2016年山东省高考数学试卷 理科 解析.doc

1、第 1 页（共 23 页）2016 年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1 （5 分） （2016 山东）若复数 z 满足 2z+ =32i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）A1+2i B1 2i C 1+2i D12i2 （5 分） （2016 山东）设集合 A=y|y=2x，x R，B=x|x 210，则 AB=（ ）A （1， 1） B （0，1） C （ 1，+） D （0，+ ）3 （5 分） （2016 山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如

2、图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20） ，20，22.5） ，22.5，25） ，25 ，27.5） ，27.5 ，30 根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）A56 B60 C120 D1404 （5 分） （2016 山东）若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（ ）A4 B9 C10 D125 （5 分） （2016 山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 23 页）A + B + C + D1+ 6 （5 分） （2016 山

3、东）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线b 相交”是“ 平面 和平面 相交”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分） （2016 山东）函数 f（x）=（ sinx+cosx） （ cosxsinx）的最小正周期是（ ）A B C D28 （5 分） （2016 山东）已知非零向量 ， 满足 4| |=3| |，cos ， = 若 （t +） ，则实数 t 的值为（ ）A4 B4 C D9 （5 分） （2016 山东）已知函数 f（x）的定义域为 R当 x0 时，f（x）=x 31；当1x1 时， f（x）= f

4、（x） ；当 x 时，f （x+ ）=f（x ） 则 f（6）=（ ）A2 B1 C0 D210 （5 分） （2016 山东）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ）Ay=sinx By=lnx Cy=e x Dy=x 3二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11 （5 分） （2016 山东）执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为 第 3 页（共 23 页）12 （5 分） （2016 山东）若（ax 2+ ） 5 的展

5、开式中 x5 的系数是80，则实数 a= 13 （5 分） （2016 山东）已知双曲线 E： =1（a 0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 14 （5 分） （2016 山东）在1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x5）2+y2=9 相交” 发生的概率为 15 （5 分） （2016 山东）已知函数 f（x）= ，其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 三、解答题,：本大题共 6 小题，共 75 分.16

6、（12 分） （2016 山东）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2（tanA+tanB） = + （）证明：a+b=2c；（）求 cosC 的最小值17 （12 分） （2016 山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线（I）已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（）已知 EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角 FBCA 的余弦值第 4 页（共 23 页）18 （12 分） （2016 山东）已知数列a n的前 n 项和 Sn=3n2+8n，b n是等差数列，且a

7、n=bn+bn+1（）求数列b n的通项公式；（）令 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn19 （12 分） （2016 山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队 ”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队” 得 1 分；如果两人都没猜对，则“ 星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II） “星队” 两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX20 （13 分） （2

8、016 山东）已知 f（x）=a（xlnx）+ ，aR （I）讨论 f（x）的单调性；（II）当 a=1 时，证明 f（x） f（x）+ 对于任意的 x1，2 成立21 （14 分） （2016 山东）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ab0）的离心率是 ，抛物线 E：x 2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点（I）求椭圆 C 的方程；（）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M（i）求证：点 M 在定直线上；（ii）直线 l 与 y 轴

9、交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标第 5 页（共 23 页）第 6 页（共 23 页）2016 年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1 （5 分） （2016 山东）若复数 z 满足 2z+ =32i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）A1+2i B1 2i C 1+2i D12i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数【分析】设出复数 z，通过复数方程

10、求解即可【解答】解：复数 z 满足 2z+ =32i，设 z=a+bi，可得：2a+2bi+abi=32i解得 a=1，b= 2z=12i故选：B【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力2 （5 分） （2016 山东）设集合 A=y|y=2x，x R，B=x|x 210，则 AB=（ ）A （1， 1） B （0，1） C （ 1，+） D （0，+ ）【考点】并集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合【分析】求解指数函数的值域化简 A，求解一元二次不等式化简 B，再由并集运算得答案【解答】解：A=y|y=2 x，xR=（0，+ ） ，B=x|x210=

11、（ 1，1） ，AB=（0，+）（1，1）=（1，+） 故选：C【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题第 7 页（共 23 页）3 （5 分） （2016 山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20） ，20，22.5） ，22.5，25） ，25 ，27.5） ，27.5 ，30 根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）A56 B60 C120 D140【考点】频率分布直方图菁优网版权

12、所有【专题】计算题；图表型；概率与统计【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22.5 小时的频率，进而可得自习时间不少于 22.5 小时的频数【解答】解：自习时间不少于 22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04 ）2.5=0.7，故自习时间不少于 22.5 小时的频率为：0.7200=140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目4 （5 分） （2016 山东）若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（ ）A4 B9 C10 D12【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分

