1、 高考数学第 20 题：圆锥曲线 考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质（4）了解圆锥曲线的初步应用圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义： 为 端 点 的 线 段以无 轨 迹方 程 为 椭 圆2121,FaPF椭圆的 标准方程 ：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12bay. ii
2、. 中心在原点，焦点在 y轴上：)0(12baxy. 一般方程： )0,(12BAyx.椭圆的标准参数方程： 12byax的参数方程为sincobyax（一象限 应是属于 2）.顶点： ),0(b或 )0,(,ba.轴：对称轴：x 轴， y轴；长轴长 a2，短轴长 b2.焦点： ,)(c或 ,c.焦距： 221,bacF.准线： cx或ay2.离心率： )0(ea.焦点半径：i. 设 ),(0xP为椭圆 12byx上的一点， 21,为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设 ),(0y为椭圆 )0(2ab上的一点， 21,F为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定
3、义可知： )0()(),()( 020201 xaecpxecxepF 归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得 )sin,o(baN方程的轨迹为椭圆. 0201,exaPFexa0201,yy通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： ),(22abcd和 ),(2共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12bayx的离心率是 )2bace，方程 tbyax(2是大于 0 的参数， )0ba的离心率也是 ac 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则 21F的面积为2tanb（用余弦定理与 aP可得）. 若是双
4、曲线，则面积为 cotb.二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义： 的 一 个 端 点 的 一 条 射 线以无 轨 迹方 程 为 双 曲 线2121,FaPF双曲 线标准方程： )0,(1),0,(2baxybayx. 一般方程：)0(12ACyx.i. 焦点在 x 轴上： 顶点： ),(,a 焦点： )0,(,c 准线方程 cax2 渐近线方程： 0byax或02byaxii. 焦点在 轴上：顶点： ),0(,a. 焦点： ),0(c. 准线方程： cy2. 渐近线方程： 0bxay或 2bxay，参数方程： tansebyx或 sectanybx .轴 ,为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长
5、为 2b，焦距 2c. 离心率 a. 准线距ca2（两准线的距离）；通径 b. 参数关系 cebac,2. 焦点半径公式：对于双曲线方程 12byax（ 2,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aexMF021构成满足 aMF21 aex021（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） asin,()Nyx的 轨 迹 是 椭 圆aeyFMaey021021 等轴双曲线：双曲线 22ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 2byax与 2
6、byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02.共渐近线的双曲线系方程： )0(2byax的渐近线方程为 02byax如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 )0(2byax.例如：若双曲线一条渐近线为 xy21且过 )1,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为： )0(4，代入 2,得 182yx.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线
7、平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线 12byax，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距离比为 mn. 简证： ePFd21= n.常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. yMF12 yxMF12 yxF2453三、抛物线方程.3. 设 0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy2
8、pxy2pyx2pyx2图形 O O x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 轴 轴顶点 （0，0）离心率 1e焦点 12xpPF2xpPF12ypPF12ypPF注： cbya2顶点 )4(abc. )0(px则焦点半径 2x; )0(py则焦点半径为 2y.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2（或 py2）的参数方程为 ptyx2（或 2ptyx）（ t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 l的距离之比为常数 e的点的轨迹.当 10e时，轨迹为椭
9、圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线；当 e时，轨迹为圆（ ace，当 ba,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆 双曲线 抛物线1到两定点 F1,F2 的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值2a(01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形标准方程 12byax( 0) 12byax(a0,b0) y2=2px方程参数方程 为
10、离 心 角 ）参 数 (sinco为 离 心 角 ）参 数 (tnsecptx(t 为参数)范围 axa，byb |x| a，y R x0中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0) (0,0)对称轴 x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF焦距 2c （c= ba） 2c （c= ba）离心率 )10(ec)1(ece=1准线x= c2x= c22px渐近线 y= ab
11、x yxO焦半径 exar)(aexr2pxr通径 b2b22p焦参数 cacaP附加常用结论：一、圆锥曲线的统一定义(第二定义)：若平面内一个动点 到一个定点 和一条定直线 的距离之比等于一个常数 ,则MFl )0(e动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点 为焦点，定直线 为准线， 为离心率。e当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线。10e1e11.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程x2y表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（答：22myx）)3,(,(（2）双曲线：由
12、, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x2y（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F ，F 的位置，是椭12圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，,ab确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。a22bcc222、焦点三角形问题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距
13、离分别为 ，焦点 的面积为 ，0(,)Pxy12,F12,r12FPS（1）在椭圆 中， ，且当 即 为短轴端点时， 最大12bax)arcos(21b12为 ； ，当 即 为短轴端点时， 的max2rcos20tn|Sy0|bPmaxS最大值为 bc；（2）对于双曲线 的焦点三角形有： ；21xyab21arcosrb。cotsin122rS3你了解下列结论吗？（1）双曲线 的渐近线方程为 ；12byax02byax（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为1为参数， 0）。若 ，焦点在 x 轴上，若 ，焦点在 y 轴上。(2yx 00（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双
14、曲线方程可设为 ；21mn（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（5）若 OA、OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经2()ypx过定点 (2,0)p(6)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等，即 a=b, 从而离心率 e= .2（7）抛物线 的焦点为 F，过 F 的焦点弦 AB 的倾斜角为 ，则 )0(2pxy .sin|pAB以上述焦点弦 AB 为直径的圆与其准线相切。二、 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.1。直线与圆锥曲线的交点：直线与
15、圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2。直线与圆锥曲线的位置关系：判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)代入圆锥曲线的 r 的方程：F(x,y)=0,消去 y 得到一个关于 x 的一元方程。即 ，消去 y 得0),(,yxFcBA0cbax(1) 当 a 0,则有 0，直线 l 与圆锥曲线相交；当 =0 时，直线与曲线 r 相切； 0 时，直线 r 与曲线 r 相离。(2) 当 a=0，即得到一个一次方程，则直线
16、l 与曲线 r 相交，此时，若 r 是双曲线，则直线l 与双曲线 r 的渐近线平行；r 是抛物线,则直线 r 与抛物线的对称轴位置关系是 :平行或重合。注意：开放型曲线（双曲线和抛物线）的特殊性:相交： 直线与椭圆(圆)相交0直线与双曲线相交0直线与抛物线相交相切： 直线与椭圆(圆)相切 直线与椭圆( 圆) 只有一个公共点；直线与双曲线相切 直线与双曲线只有一个公共点；直线与抛物线相切 直线与抛物线只有一个公共点；3直线与圆锥曲线相交的弦长公式：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。若该弦通过了圆锥曲线的焦点，此时得到的弦也叫焦点弦。当直线的斜率存在时，弦长 2222211111()()()4lxykxkxx当斜率 K 存在且非零时，.122lk1212122 2yyykk（ ）
