1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上
2、新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).第 I 卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ，则 =1,2345,61,3,4UAB()UAB（A） （B） （C） （D）2,6,51,246（2）若复数 ，其中 i 为虚数单位，则 =1izz（A）1+i （B）1i （C）1+i （D）1 i（3）某高校调查了 200 名
3、学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)， 20，22.5)， 22.5,25)，25，27.5)，27.5，30).根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（A）56 （B）60 （C）120 （D）140（4）若变量 x，y 满足 则 x2+y2 的最大值是2,390,yx（A）4 （B）9 （C）10 （D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A） （B） （C） （D）12+312+312+3621+6（6）已知直
4、线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平b面 相交 ”的b（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）已知圆 M： 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 M 与圆 N：20()xya+-=0xy+=2的位置关系是22(1)xy+-=（ -）（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离（8） 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 ,则 A=2,(1sin)bcaA=-（A） （B） （C） （D）3446(9)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)=x3-1；当-1x1 时，f(
5、-x)= f(x)；当 x时，f(x+ )=f(x ).则 f(6)=1212（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2（10）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()yfx（A） （B） （C） （D）sinlnyxexy3yx第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）执行右边的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为_ （12）观察下列等式：；224(sin)(si)133；224(sin)(si)355；22 6(si)(si)n
6、4777；2238n(si)(si)59993照此规律， _2222(si)(sin)(sin)(sin)1111（13）已知向量 a=(1,1)，b=(6,4)若 a(ta+b)，则实数 t 的值为_（14）已知双曲线 E： =1（a0，b0） 矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的2xayb两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_（15）已知函数 f(x)= 其中 m0若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)=b 有2,4,xmx三个不同的根，则 m 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分（16） （本小题满分 12
7、分）某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下：若 ，则奖励玩具一个； 3xy若 ，则奖励水杯一个；8其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.（17） （本小题满分 12 分）设 .2()23sin()i(sinco)fxxx（I）求 得单调递增区间；（II）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得
8、到的图象向左()yfx平移 个单位，得到函数 的图象，求 的值.3()g()6g（18） （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.（I）已知 AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；（II）已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证：GH平面 ABC.（19） （本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和 ， 是等差数列，且 .a238nSnb1nnab（I）求数列 的通项公式； b（II）令 .求数列 的前 n 项和 . 1()2nnccT(20)(本小题满分 13 分)设 f(x)=xlnxax2+(2a1)x，aR.()令 g(x)=f(
9、x)，求 g(x)的单调区间；()已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.(21)(本小题满分 14 分)已知椭圆 C: （ab0）的长轴长为 4，焦距为 2 .22+22=1 2（I）求椭圆 C 的方程；()过动点 M(0，m)(m0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B.(i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k，证明 为定值.(ii)求直线 AB 的斜率的最小值.、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试
10、题参考答案第 I 卷（共 50 分）一、选择题（1） 【答案】A（2） 【答案】B（3） 【答案】D（4） 【答案】C（5） 【答案】C（6） 【答案】A（7） 【答案】B（8） 【答案】C(9) 【答案】D（10） 【答案】A第 II 卷（共 100 分）二、填空题（11） 【答案】 1（12） 【答案】 43n（13） 【答案】 5（14） 【答案】 2（15） 【答案】 3,三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分（16）【答案】 （ ） .（ ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.516【解析】试题分析：用数对 表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间 与点集,xy 一一对
