1、第三章 代数学的进步,3.1 解方程的故事,墓中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生历程。上帝赐予他的童年占六分之一，又过了十二分之一他的两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛。五年之后喜得贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及2其父亲之半便入黄泉。悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他走完了人生的旅途。,上面这段话是希腊数学家丢番图的碑文。根据我们以前学过的代数知识，设丢番图的年龄为x，列出方程,从而推算出这位数学家活了84岁。,代数学历史悠久，根据现存的一块汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板，得知古巴比伦人已经知道某些二次方程的解法。而古希腊时期流传至今的与代数有关
2、的著作只有丢番图的算术。该书解决了某些一次、二次方程和不定方程问题。出现了缩写符号和应用负数的例子。其问题构思巧妙，解题方法多样，但最大的缺点是没有解方程的一般方法。,它所保罗的189个问题中所出现的特殊数字是有特殊作用的。每一个问题要用只适用于它自身特殊数字的特殊而往往又很奇特的办法来求得其答案。有人打趣的说：研究丢番图的100道题之后，还步不知道怎样去解第101题。,直到中世纪的阿拉伯数学家才系统研究了二次方程的解法，建立了解方程的变形法则。还特别创造了三次方程的几何解法。期中花拉子米是中世纪时期对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家。他的名著代数学第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证
3、明。,很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题。（在初一和初二就会学习到有关内容）然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。,1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论。他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事。,故事中第一个出场的人物是一位大学教授，名字叫费罗(Scipione del Ferro, 14651526)。他在帕西奥利作出悲观结论不久，大
4、约在1500年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项三次方程的求解公式。在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。,但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功。相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因。那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器。,最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生。他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色
5、在我们的故事中作为第二个人物露面了。,菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世。只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 14991557)出现在他的面前。,塔塔利亚,这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。1512年，在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。于是就得了“塔塔利亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思。那时他还只有13岁。然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高的成
6、就。,1534年他宣称自己已得到了形如x3+mx2=n这类没有一次项的三次方程的解的方法。不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是我们故事中的两位人物开始碰面了。 二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜。,塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来。这样他以30:0的战绩大获全胜。这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了。,塔塔
7、利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题。或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表。于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完全不同的方向。,这位半路杀出来的“程咬金”叫卡尔达诺(Girolamo Cardano, 15011576)，一位或许是数学史中最奇特的人物。他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医生。但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋。除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占
8、星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果。,他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳。在他去世后一百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双。”在我们故事中卡尔达诺所要扮演的正是一个将才能与不佳的人品集于一身的不太光彩角色。,卡尔达诺,在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，卡尔达诺听说了这一故事。在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方程大师的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了。但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于153
9、9年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密。故事的转折就这样开始了。,卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版大术一书，将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起。当然，如果说句公道话的话，卡尔达诺的大术一书并非完全抄袭之作，其中也包含着他自己独特的创造。然而，这种失信毕竟大大激怒了塔塔利亚。,1546年他在各式各样的问题与发明一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了。一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去。1548年8月10日在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马。,这个学生的名字叫费拉里(Ludov
10、ico Ferrari, 15221565)，是我们故事中出场的最后一个人物。费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆。主人发现了他的出众才能，接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学。其最大的贡献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了。在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指摘对方不能解四次方程。,于是一场数学论争逐渐演变成一场无聊的谩骂。最后客场作战的塔塔利亚以失败而告终，后者宣称了自己胜利。由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡尔达诺公式”，塔塔利亚之名反而湮没无闻
