1、高二数学同步测试选修 1-2（第三章）复数说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 1方程 2z+|z|=2+6i 的解的情况是 （ ）A没有解 B只有一解 C有两解 D多于两解2已知 z=xyi( x，yR )，且 ，则 z= （ 22log8(1log)xyiyi）A2i B 12i C2i 或 12i D无解3下列命题中正确的是 （ ）A任意两复数均不能比较大小； B复数 z 是实数的充要条
2、件是 z= ；C复 数 z 是 纯 虚 数 的 充 要 条 件 是 z+ =0； Di +1 的共轭复数是 i1；4设 ，则集合 中元素的个数是 （ )()1)(Nniinfn)(nfx）A1 B 2 C3 D无穷多个5使不等式 m2(m 23m) i( m24m 3)i10 成立的实数 m （ ）A1 B 0 C3 D复数无法比较大小6设复数 ，则满足等式 的复数 对应的点的轨迹是 （ ,zxyiR0zxz）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线7若非零复数 满足 ,则 的值是 （ ,xy220xy205205()()xy）A1 B C D12042048如图所示，复平面内有 RtABC ，其中B
3、AC=90，点 A、B、C 分别对应复数，且 =2，则 z=（ ）32z、A Bii3C Di31i1O xB CyA z23z9复数 z a2，z 2，如果|z |1 Ca0 Da110如果复数 z 满足| z| z|2，那么|z1|的最小值为_A1 B C2 D 5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） 11已知关于 x 的实系数方程 x22ax+a 24a+4=0 的两虚根为 x1、x 2，且|x 1|+|x2|=3，则a 的值为 12已知(2x1)+i= y(3y) i，其中 x, yR，求 x= ， y= 13ii 2i 3+i2005= 14已知 x、y
4、、tR，t1 且 t0，求满足 xyi= 时，点(x, y) 的轨迹方程1tti三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分) 15 （12 分）设|z |5，|z |2, |z | ，求 的值12123z1216 （12 分）当 m 为何实数时，复数 z +(m2+3m10)i ；（1）是实数；235（2）是虚数；（3）是纯虚数 17 （12 分）求同时满足下列条件的所有复数 z:(1) 是实数，10且 (2)z 的实部和虚部都是整数610z18 （12 分）设复数|z i|=1, 且 z0, z2i. 又复数 w 使 为实数，问复数 w 在zi2复平面上所对应的点 Z
5、的集合是什么图形，并说明理由 19 （14 分）设虚数 z1,z2，满足 .21z （1）若 z1,z2 又是一个实系数一元二次方程的两根，求 z1, z2（2）若 z1=1+mi(i 为虚数单位，mR), ,复数 w=z2+3,求|w|的取值范围|120 （14 分）已知：A、B 是 ABC 的两个内角， jBAiBAm2sin52cos其中 、 为相互垂直的单位矢量若 | | = ，试求 tanAtanB 的值ij 43参考答案一、1B；2C；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法 ， ， ，22log8(1log)xyiyi2280l1logxy32xy解得 或 ,
6、 z2i 或 z12iyx诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）3B；4C；解析： ， ， nif)()(0)3(,2)(,0)1(fff ,2)4(f集合 中的元素为 ，选 C ；nx2,05C；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m 23m)i(m 24m3)i10, 且虚数不能比较大小， ，解得 ， m=3.210|103当 m3 时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件6D；7A ； 8C；9A；利用复数模的定义得 ，选 A；a2510A；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选 A；二、
7、11 ；12x = , y=4；21513i；解：此题主要考查 in的周期性ii 2i 3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003 i2004)i 2005=(i 1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i00 0+i i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住 in的周期及合理分组14xy=1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法 xyi= ， ， xy=1,1()tti1txyt 点( x，y)的轨迹方程为 xy1，它是以 x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0) 的等轴双曲线三、15 【分析】 利用复数模、四则运
8、算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解【解】 如图，设 z 、z 后，则 、 如图所示1OA2Bz1OCz2D由图可知，| | ，AODBOC，由余弦定理25得：cosAOD 1352()4 y A D O B x C ( )2 z12543【另解】设 z 、 如图所示则| | ，1OA2Dz125且cosAOD ，sinAOD5322()4535，所以 ( )2 ，即 2 z1245z1【注】本题运用“数形结合法” ，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，16解：此
9、题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法（1）z 为实数，则虚部 m2+3m10=0，即 ，23105m解得 m=2， m=2 时，z 为实数（2）z 为虚数，则虚部 m2+3m100，即 ，20解得 m2 且 m5. 当 m2 且 m5 时，z 为虚数 ，223150m解得 m= , 当 m= 时， z 为纯虚数21诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求 17分析与解答： 设 z=a+bi (a,bR,且 a2+b20). 则 2)(101010baiibii a)()(22 由(1)知 是实数，且 ,z61z 即 b=0 或 a2
10、+b2=10.0)1(2by ADO x 又 *6)10(2ba 当 b=0 时，*化为 无解 当 a2+b2=10 时，*化为 12a6, .321 由(2)知 a=1,2,3. 相应的 b=3, (舍)，1，6 因此，复数 z 为：13i 或 3i.此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法 18分析与解答：设 z=a+bi, w=x+yi (a,b, x,yR).21 由题 z0, z2i 且|zi|=1,22 a0, b0 且 a2+b22b=0.23 222 22)()()(baiyxxiaiibaiiyxziwu记24 已知 u 为实数，25 ，0)2(22
11、yx26 a0, x 2+y22y=0 即 x2+(y1) 2=1.27 w 在复平面上所对应的点 Z 的集合是以(0, 1) 为圆心，1 为半径的圆28 又 w2i0, 除去(0, 2)点此题中的量比较多，由于是求 w 对应点的集合，所以不妨设 w 为 x+yi(x,yR), z=a+bi(a,bR).关于 z 和 w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意29 19分析与解答：30 (1)z 1, z2 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，31 可设 z1=a+bi(a,bR 且 b0),则 z2=abi,32 由 得(a+bi) 2=abi233 即：
12、a2b 2+2abi=abi34 根据复数相等， ba235 b0 解得： 或 ，231b231ba36 或 iz2312iz231237 (2)由于 ，z 1=1+mi, w=z2+3, 138 w=(1+mi )2+3=4m 2+2mi.39 ,1)(4(| 2w40 由于 且 m0, 可解得 0m21,|z141 令 m2=u, ,1)2(|u42 在 u(0,1)上，(u2) 2+12 是减函数， .)4,13|w复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合20讲解：从化简变形| |入手m| |2=( )2=( )2mjBAiBAsin25cos= si4= ， 2)cs(152)c(1= ，oosBABA89cos(AB)= cos(A+B)44 cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB5sinAsinB， 9sinAsinB= cosAcosB又 A、B 是 ABC 的内角，cosAcosB ， tanAtanB= 091说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强
