1、第 1 页 共 19 页中考总复习：二次函数知识讲解（基础）【考纲要求】1二次函数的概念常为中档题主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果 （a、b、c 是常数，a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数2yx要点诠释： 二次函数 (a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次2a式，x 的最高次数是 2(2)二次项系数 a0考
2、点二、二次函数的图象及性质1.二次函数 (a0)的图象是一条抛物线，顶点为 2yaxbc 24,bac2.当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，抛物线的开口向下3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置c0 时，抛物线过原点；c0 时，抛物线与 y 轴交于正半轴；c0 时，抛物线与 y 轴交于负半轴ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置当 ab0 时，对称轴为 y 轴；当 ab0 时，对称轴在 y第 2 页 共 19 页轴左侧；当 ab0 时，对称轴在 y 轴的右侧4.抛物线 的图象，可以由 的图
3、象移动而得到2()yaxhk2ax将 向上移动 k 个单位得： k将 向左移动 h 个单位得： 2yx 2()yxh将 先向上移动 k(k0)个单位，再向右移动 h(h0)个单位，即得函数a的图象2()yxhk函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标( 轴) (0，0)( 轴) (0， )( ，0)( ， )当 时开口向上当 时开口向下( )要点诠释：求抛物线 2yaxbc（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用考点三、二次函数的解析式1.一般式： (a0)2+yaxbc若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为
4、，将已知条件代入，求出2yaxbca、b、c 的值2.交点式（双根式）： 12()(0)yaxa若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中 m、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系12()yax数，最后将解析式化为一般形式3.顶点式： 2()(0)hka第 3 页 共 19 页若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式2yaxhk4.对称点式： 12()(0)yxma若已知二次函数图象上两对称点(x 1，m)，(
5、x 2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形12()()a式要点诠释：已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成 的图象平移后所对应的函数).已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：（a0）.(由此得根与系数的关系： ).考点四、二次函数 (a0) 的图象的位置与系数 a、b、c 的关系2yaxbc1.开口方向：a0 时，开口向上，否则开口向下2.对称轴： 时，对称轴在 y 轴的右侧；当 时，对称轴在 y 轴的左侧0b023.与 x 轴交点： 时，有两个交点； 时，有一个交点； 时，没有
6、24ac4bac240bac交点要点诠释：当 x1 时，函数 ya+b+c；当 x-1 时，函数 ya-b+c；当 a+b+c0 时，x1 与函数图象的交点在 x 轴上方，否则在下方；当 a-b+c0 时，x-1 与函数图象的交点在 x 轴的上方，否则在下方考点五、二次函数的最值1.当 a0 时，抛物线 有最低点，函数有最小值，当 时， 2yabxc2bxa24acby最 小2.当 a0 时，抛物线 有最高点，函数有最大值，当 时， 22最 大要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数 的最值，还应考虑实际问题的自变量的取2yaxbc值范围考点六、二次函数与一元二次方程的关系函数 ，当 时，
7、得到一元二次方程 ，那么一第 4 页 共 19 页元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定.(1)当二次函数的图象与
8、 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，且图象的对称轴在 y 轴的右侧，则 k 的值是 【思路点拨】因为图象的对称轴在 y 轴的右侧，所以对称轴 x=k+10，即 k-1；又因为二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，所以 y 最小值 = =-4，可以求出 k 的值42、k+3-()【答案与解析】第 5 页 共 19 页
9、解：图象的对称轴在 y 轴的右侧，对称轴 x=k+10，解得 k-1，二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，y 最小值 = =k+3-（k+1） 2=-k2-k+2=-4，42、+3-(k)整理得 k2+k-6=0，解得 k=2 或 k=-3，k=-3-1，不合题意舍去，k=2【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法举一反三：【变式】已知 是二次函数，求 k 的值24(3)kyx【答案】 是二次函数，则24()kyx2,30，由 得 ，2k260即 ，得 ， 显然，当 k-3 时，(3)1k2原函数为 y0，不是
