1、矩阵论 主讲教师王丽平 Email wlpmath 第2章线性映射与线性变换 第1章线性空间与内积空间 第3章 矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章矩阵的因子分解 第7章矩阵函数与矩阵值函数 第5章Hermite矩阵与正定矩阵 第6章范数与极限 第8章广义逆矩阵 约定和常用符号 1 集合用大写字母A B C 表示 集合中的元素用小写字母a b c 表示 1 1预备知识 1 2线性空间 1 3基与坐标 1 4线性子空间 1 5线性空间的同构 1 6内积空间 第1章线性空间与内积空间 1 1预备知识 元素称为元素在映射下的像 称为的原像 集合称为映射的定义域 集合称为映射的值域 定义1 1 1设
2、是两个非空集合 如果存在对应法则 使得 按对应法则 在中有唯一元素与之对应 则称是到的一个映射 记为 映射的例子 定义1 1 2设是非空集合 定义映射如下 称是上的恒等映射或单位映射 定义1 1 设是集合到的一个映射 1 如果 则称是到的满映射 2 如果 有 则称是到的单映射 3 如果既是单映射又是满映射 则称是到上的一一映射或称是到的双映射 定义1 1 设是两个映射 如果则称映射与相等 记为 定理1 1 1设有映射和 则 定义1 1 5设是三个非空集合 如果和是两个映射 则定义乘积映射如下 定义1 1 设有映射 如果存在映射使得 则称为的逆映射 记为 如果映射有逆映射 则称为可逆映射 定理1
3、 1 2设映射是可逆的 则的逆映射是唯一的 定理1 1 3映射是可逆映射的充分必要条件是为到的双映射 定义1 1 设是三个非空集合 到的映射称为与到的一个代数运算 到的映射称为到的代数运算 到的映射称为上的代数运算 对任意 映射是与到的代数运算 对任意 映射是与到的代数运算 对任意 映射是上的代数运算 对任意 映射是到的代数运算 1 2线性空间 定义1 2 1设P是包含0和1在内的数集 如果P中任意两个数的和 差 积 商 除数不为0 仍是P中的数 则称P为一个数域 定义1 2 2设V是一个非空集合 P是一个数域 如果在V上定义有代数运算 称为加法运算 在P与V到V定义有代数运算 称为数乘运算
4、并且加法与数乘运算满足如下八条规则 其中k m是P中的任意数 是V中的任意元素 则称V为数域P上的线性空间 线性空间V中的元素也称为向量 定理1 2 1设V是数域P上的线性空间 则 1 中零元素是唯一的 2 中任一元素 的负元素是唯一的 定义线性空间中的减法 以下总设P是数域 V是数域P上的线性空间 定义1 2 4设与是线性空间V中两个向量组 如果向量组 中每个向量都可由向量组 线性表示 则称向量组 可由向量组 线性表示 如果向量组 与 可以互相线性表示 则称向量组 与向量组 等价 设向量组可由向量组线性表示 则 上式可以简记为 其中 注1向量组可由向量组线性表示的充分必要条件是 存在矩阵A
5、使得 注2向量组的线性表示满足传递性 注3向量组的等价满足自反性 对称性和传递性 定义1 2 5设是V中一组向量 如果存在不全为零的数P 使得则称线性相关 否则就称线性无关 注4向量组线性相关的充分必要条件是 向量方程在数域中有非零解 定理1 2 2设V是数域P上的线性空间 1 V中一个向量 线性相关的充分必要条件是 0 2 V中一组向量线性相关的充分必要条件是 其中有一个向量是其余向量的线性组合 例1 2 1证明中的一组向量线性相关 定理1 2 3设V是P上的线性空间 如果V中向量组线性无关 并且可由向量组线性表示 则 推论1 2 1两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 推论1 2
6、2如果向量组可由向量组线性表示且 则线性相关 定理1 2 4设线性空间V中向量组线性无关 而向量组线性相关 则 可由唯一线性表示 定义1 2 6设是线性空间V的一组向量 是其线性无关部分向量组 如果中任一向量都可由向量组线性表示 则称为向量组的一个极大线性无关组 数r称为向量组的秩 记为 推论1 2 5等价的向量组有相同的秩 推论1 2 3线性无关的充要条件是 推论1 2 4如果向量组可由向量组线性表示 则 定义1 2 7如果线性空间V中有n个线性无关的向量 而任意 1个向量都线性相关 则称V是n维的 记为dim V n 如果在V中存在任意多个线性无关的向量 则称V是无限维的 记为dim V
7、如果V中仅含有零向量 则称V是零维的 记为dim V 定理1 2 5设是V中n个线性无关的向量 如果V中任一向量都可由线性表示 则dim V n 例1 2 2设有线性空间 证明dim V 1 3基与坐标 定义1 3 1设V为数域P上的n维线性空间 V中n个线性无关的向量称为V的一组基 设 是V中任一向量 则 可由基唯一线性表示 其中系数称为 在基下的坐标 记为或 设是线性空间V的一组基 是V的n个向量 则 2 当且仅当T可逆时 也是V的一组基 当和都是V的基时 称 是由基到基的过渡矩阵 1 存在n阶方阵 使得 定理1 3 1在n维线性空间V中 任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一组基 设