13、析】由约束条件作出可行域，然后结合 x2+y2 的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得 x2+y2 的最大值【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，第 8 页（共 23 页）A（ 0， 3） ，C（0，2） ，|OA|OC|，联立 ，解得 B（ 3， 1） ，x2+y2 的最大值是 10故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题5 （5 分） （2016 山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）A + B + C + D1+ 【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关

14、系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为 1，可得 2R= 故 R= ，故半球的体积为： = ，棱锥的底面面积为：1，高为 1，故棱锥的体积 V= ，故组合体的体积为： + ，第 9 页（共 23 页）故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键6 （5 分） （2016 山东）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线b

15、相交”是“ 平面 和平面 相交”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：当“直线 a 和直线 b 相交”时， “平面 和平面 相交”成立，当“平面 和平面 相交”时， “直线 a 和直线 b 相交”不一定成立，故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属

16、于基础题7 （5 分） （2016 山东）函数 f（x）=（ sinx+cosx） （ cosxsinx）的最小正周期是（ ）A B C D2【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期【解答】解：数 f（x）=（ sinx+cosx） （ cosxsinx）=2sin （x+ ）2cos （x+ ）=2sin（2x+ ） ，T=，故选：B【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档8 （5 分） （2016 山东）已知

17、非零向量 ， 满足 4| |=3| |，cos ， = 若 （t +） ，则实数 t 的值为（ ）A4 B4 C D【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用【分析】若 （t + ） ，则 （t + ）=0，进而可得实数 t 的值第 10 页（共 23 页）【解答】解：4| |=3| |，cos ， = ， （t + ） ， （t + ）=t + 2=t| | | +| |2=（ ）| |2=0，解得：t=4，故选：B【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题9 （5 分） （2016 山东）已知函数 f（x

18、）的定义域为 R当 x0 时，f（x）=x 31；当1x1 时， f（x）= f（x） ；当 x 时，f （x+ ）=f（x ） 则 f（6）=（ ）A2 B1 C0 D2【考点】抽象函数及其应用菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】求得函数的周期为 1，再利用当1 x1 时，f （ x）= f（x） ，得到 f（1）=f（1） ，当 x0 时，f（x）=x 31，得到 f（ 1）= 2，即可得出结论【解答】解：当 x 时，f （x+ ）=f（x ） ，当 x 时，f（x+1）=f（x） ，即周期为 1f（ 6）=f（1） ，当 1x1 时， f（ x）= f

19、（x） ，f（ 1）=f （1） ，当 x 0 时，f（x）=x 31，f（ 1）= 2，f（ 1）=f （1）=2，f（ 6）=2故选：D【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题10 （5 分） （2016 山东）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ）第 11 页（共 23 页）Ay=sinx By=lnx Cy=e x Dy=x 3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析

20、】若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答案【解答】解：函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当 y=sinx 时，y =cosx，满足条件；当 y=lnx 时，y = 0 恒成立，不满足条件；当 y=ex 时，y =ex0 恒成立，不满足条件；当 y=x3 时，y=3x 20 恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中

21、档二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11 （5 分） （2016 山东）执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为 3 【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】计算题；操作型；算法和程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，i=1第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件 ab，故 i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件 ab，故 i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条

22、件 ab，故输出的 i 值为：3，第 12 页（共 23 页）故答案为：3【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答12 （5 分） （2016 山东）若（ax 2+ ） 5 的展开式中 x5 的系数是80，则实数 a= 2 【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【专题】二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式 Tr+1= （ax 2） 5r ，化简可得求的 x5 的系数【解答】解：（ax 2+ ） 5 的展开式的通项公式 Tr+1= （ax 2） 5r = a5r，令 10 =5，解得 r=2（ ax2+ ） 5 的展开式中 x5 的系数是

23、80 a3=80，得 a=2【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型13 （5 分） （2016 山东）已知双曲线 E： =1（a 0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 2 【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】可令 x=c，代入双曲线的方程，求得 y= ，再由题意设出 A，B，C，D 的坐标，由 2|AB|=3|BC|，可得 a，b， c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：令 x=c，代入

24、双曲线的方程可得 y=b = ，由题意可设 A（c， ） ，B（ c， ） ，C （c， ） ，D（c， ） ，由 2|AB|=3|BC|，可得2 =32c，即为 2b2=3ac，由 b2=c2a2，e= ，可得 2e23e2=0，第 13 页（共 23 页）解得 e=2（负的舍去） 故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出 A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题14 （5 分） （2016 山东）在1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x5）2+y2=9 相交” 发生的概率为 【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】

25、计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求【解答】解：圆（x5） 2+y2=9 的圆心为（5，0） ，半径为 3圆心到直线 y=kx 的距离为 ，要使直线 y=kx 与圆（x 5） 2+y2=9 相交，则 3，解得 k 在区间 1，1上随机取一个数 k，使直线 y=kx 与圆（x5） 2+y2=9 相交相交的概率为= 故答案为： 【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题15 （5 分） （2016 山东）已知函数