10、二次函数 k2 即为所求类型二、二次函数的图象及性质的应用2把抛物线 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式2yx为( )A B2(1)32()yxC Dyx13【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线 y=-x2顶点坐标为（0，0） ，向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位后，顶点坐标为（-1，3） ，根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式 【答案】 D；【解析】根据抛物线的平移规律可知： 向左平移 1 个单位可变成 ，2yx2(1)yx再向上平移 3 个单位后可变成 ()3【总结升华】(1) 图象向左或向右平移|h|个单位，可得
11、 的图象(h0 时向左，2yax 2()yaxh第 6 页 共 19 页h0 时向右)(2) 的图象向上或向下平移|k|个单位，可得 的图象(k0 时向上，k02yax 2yaxk时向下)举一反三：【变式】将二次函数 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，2yx所得图象的函数表达式是( )A B21yx2(1)yxC D() 【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得 故选 A.2()yx类型三、求二次函数的解析式3已知二次函数 的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为 ，求这个二次2yaxbc 92函数的解析式 【思路点拨】将点（1，0），（-5，0）代入
12、二次函数 y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得4ac-ba，b，c 的值，即得这个二次函数的解析式【答案与解析】解法一：由题意得 解得0,2594,2abc1,25.abc所以二次函数的解析式为 1yx解法二：由题意得 ()5a把 代入，得 ，解得 2x9y 921()212a所以二次函数的解析式为 ，yx即 215yx解法三：因为二次函数的图象与 x 轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，第 7 页 共 19 页对称轴是直线 所以，抛物线的顶点是 2x92,可设函数解析式为 即 29()ya15yx【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式举一反三：【变式】已知
13、：抛物线 2()xbc经过点 (12)Pb， （1）求 bc的值；（2）若 3，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若 ，过点 P作直线 Ay轴，交 轴于点 A，交抛物线于另一点 B，且 2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式 （提示：请画示意图思考）【答案】解：（1）依题意得： 2(1)(2bcb， 2bc （2）当 3时， 5c， 2()6yxx抛物线的顶点坐标是 1， yxOB P A（3）解法 1：当 3b时，抛物线对称轴 12bx，对称轴在点 的左侧因为抛物线是轴对称图形， (1)P， 且 BPA(32)Bb，15 又 2bc， 7抛物线所对应的二次函数关系式 24yx 第 8 页 共
14、 19 页解法 2：当 3b时， 12bx，对称轴在点 P的左侧因为抛物线是轴对称图形，(1)，且 (3)BAb， ， 232bcb又 c，解得： 57，这条抛物线对应的二次函数关系式是 247yx 解法 3： 2b， cb，2(1)yxBP轴， 22x 即： 2()0xb解得： 12()， ，即 ()Bxb 由 BPA， 2157bc，这条抛物线对应的二次函数关系式 247yx. 类型四、二次函数图象的位置与 a、b、c 的关系4如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，给出四个结论：b 2-4ac0；2a+b=0；a+b+c=0；当
15、 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0把正确结论的序号填在横线上 【思路点拨】根据函数图象得出抛物线开口向下得到 a 小于 0，且抛物线与 x 轴交于两个点，得出根的判别式大于 0，即选项正确；对称轴为 x=1，利用对称轴公式列出关于 a 与 b 的关系式，整理后得到2a+b=0，选项正确；由图象得出 x=1 时对应的函数值大于 0，将 x=1 代入抛物线解析式得出 a+b+c 大于 0，故选项错误；由抛物线与 x 轴的一个交点为 A（3，0），根据对称轴为 x=1，利用对称性得出第 9 页 共 19 页另一个交点的横坐标为-1，从而得到 x=-1 或 x=3 时，函数值 y=0
16、，选项正确，即可得出正确的选项序号【答案与解析】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=1，与 y 轴交点在正半轴，与 x 轴有两个交点，a0，b0，c0，b 2-4ac0，选项正确；当 x=1 时，y=a+b+c0，选项错误；图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0），又 ，2a+b=0，选项正确；12a当 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，选项正确，则正确的序号有故答案为：.【总结升华】此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中 a 由抛物线的开口方向决定，a 与 b 同号对称轴在 y 轴左边；a 与
17、 b 异号对称轴在 y 轴右边，c 的符合由抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与 x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断举一反三：【变式】如图所示是二次函数 图象的一部分，图象经过点 A(-3，0)，对称2yaxbc轴为 给出四个结论： ； ； ； 其中正确结1x24bc00abc5ab论是（ ） A B C D【答案】本例是利用二次函数图象的位置与 a、b、c 的和、差、积的符号问题，其中利用直线 ，1x交抛物线的位置来判断 ， 的符号问题应注意理解和掌握1xc由图象开口向下，可知 a0，图象与 x 轴有两个交点，所
