示。,等价命题,1、在线性空间 中，,其中 表示第i行元素第j列元素1，其它元素为0的矩阵。,线性无关。,可以证明：,2、在线性空间,例4,在四维空间R4中，讨论下列向量组的线性相关性。,解 仅讨论（1）。设存在一组数 ，,使得,即,改写成线性方程组为,求解线性方程组得唯一解,线
7、性无关,并称 r 为向量组的秩，记为,则称 是向量组 的极大无关组；,(2)任一向量 可由 线性表示；,（1） 是线性无关组，,说明：一般地，向量组的极大无关组不是唯一的，但向量组的每一个极大无关组都与向量组自身是等价的，并且向量组的每一个极大无关组中所含有的向量的个数都等于向量组的秩。,定义 设 是线性空间V的向量组,如果,设x1 ,x2 , ,x n是线性空间V的向量组,如果（1） x1 ,x2 , ,x n是V的线性无关组，,（2）V的任一向量x可由x1 ,x2 , ,x n线性表示；,则称x1 ,x2 , ,x n是线性空间V 的一组基。 称n是线性空间V 的维数，记作dimV。 或称
8、线性空间V 是n维线性空间,即：线性空间的维数是其基中所含向量的个数。,一、线性空间的基与向量在基下的坐标,若在V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间,例1、 证明：在三维向量空间R3中 x1 ,x2 , x3 与y1 ,y2 , y3都是线性空间R3的一组基,说明：线性空间的基不唯一,这是因为：,从而它们各自都线性无关，,而对于任意向量,分别有：,例2、Pxn表示所有次数不超过n 的多项式所构成的一个线性空间,则:,可以验证：1 , x , x2 , , xn是线性空间Pxn的一组基, Pxn的维数是n+1。,Pxn是n+1维线性空间,Px表示实系数多项式所构成的一个线性
9、空间，则:,Px是无限维线性空间,因为对于任何整数N，多有N个线性无关的向量1 , x , x2 , , xN。,则Eij:i=1,2, ,m;j=1,2, ,n是线性空间,则 是mn 维线性空间,令E ij为第(i,j)元为1，其余元为0的 mn矩阵,的维数是 mn 。,例3、 表示所有mn 矩阵构成一个线性空间，,的一组基,引理1,设x1 ,x2 , ,xn是线性空间V 的一组基，则对于V的任一元x， x可由x1 ,x2 , ,xn唯一线性表示。,证明 设x可由x1 ,x2 , ,xn有两种线性表示：,x1 ,x2 , ,xn是线性空间V 的一组基，它们线性无关，,坐标,设x1 ,x2 ,
10、 ,xn是线性空间V 的一组基，则称x由x1 ,x2 , ,xn唯一线性表示的系数为向量x在基x1 ,x2 , ,xn下的坐标，记为X.,即设,则,引入坐标的意义就在于将抽象的向量与具体的 数组向量联系起来了。,说明：,在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐标一般是不同的。例如：,例4、在R3中， x1 ,x2 , x3是与y1 ,y2 , y3都是线性空间R3 的一组基,引理2 n维线性空间V 的任意n个线性无关的向量x1 ,x2 , ,xn都可构成线性空间V 的一组基。,证明 设x1 ,x2 , ,xn 是n维线性空间V 的任意一组线性无关的向量，x是V的任一向量，只要证明：,设存在一组不
11、全为0的数k , l1 , l2 , , ln使,由于x1 ,x2 , ,xn 是线性无关的，故,所以X可由x1 ,x2 , ,xn是线性表示。,X可由x1 ,x2 , ,xn是线性表示即可,进而,因此x1 ,x2 , ,xn可构成V 的一组基,推论1 在n维线性空间中，任意m(mn)个 向量必是线性相关的,推论2 在n维线性空间中，任意两组基 中所含的向量的数目相同。,下面，讨论当线性空间的基改变时，向量的坐标如何变化，为此，首先介绍过渡矩阵的概念。,二、基变换与过渡矩阵,x1 ,x2 , ,xn与y1 ,y2 , , yn是n维线性空间V的两组不同基。则由基的定义，有,称P是由基x1 ,x