26、 f（x）= ，其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 （3，+） 第 14 页（共 23 页）【考点】根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】作出函数 f（x）= 的图象，依题意，可得4mm2m（m 0） ，解之即可【解答】解：当 m0 时，函数 f（x）= 的图象如下：x m 时，f （x）=x 22mx+4m=（xm ） 2+4mm24m m2，y 要使得关于 x 的方程 f（x ）=b 有三个不同的根，必须 4mm2m（m0） ，即 m23m（m0） ，解得 m3，m 的取

27、值范围是（ 3，+ ） ，故答案为：（3，+） 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4mm2m 是难点，属于中档题三、解答题,：本大题共 6 小题，共 75 分.16 （12 分） （2016 山东）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2（tanA+tanB） = + （）证明：a+b=2c；（）求 cosC 的最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形第 15 页（共 23 页）【分析】 （）由切化弦公式 ，带入并整理可得 2（sinAcosB+cosAsi

28、nB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到 sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出 a+b=2c；（）根据 a+b=2c，两边平方便可得出 a2+b2+2ab=4c2，从而得出 a2+b2=4c22ab，并由不等式 a2+b22ab 得出 c2ab，也就得到了 ，这样由余弦定理便可得出 ，从而得出 cosC 的范围，进而便可得出 cosC 的最小值【解答】解：（）证明：由 得：；两边同乘以 cosAcosB 得，2 （sinAcosB+cosAsinB ）=sinA+sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即 sinA+sinB=2sinC（1）

29、；根据正弦定理， ； ，带入（1）得： ；a+b=2c；（）a+b=2c；（ a+b） 2=a2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c22ab，且 4c24ab，当且仅当 a=b 时取等号；又 a，b0； ；由余弦定理， = ；cosC 的最小值为 【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为 ，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 a2+b22ab 的应用，不等式的性质17 （12 分） （2016 山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线（I）已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 A

30、BC；（）已知 EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角 FBCA 的余弦值第 16 页（共 23 页）【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定菁优网版权所有【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角【分析】 （）取 FC 中点 Q，连结 GQ、QH，推导出平面 GQH平面 ABC，由此能证明GH平面 ABC（）由 AB=BC，知 BOAC，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 FBCA 的余弦值【解答】证明：（）取 FC 中点 Q，连结 GQ、QH，G、 H 为 EC、 FB 的中点

31、，GQ ，QH ，又 EF BO，GQ BO，平面 GQH平面 ABC，GH面 GQH，GH平面 ABC解：（）AB=BC， BOAC，又 OO面 ABC，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（ ，0，0） ，C（ 2 ，0，0） ，B （0，2 ，0 ） ，O （0，0，3） ，F（0， ，3） ，=（ 2 ， ，3） ， =（2 ，2 ，0） ，由题意可知面 ABC 的法向量为 =（0，0，3） ，设 =（x 0，y 0，z 0）为面 FCB 的法向量，则 ，即 ，取 x0=1，则 =（1，1， ） ，cos ， = = 二面角 F

32、BCA 的平面角是锐角，二面角 FBCA 的余弦值为 第 17 页（共 23 页）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18 （12 分） （2016 山东）已知数列a n的前 n 项和 Sn=3n2+8n，b n是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列b n的通项公式；（）令 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】 （）求出数列a n的通项公式，再求数列b n的通项公式；（）求出数列c n的通项，利用错位相减法求数

33、列 cn的前 n 项和 Tn【解答】解：（）S n=3n2+8n，n2 时，a n=SnSn1=6n+5，n=1 时，a 1=S1=11，a n=6n+5；an=bn+bn+1，an1=bn1+bn，anan1=bn+1bn12d=6，d=3，a1=b1+b2，11=2b1+3，b1=4，bn=4+3（n1） =3n+1；（）c n= = =6（n+1 ） 2n，Tn=622+322+（n+1 ） 2n，2Tn=6222+323+n2n+（n+1）2 n+1，第 18 页（共 23 页）可得T n=622+22+23+2n（n+1） 2n+1=12+6 6（n+1）2n+1=（ 6n）2 n+

34、1=3n2n+2，Tn=3n2n+2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题19 （12 分） （2016 山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队 ”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队” 得 1 分；如果两人都没猜对，则“ 星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II） “星队” 两轮得分之和为 X 的

35、分布列和数学期望 EX【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计【分析】 （I） “星队” 至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 2 个” 三个基本事件，进而可得答案；（II）由已知可得：“ 星队”两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到 X 的分布列和数学期望【解答】解：（I） “星队” 至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对