18、以 ， ，240bac 24bac 确对称轴为 ，所以 ，又由 a0，b2a，可得 5ab，正确12bx2b故选 B.类型五、求二次函数的最值第 10 页 共 19 页5某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元)设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为)y 元(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为
19、 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元?【思路点拨】 （1）每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件，当每件商品的售价上涨 x 元时，每个月可卖出（210-10x）件，每件商品的利润为 x+50-40=10+x；（2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x） （10+x） ，当每个月的利润恰为2200 元时得到方程（210-10x） （10+x）=2200求此方程中 x 的值【答案与解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x 2+110x+2100(00 时，抛物线开口向上，一次函数图象
20、过一、三象限，所以排除 A 选项，a再看 B、C 选项，抛物线对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，所以一次函数应与 y 轴交于负半轴，排除 B 选项；当 0， 0,得 b 0,c 0,b2-4 c0.又可看出当 x=1a2、a时，y 0.、所以 0，由此可知 D 答案正确.abc、6.【答案】A；【解析】分段函数 y1=-2x2+48 (0x4)； y2=-8x+48 (4x6),故选 A.二、填空题7 【答案】1；【解析】图象经过原点（0,0） ，把点（0,0）代入 得 ，因2231axa为抛物线开口向下，所以 .a8 【答案】PQ ；【解析】由抛物线的图象可以知道：（1）开口向下， a0；
21、（2）抛物线过原点，c=0 ；（3）对称轴 x= 1，则 b2a，即 b+2a0；（4）当 x=1 时，y =ax 2bxc= ab+ c0；（5）当 x=1 时，y =ax 2bxc= a+b+ c0；（6）因为 a0，b2a，所以，b0，因此，2ab0；则：PQ=（ab+c）+(2a+b)(a+b+c)(2ab)=a+bc+2a+babc+2ab=2a0所以，PQ9 【答案】点(1， n)是双曲线 xny与抛物线 2nxy的一个交点 10 【答案】【解析】如图，四条直线 x=1，x=2，y=1，y=2 围成正方形 ABCD，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得 a0，而且 a 值越大，抛物
22、线开口越小，因此当抛物线分别过 A（1，2） ，C（2，1）时，a 分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a=2，a= ；由此得出 a 的取值范围是 第 17 页 共 19 页11 【答案】 （3， ） 、 （ ， ） 、 （2 ，2） 、 （ ， ） 【解析】由题可得 A 的纵坐标是横坐标的 倍，故设 A 的坐标为（ t，t） ；则 Q 的坐标为（0，2t）或（0， t） ；可求得 P 点对应的坐标，解得 t 的值有 4 个，为 ， ， 2， ；故点 A 的坐标是（3， ） 、 （ ， ） 、 （2 ，2） 、 （ ， ） 12 【答案】3；【解析】函数 的图象如图：2135xy，根据图象知
23、道当 y=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，k=3三、解答题13.【答案与解析】(1)把点 A(2,3)代入 xky得 ：k=6.反比例函数的解析式为： 6.把点 B(m,2)、C(3,n)分别代入 xy得： m=3,n=-2.把 A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入 y=ax2+bx+c 得：A(2,3)yx11o第 13 题图-1-1B(2,3)C(-2,-3)第 18 页 共 19 页2394cba 解之得 321cba抛物线的解析式为：y=- 21x.(2)描点画图SABC = 21(1+6)5- 11- 2164= 1235=5.14.【答案与解析】解：（1）把点
24、 P 代入二次函数解析式得 5= （2） 22b3，解得 b=2.当 1x3 时 y 的取值范围为4y0.（2）m=4 时，y 1、y 2、y 3的值分别为 5、12、21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为 m22m3、m 24、m 22m3，由于， m22m3m 24m 22m3， （m2） 280，当 m 不小于 5 时成立，即 y1y 2y 3成立所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，15.【答案与解析】(1)解：二次函数 1)(axa的对称轴是 x=-2
25、 2)31(a 解得 a=-1经检验 a=-1 是原分式方程的解.所以 a=-1 时，二次函数 12)31(2axay的对称轴是 x=-2；（2）当 a=0 时，原方程变为-x-1=0，方程的解为 x= -1；当 a0 时，原方程为一元二次方程， 0)(2，当 时 ，042acb方程总有实数根， 0)12(31整理得， 2第 19 页 共 19 页0)1(2aa0 时， 0)1(2a总成立所以 a 取任何实数时，方程 012)31(2ax总有实数根.16.【答案与解析】（1）A（3，0）B（1，0） ，对称轴 ；（2） 化简得 OC .09cbaacb3若ACB90，则 ， ， ；OBAC2C3若ACB90，则 ， ；所以 .3a0a（3）由（2）有 ，当 在取值范围内， 取到最小值时， ，xay2y3a，由 AB ， 得： .32xy 41332APBSP当 时， ， ， （ ， ） ， （ ， ） ；3P7172x172713当 时， ， ， （0， ） ， （2， ）.y03x434
