1、- 1 -2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=-1,0,1，N=x|x 2=x，则 MN=A.-1，0 ，1 B.0,1 C.1 D.0【答案】 B2.复数 z=i（i+1） （i 为虚数单位）的共轭复数是A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】 A3.命题“若 = ，则 tan=1”的逆否命题是 中% 国教05x057,y，或 ，或 ，或 .(2,3)(,)18(,)18(,)【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位
2、置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆 E 的方,cab程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点 P 坐标的一个12方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点 P 坐标.22.（本小题满分 13 分）已知函数 f(x)=ex-ax，其中 a0.#中国 教育出版&网（1 ）若对一切 xR，f(x) 1 恒成立，求 a 的取值集合；z（2)在函数 f(x)的图像上去定点 A（x 1, f(x1)）,B(x 2, f(x2)(x1x2)，记直线 AB 的斜率为 k，证明：存在
3、x0（x 1,x2）,使 恒成立.0()fk【解析】解： 令 .,xea()0lnfa得当 时 单调递减；当 时 单调递增，故当lnxa()ffx()0,()fxf- 10 -时， 取最小值lnxa()fx(ln)l.fa于是对一切 恒成立，当且仅当,1R. l令 则()n,gtt()ln.gtt当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.010,1t()0,gtt故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 时，式成立.t()t(1)a综上所述， 的取值集合为 .a（）由题意知，2121().xfxfeka令 则21() ,xexf1211 12()(),xxe122 2()().xx令 ，则 .tF
4、e1tFe当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.0t()0,()tt 0t()0,()Ftt故当 ， 即,.te从而 ， 又211()0xe122()10,x 120,xe21,x所以 1),2.因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在(yx12,x使 即 成立.012(,)x00()fk【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 取最小值()fx对一切 xR ，f(x) 1 恒成立转化为 从而得出求 a 的取值集(ln)l.famin()1fx- 11 -合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.