36、 1 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 2 个” 三个基本事件，故概率P= + + = + += ，（II） “星队” 两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6，则 P（X=0）= = ，P（X=1）=2 + = ，P（X=2）= + + = ，P（X=3）=2 = ，第 19 页（共 23 页）P（X=4）=2 + =P（X=6）= =故 X 的分布列如下图所示：X 0 1 2 3 4 6P数学期望 EX=0 +1 +2 +3 +4 +6 = =【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题20 （13 分） （2016 山东）已知 f（x）=a（xlnx）+ ，aR

37、（I）讨论 f（x）的单调性；（II）当 a=1 时，证明 f（x） f（x）+ 对于任意的 x1，2 成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】 （）求出原函数的导函数，然后对 a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（）构造函数 F（x）=f （x）f（x） ，令 g（x）=xlnx ，h（x）= 则F（x）=f（x） f（x）=g（x ）+h （x） ，利用导数分别求 g（x）与 h（x）的最小值得到F（x） 恒成立由此可得 f（x）f（x）+ 对于任意的 x1，2成立【解

38、答】 （）解：由 f（x） =a（xlnx ）+ ，得 f（x）=a（ 1 ）+= = （x0） 若 a0，则 ax220 恒成立，当 x（0，1）时， f（x）0，f（x）为增函数，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数；当 a0，若 0a 2，当 x（0，1）和（ ，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，第 20 页（共 23 页）当 x（1， ）时，f（x）0，f（x）为减函数；若 a=2，f （x） 0 恒成立，f（x）在（0，+ ）上为增函数；若 a2，当 x（0， ）和（1，+）时，f （x）0 ，f（x）为增函数，当 x（ ，1）时，f（x）0，f（x）为减函数；（）解

39、：a=1，令 F（x）=f（ x）f（x）=xlnx 1 =xlnx+ 令 g（x）=x lnx，h（x）= 则 F（x）=f（ x）f（x）=g（ x）+h （x） ，由 ，可得 g（x）g（1）=1，当且仅当 x=1 时取等号；又 ，设 （x）=3x 22x+6，则 （x）在1 ，2上单调递减，且 （1）=1，（2）= 10，在 1，2 上存在 x0，使得 x（1，x 0） 时 （x 0）0，x（x 0，2）时， （x 0）0，函数 （x）在（1，x 0）上单调递增；在（x 0，2）上单调递减，由于 h（1）=1，h（2）= ，因此 h（x）h（2）= ，当且仅当 x=2 取等号，f（ x

40、）f （x）=g（x）+h （x）g（1）+h（2）= ，F（ x） 恒成立即 f（x）f （ x）+ 对于任意的 x1，2成立【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题21 （14 分） （2016 山东）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ab0）的离心率是 ，抛物线 E：x 2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点（I）求椭圆 C 的方程；（）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且

41、垂直于 x 轴的直线交于点 M（i）求证：点 M 在定直线上；第 21 页（共 23 页）（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的 a，b，c 的关系，解得 a，b，进而得到椭圆的方程；（） （i）设 P（x 0，y 0） ，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点 D 的坐标，求得 OD 的方程，再令 x=x0，可得

42、 y= 进而得到定直线；（ii）由直线 l 的方程为 y=x0xy0，令 x=0，可得 G（0，y 0） ，运用三角形的面积公式，可得 S1= |FG|x0|= x0（ +y0） ，S 2= |PM|x0 |，化简整理，再 1+2x02=t（t1） ，整理可得 t 的二次方程，进而得到最大值及此时 P 的坐标【解答】解：（I）由题意可得 e= = ，抛物线 E：x 2=2y 的焦点 F 为（0， ） ，即有 b= ，a 2c2= ，解得 a=1，c= ，可得椭圆的方程为 x2+4y2=1；（） （i）证明：设 P（x 0，y 0） ，可得 x02=2y0，由 y= x2 的导数为 y=x，即有

43、切线的斜率为 x0，则切线的方程为 yy0=x0（xx 0） ，可化为 y=x0xy0，代入椭圆方程，可得（1+4x 02）x 28x0y0x+4y021=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，可得 x1+x2= ，即有中点 D（ ， ） ，第 22 页（共 23 页）直线 OD 的方程为 y= x，可令 x=x0，可得 y= 即有点 M 在定直线 y= 上；（ii）直线 l 的方程为 y=x0xy0，令 x=0，可得 G（0，y 0） ，则 S1= |FG|x0|= x0（ +y0）= x0（1+x 02） ；S2= |PM|x0 |= （y 0+ ） = x0 ，则 = ，令 1+2x02=t（t1） ，则 = = =2+ =（ ） 2+ ，则当 t=2，即 x0= 时， 取得最大值 ，此时点 P 的坐标为（ ， ） 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题第 23 页（共 23 页）参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sxs123；翔宇老师；；于东；双曲线；wfy814 ；wkl197822 ；zlzhan （排名不分先后）菁优网2016 年 6 月 13 日