11、应 .得到基本事件总数为,|14,SxyNy 16.n（ ）记“ ”为事件3A事件 包含的基本事件共有 个，即 计算即得 .A51,2,3,1,5()16PA（ ）记“ ”为事件 ， “ ”为事件 .8xyB38xyC知事件 包含的基本事件共有 个，得到B663.1P事件 包含的基本事件共有 个，得到C55.比较即知.试题解析：用数对 表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集,xy 一一对应 .因为 中元素个数是 所以基本事件总,|14,SxyNyS416,数为 16.n（ ）记“ ”为事件 .3xyA则事件 包含的基本事件共有 个，即 A51,2,3,1,所以， 即小亮获得玩具的
12、概率为 .5,16P56（ ）记“ ”为事件 ， “ ”为事件 .8xyB38xyC则事件 包含的基本事件共有 个，即B62,43,4,23,4所以，6.18P则事件 包含的基本事件共有 个，即C51,42,3,241,所以，.16因为35,8所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.考点：古典概型（17）【答案】 （ ） 的单调递增区间是 （或fx5,12kkZ）5(,)12kkZ（ ）3.【解析】试题分析：（ ）化简 得 223sinsiincosfxxx()2sin1,3fxx由 即得2,kkZ5,1212kxkZ写出 的单调递增区间fx（ ）由 平移后得 进一步可得f2sin31,x
13、2sin31.gx.6g试题解析：（ ）由sisinicofx23n1ccosixi23sin1,x由 得22,3kxkZ5,212kxkZ所以， 的单调递增区间是fx5,12kkZ（或 ）(,)（ ）由（ ）知fx2sin31,x把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，yf 2得到 的图象，2sin31x再把得到的图象向左平移 个单位，得到 的图象，y2sin31x即 2sin31.gx所以 i3.6考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.（18） 【答案】 （） ）证明：见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（） ）根据 ，知
14、与 确定一个平面，连接 ，得到 ，BDEF/ DEAC，从而 平面 ，证得 .ACBDFBAC（）设 的中点为 ，连 ，在 ， 中，由三角形中位线定理可得线线平行，IHIG,E证得平面 平面 ，进一步得到 平面 ./GHI /试题解析：（） ）证明：因 ，所以 与 确定一个平面，连接 ，因为D/FBDE为 的中点，所以 ；同理可得 ，又因为 ，所以ECA,ACEACB平面 ，因为 平面 ， 。BDFB（）设 的中点为 ，连 ，在 中， 是 的中点，所以 ，又 ，IHIG,FGEEFGI/B/所以 ；在 中， 是 的中点，所以 ，又 ，所以平面 平面GI/CBI/HIHI，因为 平面 ，所以 平
15、面 。ABHI/ACIFEHGBDCA考点：1.平行关系；2.垂直关系.（19）【答案】 （） ;（）13nb23nnT【解析】试题分析：（）由题意得 ，解得 ，得到 。321ba3,41d13nb（）由（）知 ，从而 1)()3(6nnnc22432 1nnT利用“错位相减法”即得 nT试题解析：（）由题意当 时， ，当 时， ；所以2561nSan 11Sa；设数列的公差为 ，由 ，即 ，解之得 ，所以56nad321bdb3271 3,41db。13b（）由（）知 ，又 ，即112)(3)(6nnnc nnccT3212432 1nnT，所以 ，以上两式两边相减得2)(543 nn。22
16、1432 3)1(43)(2 nnnnn所以2nT考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.(20) 【答案】()当 时，函数 单调递增区间为 ；0agx0,当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . x1,2a1,2a() .12a【解析】试题分析：()求导数 ln2,fxax可得 ，ln2,0gxax从而 ，1讨论当 时，当 时的两种情况即得. 0a()由()知， .分以下情况讨论：当 时，当 时，当 时，当1f0a12a12a时，综合即得.12a试题解析：()由 ln2,fxax可得 ，ln2,0gxa则 ，1 x当 时，0a时， ，函数 单调递增；,
17、x0gxgx当 时，时， ，函数 单调递增，10,2xa0gxgx时， ，函数 单调递减.,所以当 时，函数 单调递增区间为 ；0agx0,当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 1,2a1,2a()由()知， .10f当 时， ， 单调递减.0axfx所以当 时， ， 单调递减.,当 时， ， 单调递增.1x0fxfx所以 在 x=1 处取得极小值，不合题意.fx当 时， ，由()知 在 内单调递增，102afx10,2a可得当当 时， ， 时， ，,x0fx,fx所以 在(0,1)内单调递减，在 内单调递增，f1,2a所以 在 x=1 处取得极小值，不合题意.x当 时，即 时，
18、 在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，12a1afx1,所以当 时， ， 单调递减，不合题意.0,x0f当 时，即 ，当 时， ， 单调递增,12a1a1,2xa0fxfx当 时， ， 单调递减，,x0ff所以 f(x)在 x=1 处取得极大值，合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为 .12a考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.(21) 【答案】() .()(i)见解析；(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 .214xy 62【解析】试题分析：()分别计算 a,b 即得.()(i)设 ，00,Pxy由 M(0,m)，可得 2.mQx得到直线 PM 的斜率 ，直线
19、QM 的斜率 .证得.0k0023mkx(ii)设 ，12,AxyB直线 PA 的方程为 y=kx+m，直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.联立 ，214ykxm整理得 .2240kxk应用一元二次方程根与系数的关系得到 ，2222100 038181mkmxkxkxx，22222100 06 68181kmyxkxkx得到 2216.4ABy应用基本不等式即得.试题解析：()设椭圆的半焦距为 c，由题意知 ，24,2ac所以 ，,b所以椭圆 C 的方程为 .214xy()(i)设 ，00,P由 M(0,m)，可得 2.xmQ所以 直线 PM 的斜率 ，0kx直线 QM 的斜率 .0023
20、此时 ，3k所以 为定值-3.k(ii)设 ，12,AxyB直线 PA 的方程为 y=kx+m，直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.联立 ，214ykxm整理得 .2240kxk由 可得 ，2014mx120x所以 ，120kym同理 .2222006,818xykxkx所以 ，2221200 03181kmx，22221200 06 68kmyxkxk所以 212 16.4ABy由 ，可知 k0，0,mx所以 ，等号当且仅当 时取得.162k6k此时 ，即 ，符号题意.2648m147所以直线 AB 的斜率的最小值为 .62考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.