12、2 , ,xn到基y1 ,y2 , , yn的过渡矩阵。,记作：,其中,过渡矩阵结论,(1) 过渡矩阵P是可逆矩阵；,同一向量在不同基下的坐标是不同的。设,得坐标变换公式,(2) 设P是由基x1 ,x2 , ,xn到基y1 ,y2 , , yn的过渡矩阵，则P-1是由基y1 ,y2 , , yn到基x1 ,x2 , ,xn的过渡矩阵。,由于基向量线性无关，则,例5、求向量 在基x1 ,x2 , x3下的坐标,解法1：,由向量坐标的定义，可设：,得方程组,解方程组即可,由自然基到基x1 ,x2 , x3的过渡矩阵为,解法2：,求得,利用坐标变换公式，则基x1 ,x2 , x3的坐标为,1、定义：
13、设V是一个线性空间，S是V的一个子集，如果S关于V的加法及数乘也构成一个线性空间，则称S是V的一个子空间。记为,定理 : 线性空间V的一个子集S是V的一个子空间当且仅当S关于V的加法及数乘是封闭的，即,说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为零子空间。,一、子空间与生成子空间,设x1 ,x2 , ,xk 是线性空间V的任意一组向量，则称所有x1 ,x2 , ,xk线性表示的集合构成的子空间（可以验证其为V的子空间）为生成子空间，记,例,在三维向量空间R3中，e1 ,e2 , e3是自然基。则 e1 ,e2的生成子空间是x1-x2 平面； e2
14、 ,e3的生成子空间是x2x3 平面； e1 ,e3的生成子空间是x1x3 平面；,2、生成子空间,例1、n元齐次方程组 的解的集合构成线性空间，,称为解空间，记为,若设 则,即,称 为A的核空间，A的核空间的维数称为A的零度。,例2、矩阵Amn的列空间：,矩阵A的列空间又称为A的值域，记为,设矩阵,则,有,生成子空间的维数,x1 ,x2 , ,xk 的任一极大无关组构成生成子空间L(x1 ,x2 , ,xk ) 的基。,基的扩充定理 n维线性空间V 的任意一组线性无关的向量x1 ,x2 , ,xr 都可扩充为线性空间V 的一组基。（可用归纳法证明）,记dim L (x1 ,x2 , ,xk
15、)= r r为向量组x1 ,x2 , ,xk的秩.,从而有：,二、子空间的运算,设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，定义子 空间的交空间与和空间（仍为V的子空间）：,例如，在线性空间R3中， v1 表示过原点的直线L1 上所有向量形成的子空间，v2 表示另一条过原点的直线L2 上所有向量形成的子空间，则,是由原点（ L1 与L2的交点）构成的零子空间；,是由 L1 与L2所决定的平面上全体向量构成的子空间。,子空间的维数公式,要证明,设S1 ,S2 是线性空间V的两个子空间，则,证明,记,将它分别扩充为S1 ,S2的基x1 ,x2 , ,xt , y1 ,y2 , , yr-t 与x1
16、 ,x2 , ,xt , z1 ,z2 , ,zs-t,事实上，取 的一组基x1 ,x2 , ,xt,只需证明S1+S2的基恰好是 x1 ,x2 , ,xt , y1 ,y2 , ,yr-t , z1 ,z2 , ,zs-t,设,记,则,从而可设,由,进而得x=0,及,故向量组x1 ,x2 , ,xt , y1 ,y2 , ,yr-t , z1 ,z2 , ,zs-t 线性无关，并构成S1+S2的基。,得,由x1 ,x2 , ,xt , z1 ,z2 , ,zs-t 为S2的基知,例3、求,的交空间与和空间的维数与基,解 由于,并且,是,的极大线性无关组，故,是和空间L的一组基。,由维数公式得
17、交空间的维数是1，现在要求交空间 的一组基。,得出基础解系（1，-4，3，-1）T,是交空间的一组基。,解齐次线性方程组,则,例4、设 的两个子空间为,试将 表示为生成子空间,它们对应着 的一组基：,即,从而,求得5个矩阵对应的5个向量的一个极大无关组即可。,设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，如果交空间=0，则称和空间为直和，记做,三、子空间的直和,定理: 设S1 ,S2是线性空间V的两个子空间，则下列命题等价,命题 设S是n维线性空间V 的一个子空间，则存在子空间T , 使得,并称T是S的补空间。,证明：,设x1 ,x2 , ,xk是S的一组基，则它可扩充为,V的一组基x1 ,x2 , ,xk，xk+1， ,xn,令,则,从而,说明：线性空间可做直和分解，但直和分解不是惟一的。,