8、与是线性空间V的两组基 且向量 在基和基下的坐标分别是和 则有如下坐标变换公式 1 4线性子空间 定义1 4 1设V是数域P上的线性空间 W是V的非空子集 如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间 则称W是V的一个线性子空间 简称子空间 子空间的例子 定理1 4 2如果W是线性空间V的子空间 则 定理1 4 3设是线性空间 的一组向量则W是V的子空间 称为由向量张成的子空间 定理1 4 1设V是线性空间 W是V的非空子集 则W是V的子空间的充要条件是有 由向量张成的子空间W也可记为 定理1 4 4设与是线性空间 的两组向量 则 注 定理1 4 5设是线性空间 的两个子空间 则也是 的子空
9、间 定义1 4 2设是线性空间 的两个子空间 定义与的和为 定理1 4 6设是线性空间V的两个子空间 则也是V的子空间 一般地 可定义多个子空间的交与和则和都是 的子空间 例1 4 2在例1 4 1中 求的维数和基 定理1 4 7如果和是线性空间V的两个有限维子空间 则 定义1 4 3设是线性空间V的两个子空间 如果 其分解式唯一 则称是和的直和 记为 定理1 4 8设U是有限维线性空间V的一个子空间 则存在V的一个子空间W 使 定理1 4 9设是线性空间V的两个子空间 则以下结论等价 1 是直和 3 4 2 中零向量的表法唯一 即若存在使 定义1 4 4设是线性空间V的s个子空间 如果 其分
10、解式唯一 则称和为直和 记为 定理1 4 10设是线性空间V的s个子空间 则以下结论等价 3 4 1 和是直和 2 和零向量的表法唯一 1 5线性空间的同构 注同构具有自反性 对称性和传递性 定义1 5 1设V与都是数域P上的线性空间 如果存在V到的双映射满足 其中 是V中任意向量 k是数域P中任意数 则称为V到的同构映射 并且称V与是同构 定理1 5 1设V与是数域P上同构的线性空间 为V到的同构映射 则 定理1 5 2数域P上的两个有限维线性空间V与同构的充分必要条件是它们的维数相同 定义1 6 1设V是数域P上的线性空间 如果存在V到P一个代数运算 它满足条件 1 6内积空间 其中 则称
11、V是一个内积空间 称 为 与 的内积 如果P 则称V为Euclid空间 如果P 则称V为酉空间 在内积空间中 成立以下性质 内积空间的例子 方阵的迹具有以下性质 的共轭转置矩阵 矩阵的共轭转置具有下列性质 定义1 6 2设V是内积空间 V中向量 的长度定义为 长度为1的向量称为单位向量 例1 6 1 定理1 6 1设V是数域P上的内积空间 则向量长度具有如下性质 不等式称为Cauchy不等式 定义1 6 3设V是内积空间 V中向量 与 之间的距离定义为 距离满足如下三个基本条件 定义1 6 4设 是欧氏空间 中两个非零向量 它们之间的夹角定义为 定义1 6 5设 是内积空间中两个向量 如果 0
12、 则称 与 正交 记为 如果 与 正交 则有如下 勾股定理 定理1 6 设是内积空间V中的一组向量 则线性无关的充分必要条件是Gram矩阵非奇异 定义1 6 6设 如果 则称A为Hermite矩阵 如果 则称A为反Hermite矩阵 根据推论1 6 1 是m阶Hermite矩阵 推论1 6 1设是内积空间V中一组向量 则 设V是n维内积空间 是V的一组基 称矩阵是基的度量矩阵 设是基的度量矩阵 则 定理1 6 3设与是内积空间V的两组基 它们的度量矩阵分别为A和B 并且基到基的过渡矩阵为P 则 定义1 6 7设 如果存在n阶非奇异矩阵P 使得 则称A与B相合 定义1 6 8设都是内积空间V中的
13、非零向量 如果则称是正交向量组 如果正交向量组中的每一个向量都是单位向量 则称该向量组是标准正交向量组 定理1 6 4设是内积空间V中的正交向量组 则线性无关 定理1 6 5设是内积空间V中的线性无关向量组 则存在标准正交向量组使得与等价 注1设是内积空间V中的线性无关向量组 则存在标准正交向量组 使得因此 定理1 6 6设V是n维内积空间 则V的标准正交基一定存在 且V的任意一组标准正交向量可扩充为V的一组标准正交基 定义1 6 9在n维内积空间中 由n个正交向量组成的基称为正交基 由n个标准正交向量组成的基称为标准正交基 定理1 6 7设是内积空间V的一组基 其度量矩阵是A 则A一定与单位
14、矩阵 相合 例1 6 2将中的向量组化为标准正交向量组 注2设是内积空间V的一组标准正交基 则对V中任意向量有 定理1 6 8设是内积空间V中两个子空间 若与正交 则和是直和 定义1 6 10设是内积空间V中两个子空间 向量 1 如果有 则称 与子空间正交 记为 2 如果 都有 则称子空间与正交 记为 定义1 6 11设是内积空间V中两个子空间 如果与正交 则和称为与的正交和 记为 定义1 6 12设是内积空间V的一个子空间 V中所有与正交的向量所构成的集合称为的正交补 记为 即 定理1 6 9设是内积空间V的有限维子空间 是V的与正交的子空间 则的充分必要条件是 定义1 6 13设是内积空间
15、V的一个子空间 如果有使得则称是在上的正交 直交 投影 定理1 6 10 投影定理 设是内积空间V的有限维子空间 则任意向量在上的正交投影存在且唯一 定义1 6 14设是内积空间V的一个非空子集 是给定的向量 如果存在满足等式则称为在上的最佳逼近 定理1 6 11设是内积空间V的一个子空间 是给定的向量 则为在上的最佳逼近的充分必要条件是 定理1 6 12设是内积空间V的一个m维子空间 则V中任一向量在上都有唯一的最佳逼近 并且在上的最佳逼近是在上的正交投影 注3在定理1 6 13中 如果线性无关 则在上的最佳逼近为 定理1 6 13设V是内积空间 是V的子空间 是V的任一向量 则向量为在上的最佳逼近的充要条件是为方程组的解 其中 例1 6 4在上求一线性函数 使逼近时 最小
