1、数学选修 2-1 第二章试题1. 设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 斜率为 1 的直线12,F2:1(0)xyEab1F与 相交于 、 两点，且 成等差数列.lEAB22,AFB（1）求 的离心率；（2） 设点 满足 ，求 的方程.(0,1)PPE（20.）解：（I）由椭圆定义知 ，又 ，24AFBa2ABF得 43Ba的方程为 ，其中 。lyxc2ab设 ， ，则 A、B 两点坐标满足方程组1,A2,2yxcab化简的 22220xacb则 12122,xb因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB21114xxx得 故24,3ab2所以 E 的离心率2cabe（II）设 AB 的中点为 ，由（
2、I ）知0,Nxy， 。2120 3xacb03cx由 ，得 ，PAB1PNk即 01yx得 ，从而3c2,3ab故椭圆 E 的方程为 。189xy2. 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.（）求椭圆 C 的方程；（）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， =，求点OPMM 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 ()设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ，由已知得ac， 1,4,37acac解 得所以椭圆 的标准方程为C2167xy（）设 ，其中 。由已知 及点 在椭圆 上可得(,)Mxy
3、4,2OPMC。22916()整理得 ，其中 。22916xy4,x（i） 时。化简得 34所以点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段。M47(4)3yxx（ii） 时，方程变形为 ，其中34221169y4,当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足0 y的部分。4x当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的31Mx4x部分；当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆；3.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的点均在 C2：（x-5） 2y 2=9 外，且对 C1 上任意一点M，M 到直线 x=2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
4、（）求曲线 C1 的方程；（）设 P(x0,y0)（y 03）为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1 相交于点 A，B 和 C，D.证明：当 P 在直线 x=4 上运动时，四点 A，B，C ，D 的纵坐标之积为定值.【解析】 （）解法 1 ：设 M 的坐标为 (,)xy，由已知得2(5)3xy易知圆 2C上的点位于直线 2x的右侧.于是 20x，所以 2(5)5xyx.化简得曲线 1的方程为 0y. 解法 2 ：由题设知，曲线 1C上任意一点 M 到圆心2(5,0)的距离等于它到直线 5x的距离，因此，曲线 是以 (,0)为焦点，直线x为准线的抛物线，故其方程为
5、2yx. （）当点 P 在直线 4x上运动时，P 的坐标为 0(4,)y，又 03，则过 P 且与圆 2C相切得直线的斜率 k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 0(4),ykx0即 -y+=.于是 02543.1ky整理得 2207189.ky 设过 P 所作的两条切线 ,PAC的斜率分别为 12,，则 12,是方程的两个实根，故 0128.74yk 由 10124,kxyk得101().k 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 1234,y，则是方程的两个实根，所以 0112(4).yk 同理可得 0234().yky 于是由，三式得 010212342()(4)yk
6、20120124()6ykyk201214640yk.所以，当 P 在直线x上运动时，四点 A， B，C，D 的纵坐标之积为定值 6400.4.已知曲线 22:58CmxymR（1）若曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆，求m的取值范围；（2）设 4，曲线 与 轴的交点为 AB， （点 位于点 B的上方） ，直线 4ykx与曲线 交于不同的两点 M， N，直线 y与直线 M交于点 G求证：AGN， ，三点共线解析：（1）原曲线方程可化简得：22185xym由题意可得：852082m，解得：752m（2）由已知直线代入椭圆方程化简得： 2(1)640kxk， 2=3()k，解得： 3k 由韦达定理得：
7、 26MNx， 21MN， 设 ,4Nx， (,4)Mx， (1)G， B方程为： kxy，则316MGk， 36AGk， 2NAx， 欲证 AG， ， 三点共线，只需证 ， N共线 即 3()6MNkx成立，化简得：(3)6()MNkxx将代入易知等式成立，则 AG， ， 三点共线得证。5.如图，设 P 是圆 25y上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的摄影，M 为 PD 上一点，且 45D（）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程（）求过点（3，0）且斜率为 45的直线被 C 所截线段的长度解：（）设 M 的坐标为（x,y）P 的坐标为（x p,yp）由已知 x p=x54y
8、 P 在圆上， 2254xy，即 C 的方程为2156xy（）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为 43y，设直线与 C 的交点为 12,AxyB将直线方程 435y代入 C 的方程，得2215x即 2380x 123441,xx 线段 AB 的长度为 22 211 164155ABxyx6.如图，椭圆 E： 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 。过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，且ABF2 的周长为 8。（）求椭圆 E 的方程。（）设动直线 l：y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 相较于点 Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直
9、径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由。7.已知椭圆21:4xCy，椭圆 2C以 1的长轴为短轴，且与 1C有相同的离心率。（1）求椭圆 2的方程；（2）设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 1和 2上， OBA，求直线 B的方程。8.已知椭圆2:14xGy.过点（m ,0）作圆 21xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点.（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将 AB表示为 m 的函数，并求 的最大值.解：（）由已知得 ,12ba所以 .32c所以椭圆 G 的焦点坐标为 )0,3(,(离心率为 .2ace（）由题意知， 1|m.当 1时，切线 l
10、 的方程 x，点 A、B 的坐标分别为 ),231(),此时 3|AB当 m=1 时，同理可得 3|AB当 |时，设切线 l 的方程为 ),(mxky由 048)41(.4),( 2222 yxk得设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx，则22121 4,48kmxkx又由 l 与圆 .1,1|, 222 ky即得相 切所以 1212)()(| yxAB4)4(6)122kmk.3|42m由于当 时， ,3|AB所以 ),1,(,|4|2 .因为 ,2|3|4|3|2mAB且当 m时，|AB|=2，所以|AB| 的最大值为 2.9. 在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆xOy
11、(,)Pab0)12,F的左右焦点已知 为等腰三角形21xyab12F（）求椭圆的离心率 ；e（）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足2PF,ABM2，求点 的轨迹方程AMB（I）解：设 12(,0)(,0)cc由题意，可得 21|,PF即 ().acb整理得 （舍） ，20,ca得或 所以1.a.e（II）解：由（I）知 2,3,cb可得椭圆方程为 2341xy直线 PF2 方程为 ().cA，B 两点的坐标满足方程组22,3().xyc消去 y 并整理，得 2580.c解得 120,.x得方程组的解21,53.xcyy不妨设 8(,),(0)5AcBc设点 M 的坐标为 ，8
12、3(,)(,),(,3)5xyAxycBMxyc则由 33(),.yc得于是 8(,),155Ayxx由,3).BMx2,BM即 ，883()155yyx化简得 2610.x将2 21853105,.663xxycxyc代 入 得所以 0.因此，点 M 的轨迹方程是 2186().x10. 是双曲线 上一点，M,N 分别是双曲线0,pxya2:10,xyEabE 的左、右顶点，直线 PM,PN 的斜率之积为 5（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点，O 为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 ,求 的值OCAB解：（1）点 在双曲线 上，0(,)Pxya21xyb有20xab由题意又有 001,5yxa可得 222305,6,5cbcbea则（2）联立 设22,41,xyxb得 12(,)(,)AxyB则 （1）125,34cbx设 3121(,),xOCyOABy即又 C 为双曲线上一点，即 2235,xb有 2112()5()xy化简得： （2）2121(5)xxyb又 在双曲线上，所以12(,)(,)AxyB22215,5xybxyb由（1）式又有 22121212155()4()10xccc得： 40,.解 出 或
