1、12.1 曲 线 与 方 程211&212 曲线与方程 求曲线的方程预习课本 P3436，思考并完成以下问题1曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？2求曲线方程的一般步骤是什么？2新 知 初 探 1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x， y)0 的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求曲线的方程的步骤小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)过点 P(x0， y0)
2、斜率为 k 的直线的方程是 k( )y y0x y0(2)若点 P(x0， y0)在曲线 C 上，则有 f(x0， y0)0( )(3)以 A(0,1)， B(1,0)， C(1,0)为顶点的 ABC 的 BC 边上中线的方程是 x0( )答案：(1) (2) (3)2下列各组方程中表示相同曲线的是( )A x2 y0 与 xy0 B 0 与 x2 y20x yC y x 与 y D x y0 与 ylg 10 xx2x答案：D3动点 P 到点(1，2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程为( )A( x1) 2( y2) 29 B( x1) 2( y2) 29C( x1) 2( y2) 23
3、 D( x1) 2( y2) 23答案：B4若点 P(2，3)在曲线 x2 ky21 上，则实数 k_3答案：13曲线的方程与方程的曲线的概念典例 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程| x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 x y0 之间的关系解 (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程| x|2 的解；但以方程| x|2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上因此，| x|2不是过点 A(2,0
4、)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5；但以方程 xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5因此，与两坐标轴的距离的积等于 5的点的轨迹方程不是 xy5(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 x y0；反之，以方程x y0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 x y0这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则 活学
5、活用命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A方程 f(x， y)0 的曲线是 CB方程 f(x， y)0 的曲线不一定是 CC f(x， y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x， y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析：选 B “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解” ，但“以方程 f(x， y)0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上，故 A、C、D 都不正确，B 正确曲线与方程的判定问题典例 下列方程分别表示什么曲线：(1)(x y1) 0；x 14(2)2x2 y24 x2 y30解 (1)由方程( x
6、y1) 0 可得x 1Error!或Error!即 x y10( x1)或 x1故方程表示一条射线 x y10( x1)和一条直线 x1(2)对方程左边配方得 2(x1) 2( y1) 202( x1) 20，( y1) 20，Error!解得Error!从而方程表示的图形是一个点(1，1)判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想 活学活用已知方程 x2( y1) 210(1)判断点
7、 P(1，2)， Q( ，3)是否在此方程表示的曲线上；2(2)若点 M 在此方程表示的曲线上，求 m 的值(m2， m)解：(1)1 2(21) 210，( )2(31) 2610，2点 P 在方程 x2( y1) 210 表示的曲线上，点 Q 不在方程 x2( y1) 210 表示的曲线上(2)因为 x ， y m 适合方程 x2( y1) 210，m2即 2( m1) 210，解得 m2 或 m 所以 m 的值为 2 或 (m2) 185 185求曲线的方程典例 已知圆 C： x2( y3) 29，过原点作圆 C 的弦 OP，求 OP 的中点 Q 的轨迹方程5解 法一 直接法如图所示，连
8、接 QC，因为 Q 是 OP 的中点，所以 OQC90设 Q(x， y)，由题意，得|OQ|2| QC|2| OC|2，即 x2 y2 x2( y3) 29，所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2 2 (去掉原点)(y32) 94法二 定义法如图所示，因为 Q 是 OP 的中点，所以 OQC90，则 Q 在以 OC 为直径的圆上故 Q 点的轨迹方程为 x2 2 (去掉原点)(y32) 94法三 代入法设 P(x1， y1)， Q(x， y)，由题意得Error!即Error!又因为 x ( y13) 29，所以 4x24 29，21 (y32)即 x2 2 (去掉原点)(y32) 94直接
9、法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视活学活用过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1， l2，若 l1交 x 轴于 A 点， l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程解：法一：设点 M 的坐标为( x， y) M 为线段 AB 的中点 A 点坐标是(2 x,0)， B 点坐标是(0,2 y) l1， l2均过点 P(2,4)，且 l1 l2， PA PB，当 x1 时， kPAkPB16而 kPA ， kPB ，4 02 2x 21 x 4 2y2 0
10、2 y1 1，21 x 2 y1整理，得 x2 y50( x1)当 x1 时， A， B 点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段 AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x2 y50，综上所述，点 M 的轨迹方程是 x2 y50法二：设 M 的坐标为( x， y)，则 A， B 两点坐标分别是(2 x,0)，(0,2 y)，连接 PM l1 l2，2| PM| AB|而| PM| ，| AB| ， x 2 2 y 4 2 2x 2 2y 22 x 2 2 y 4 2 4x2 4y2化简，得 x2 y50，即为所求轨迹方程层级一 学业水平达标1已知直线 l： x y30 及曲线 C：( x
