1、12014 年高一数学必修 4 知识点总结第一章 三角函数正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角x 第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,2、 、2、3、与角 终边相同的角
2、的集合为360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度15、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rl lr6、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 236018057.37、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，为 弧 度 制 rlCSlr2PvxyAOMT ， 2Crl21Slr8、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是,xy，则 ， ， 20rxysinyrcosxrtan09、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线： ，
3、， sistA11、角三角函数的基本关系： ；221sincos1222incos,1sinsin2tacoita,ta 12、函数的诱导公式：， ， 1sisikco2cosktn2tankk， ， 2nna， ， 3sisicsstt， ， 4ocoanan口诀：函数名称不变，符号看象限， ， 5sincs2si26sicos2sin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 1的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原
4、来的 倍sinyx A（横坐标不变） ，得到函数 的图象A数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 1的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数isinyx的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍sinyxi A3（横坐标不变） ，得到函数 的图象sinyxA14、函数 的性质：sin0,yx振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相： A212fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为 ，则siyx1xminy2maxy， ， main12main2y212xx15 周期问题 2T
5、 ,0b , ,0A ,b , , ,0T , ,A , xACosySinxiyACosSi T ,0 ,A ,cotan , , ,t TxAy15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值 当 时，2xk当 时， 2xk既无最大值也无最小值函 数性质4；当 max1y2k时， kmin1y；当max1y2k时， kmin1y周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在 上是2,kk增函数；在 2上是减函数k在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中
6、心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为 的向量0单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： abab运算性质：交换律： ；结合律： ； cc0a坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,bxy12,bxy b a C A aC518、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，
7、方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,bxy12,abxy设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 A1 12A19、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a a ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 000a运算律： ； ； aaab坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0b a设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线1,axy2,bxy 1210xy0b21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向
8、量 ，1e2 a有且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）122ae1e222、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当12121,xy2,时，点 的坐标是 （当12 ,xy时 ， 就 为 中 点 公 式 。 ）23、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时， ；当 与 反向abababab时， ； 或 2 运算律： ； ； abcc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,axy2,bxy12abxy若 ，则 ，或 设 ， ，则,xy22 1,ax
9、2,bxy120ab6设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则ab1,axy2,bxyab122cosx测试题一、选择题1若三点 (2,3),(4,)ABaCb共线，则有（ ）A 5ab B 10 C 23ab D 20ab2设 0，已知两个向量 sin,coOP，cos2,sinOP，则向量 21长度的最大值是（ ）A. B. 3 C. D. 33下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等 B若 a与 b是共线向量， b与 c是共线向量，则 a与 c是共线向量（ ） C |，则 0a D若 0与 是单位向量，则 14已知 ,均为单位向量，它们的夹角为 06，那么 3b（ ）A 7 B
10、1 C 3 D 45已知向量 a， b满足 ,且 2ab,则与 的夹角为A 6 B 4 C 3 D6若平面向量 b与向量 )1,2(a平行，且 52|b，则 b( )A )2,( B C ),6( D ,4或 2,二、填空题1若 ，且 ，则向量 与 的夹角为 |,|,abcacab2已知向量 ， ， ，若用 和 表示 ，则 =_。(12)(,3)(4,1)ac3若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为 aba06(5)b()m4若菱形 的边长为 ，则 _。ABCD2ABCD75若 = ， = ，则 在 上的投影为_。a)3,2(b)7,4(ab6已知向量 cosin，向量 (3,1)，则
11、2ab的最大值是 7若 (1,2),3(2,5)ABC，试判断则ABC 的形状_8若 ,a，则与 a垂直的单位向量的坐标为_。9若向量 |,|,b则 |ab 。10平面向量 ,中，已知 (43)， 1，且 5A，则向量 b_。第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ； ；coscsosincoscossin ； ；inicinic （ ） ；tata1nttata1tan （ ） ttnattntnt25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： si2icos 222 )cos(incosicossii1 222concn升幂公式2si,s降幂公式 ， 2o1cs2coi 2ta
12、nt126、（后两个不用判断符号，更加好用）27、合一变形 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 半 角 公 式 sinco1csico12tan2;cos: 2tan1 cos;2tan1 si: 2万 能 公 式 8形式。 ，其中 BxAy)sin(2sincossinAAtanA28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟
13、通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 24224 ；问： ； ；30563051ooo 1sin12cos ； ； ；等等)( )4(24 )4()()()(2 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sicttancossin22 （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用
14、降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；cs1（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如： ； ；_tan_tan1； ； ；tt t； ；an2 2an1；ooo 40t2tan340tt= ；csi= ；（其中 oinba tan；）； ；cs1 cos1（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与9特殊角的三角函数互化。如： ；)10tan3(50sinoo。 cta易错点提示：
15、1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？2. 在三角中，你知道 1 等于什么吗？（ 这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？( )5常见三角不等式：（1）若 ，则 .(0,)2xsintax(2) 若 ，则 . (3) .(0,)2x1sico|sin|cos|1x测试题一、选择题1下列转化结果错误的是 （ ）A 化成弧度是 rad B. 化
16、成度是-600 度036783310C 化成弧度是 rad D. 化成度是 15 度56722已知 是第二象限角，那么 是 （ ）2A第一象限角 B. 第二象限角C. 第二或第四象限角 D第一或第三象限角3已知 ，则 化简的结果为 （ ）0tan,si2sin1A B. C D. 以上都不对cocoscos4函数 的图象的一条对称轴方程是 （ ）)2s(xyA B. C. D. x48xx105已知 ， ,则 tan2x= ( )0,2(x53sinxA B. C. D. 47477247246已知 ，则 的值为 （ ）31)tan(,21)tan()tan(A B. 1 C. D. 2227
17、函数 的最小正周期为 （ ）xxfsinco)(A1 B. C. D. 228函数 的单调递增区间是 （ ）)3s(yA B. )(,42Zkk )(324,ZkkC D. )(38, )(8,9函数 ， 的最大值为 （ ）xycosin2,A1 B. 2 C. D. 32310若 均为锐角，且 ，则 的大小关系为 （ ）、 )sin(i与A B. C. D. 不确定二、填空题11、函数 的最大值是 3，则它的最小值_sin1yax12、若 ，则 、 的关系是_bb13、若函数 f()是偶函数，且当 0 时，有 f()=cos3+sin2，则当 0 时，f()的表达式为 .14把函数 先向右平移 个单位，然后向下平移 2 个单位后所得的函数解析式为)32sin(xy2_15已知 ，则 =_)4ta(2cossin111