11、3) 2( y2) 22，则点 M(2,1)( )A在直线 l 上，但不在曲线 C 上B在直线 l 上，也在曲线 C 上C不在直线 l 上，也不在曲线 C 上D不在直线 l 上，但在曲线 C 上解析：选 B 将点 M(2,1)的坐标代入方程知 M l， M C2方程 xy2 x2y2 x 所表示的曲线( )A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D关于 x y0 对称解析：选 C 同时以 x 代替 x，以 y 代替 y，方程不变，所以方程 xy2 x2y2 x 所表示的曲线关于原点对称3方程 x| y1|0 表示的曲线是( )7解析：选 B 方程 x| y1|0 可化为| y1|
12、 x0，则 x0，因此选 B4已知两点 M(2,0)， N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足| MN| P|N P0，则动点 P(x， y)的轨迹方程为( )A y28 x B y28 xC y24 x D y24 x解析：选 B 设点 P 的坐标为( x， y)，则 M(4,0)， P( x2， y)，P( x2， y)，| MN|4，| ， N 4( x2) x 2 2 y2根据已知条件得 4 4(2 x) x 2 2 y2整理得 y28 x点 P 的轨迹方程为 y28 x5已知 A(1,0)， B(2,4)， ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是( )A4 x3 y
13、160 或 4x3 y160B4 x3 y160 或 4x3 y240C4 x3 y160 或 4x3 y240D4 x3 y160 或 4x3 y240解析：选 B 由两点式，得直线 AB 的方程是 ，即 4x3 y40，y 04 0 x 12 1线段 AB 的长度| AB| 5 2 1 2 42设 C 的坐标为( x， y)，则 5 10，12 |4x 3y 4|5即 4x3 y160 或 4x3 y2406方程 x22 y24 x8 y120 表示的图形为_解析：对方程左边配方得( x2) 22( y2) 20( x2) 20,2( y2) 20，8Error!解得Error!从而方程表
14、示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)7已知两点 M(2,0)， N(2,0)，点 P 满足 M N12，则点 P 的轨迹方程为_解析：设 P(x， y)，则(2 x， y)， (2 x， y)于是 (2 x)(2 x) y212，化简得 x2 y216，此即为所求点 P 的轨迹方程答案： x2 y2168已知点 A(0，1)，当点 B 在曲线 y2 x21 上运动时，线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是_解析：设 M(x， y)， B(x0， y0)，则 y02 x 120又 M 为 AB 的中点，所以Error!即Error!将其代入 y02 x 1 得，2 y12(2 x)21
15、，即 y4 x220答案： y4 x29在平面直角坐标系中，已知动点 P(x， y)， PM y 轴，垂足为 M，点 N 与点 P 关于x 轴对称，且 OP N4，求动点 P 的轨迹方程解：由已知得 M(0， y)， N(x， y)，则( x，2 y)，故 ( x， y)(x，2 y) x22 y2，依题意知， x22 y24，因此动点 P 的轨迹方程为 x22 y2410已知圆 C 的方程为 x2 y24，过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m，设 m与 y 轴的交点为 N，若向量 OQ N，求动点 Q 的轨迹解：设点 Q 的坐标为( x， y)，点 M 的坐标为( x0， y
16、0)(y00)，则点 N 的坐标为(0， y0)因为 ，即( x， y)( x0， y0)(0， y0)( x0,2y0)，则 x0 x， y0 y2又点 M 在圆 C 上，所以 x y 4，20 20即 x2 4( y0)y249所以动点 Q 的轨迹方程是 1( y0)x24 y216层级二 应试能力达标1已知点 O(0,0)， A(1，2)，动点 P 满足| PA|3| PO|，则点 P 的轨迹方程是( )A8 x28 y22 x4 y50B8 x28 y22 x4 y50C8 x28 y22 x4 y50D8 x28 y22 x4 y50解析：选 A 设动点 P(x， y)，则由| PA
17、|3| PO|，得3 x 1 2 y 2 2 x2 y2化简，得 8x28 y22 x4 y50故选 A2下列四组方程表示同一条曲线的是( )A y2 x 与 y xB ylg x2与 y2lg xC 1 与 lg(y1)lg( x2)y 1x 2D x2 y21 与| y| 1 x2解析：选 D 根据每一组曲线方程中 x 和 y 的取值范围，不难发现 A、B、C 中各组曲线对应的 x 或 y 的取值范围不一致；而 D 中两曲线的 x 与 y 的取值范围都是1,1，且化简后的解析式相同，所以 D 正确故选 D3方程 y 对应的曲线是( )4 x2解析：选 A 将 y 平方得 x2 y24( y
18、0)，它表示的曲线是圆心在原点，4 x2半径为 2 的圆的下半部分，故选 A4已知 0 2，点 P(cos ，sin )在曲线( x2) 2 y23 上，则 的值为( )A B C 或 D 或 3 53 3 53 3 6解析：选 C 将点 P 的坐标代入曲线( x2) 2 y23 中，得(cos 2)2sin 2 3，解得 cos 又 0 2，所以 或 故选 C12 3 535方程| x1| y1|1 表示的曲线所围成的图形的面积是_解析：方程| x1| y1|1 可写成Error!或Error!或Error!或Error! 其图形如10图所示，它是边长为 的正方形，其面积为 22答案：26给
19、出下列结论：方程 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为2 的直线；yx 2到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y2；方程( x24) 2( y24) 20 表示四个点其中正确结论的序号是_解析：对于，方程 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为2 的直线且除掉点yx 2(2,0)，所以错误；对于，到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y2 或 y2，所以错误；对于，方程( x24) 2( y4) 20 表示点(2,2)，(2，2)，(2，2)，(2,2)四个点，所以正确故填答案：7已知 A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，| BC|4，点 A 到直线 l 的距离为 3，求
20、 ABC 外心的轨迹方程解：建立平面直角坐标系，使 x 轴与 l 重合，点 A 在 y 轴上(如图所示)，则 A(0,3)设 ABC 的外心为 P(x， y)，因为点 P 在线段 BC 的垂直平分线上，所以不妨令 B(x2,0)， C(x2,0)又点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以|PA| PB|，即 ，化简得 x26 y50x2 y 3 2 22 y2于是 ABC 外心的轨迹方程为 x26 y508已知两点 P(2,2)， Q(0,2)以及一条直线 l： y x，设长为 的线段 AB 在直线 l2上移动，求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程解：设 A(m， m)， B(m1， m1)，当 m2 且 m1 时，直线 PA 和 QB 的方程分别为 y (x2)2 和m 2m 2y x2m 1m 1由Error!消去 m，得 x2 y22 x2 y80当 m2 时，直线 PA 和 QB 的方程分别为 x2 和 y3 x2，其交点为(2，4)，满足方程 x2 y22 x2 y80