11、了。这对塔塔利亚来说似乎是太不公平了。不过，这又怎么样呢？在历史上，这类争夺优先权的论战又何止这一桩呢？随着时间的推移，多少年过去后，在当时对于个人如此重要的事，对后人而言却不过是“古今多少事，都付笑谈中”而已。,塔塔利亚发现的一元三次方程的解法,一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0，如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q的三次方程。,假设方程的解x可以写成x=ab的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有 a33a2b+3ab2b3=p(ab)+q整理得到 a3b3=(ab)(p+3ab)+q 由二次
12、方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=ab的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为a3b3=q.,两边各乘以27a3，就得到 27a627a3b3=27qa3由p=3ab可知 27a6+p3=27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。,解得,卡尔达诺以方程x36x20为例说明这一方法，他得到的解是x=,管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25(15)40于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了他
13、还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的,在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进1591年发表的分析术引论(Inartemanalyticemisagoge)中，他给出三次方程的另一种解法。,韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在论方程的识别与修正中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理二次方程的韦达定理是我们经常使用的，,3.2青年数学家阿贝尔和伽罗瓦,尼尔斯亨利克阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧师，母亲安妮是一个非常美
14、丽的女人，她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。小时候由他父亲和哥哥教导识字，小学教育基本上是由父亲来教，因为他们没有钱请不起家庭教师。,阿贝尔,十三岁时，阿贝尔和哥哥被送到克里斯蒂安尼亚(即后来的奥斯陆)市的天主教学校靠一点奖学金读书。在最初的两年，他们兄弟的成绩还不错，可是后来教师枯燥的教学方式，高压的手法，使得他们兄弟的成绩下降了。,1817年是阿贝尔一生的转折点。当时给他教数学的老师是一个好酒如命又脾气粗暴的家伙，后因体罚而致死一名学生被解职，并由一位比阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄代替。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一个称职但决不是很有才气的数学家。他在科学上的贡献，就是发掘了阿贝尔
15、的数学才能，而且成为他的忠诚朋友，给他许多帮助。阿贝尔死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。,霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊人的数学天赋，私下开始给他教授高等数学，还介绍他阅读泊松、高斯以及拉格朗日的著作。在他的热心指点下，阿贝尔很快掌握了经典著作中最难懂的部分。在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题，不久便认为得到了答案。霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。,达根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方，但他知道这个许多大数学家都解决不出的问题不会这么简单的解决出来，于是给了阿贝尔一些可贵的忠告，希望他再仔细演算自己的推导过程。就在同时
16、，阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次方程不可解，而那已经是他十九岁时的事情了。,1822年6月，阿贝尔靠着霍姆伯厄和其他教授们的帮助，在克里斯蒂安尼亚大学念完了必须的课程，那时大学和城里人人都知道他是一个了不起的数学天才。可他的父亲已于两年前去世，家里一贫如洗，没钱继续从事数学研究。他的老师和朋友们也很穷，无法再拿出更多的钱资助他去当时世界数学的中心巴黎深造。,1823年夏，教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根，希望他能在外面见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程
17、解的问题，总算正确解决了这个几百年来的难题：即五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。,阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括德国被称为数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题-连他还没法子解决的问题，于是连拿起刀来裁开书页来看内容也懒得做，就把它扔在书堆里了。,阿贝尔在数学和天文学界的朋友们，说服大学去请求挪威政府资助这个年轻人，作一次以数学为主要
18、目的的欧洲之行。经过过分的慎重考虑之后，政府妥协了，但不是立刻派阿贝尔去法国和德国，而是给他一笔奖金，让他在克里斯蒂安尼亚复习法语和德语。在延误了一年半后，在1825年8月，皇家从窘迫的财政中拨出一笔钱当时二十三岁的阿贝尔，让他足够在法国和德国旅行和学习一年。,阿贝尔在德国并没有去找在哥廷根的高斯，可能他觉得这个大数学家难以接近，也难以帮助他，因为他以前的作品寄给他却得不到回音。1826年7月，阿贝尔离开德国到了法国，当时的法国皇家科学院正被柯西、泊松、傅里叶、安培和勒让德等年迈的大数学家们把持，学术气氛非常保守，各自又忙于自己的研究课题，对年青人的工作并不重视。,阿贝尔留在巴黎期间觉得很难和
19、法国数学家谈论他研究的成果。他曾寄过一份长篇论文给法国科学研究院，论文交到了勒让德手上，勒让德看不大懂，就转给柯西。多产的柯西正忙着自己的工作，无暇理睬，把论文随便翻翻丢在一个角落里去了。,阿贝尔的那篇论文关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文是数学史上重要的工作，他长久的等待着消息，可是一点音讯也没有，最后只好失望回到柏林。在那里他病倒了，他不知道自己已患上了肺结核病，以为是法国的孤寂生活使他身体衰弱。他只剩下大约七元钱。他写了一封急信，延误了一些时间,从霍姆伯厄那里借来了一笔钱。阿贝尔从1827年3月到5月，靠霍姆伯厄的大约六十元借款生活和从事研究。最后，当他所有的来源都枯竭时，只好掉
20、头回国。,1827年5月底，阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚。那时他不仅身无分文，还欠了朋友一些钱。他的弟弟无所事事，用他的名字借了一些钱，他必须还清。于是，阿贝尔靠给一些小学生和中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿钱。没多久，阿贝尔很幸运地被推荐到军事学院教授力学和理论天文学，薪水虽不是很多，却已经可以让他安心继续从事椭圆函数的工作了。,这时，阿贝尔的身体越来越衰弱。在1828年夏天他一直生病发烧咳嗽，人也变的消沉，感到前途真是暗淡无光，而且无法摆脱靠他养活的家人的负担。他们直到最后一直缠着他，实际上弄得他自己一无所有，可是直到最后他也从没有说过一句不耐烦的话。挪威1828年的冬天很冷，阿贝尔穿上
21、了所有的衣服，可是身体还是觉得冷。他咳嗽、发抖，觉得胸部不适，但是在朋友面前他装作若无其事，而且常开玩笑，以掩饰他身体的不舒服。,1829年4月6日，阿贝尔去世，身边只有未婚妻克里斯汀。阿贝尔死后两天，阿贝尔将被任命为柏林大学的数学教授。这么详细地叙述阿贝尔的生平，很重要的一个原因是阿贝尔生活的平淡无奇，而他在纯数学上贡献又只存在于极少的专业人士的心中。,阿贝尔死后两天，阿贝尔被任命为柏林大学的数学教授。第二年6月法国科学院颁给著名的Grand Prix奖给阿贝尔。1830年柯西在旧书堆终于找出积满灰尘的阿贝尔的手稿，1841年这篇史诗般的手稿又一次丢失，直到1952年才在佛罗伦萨被重新发现。
22、,法国数学家厄米特(Hermit。任何学习过量子力学的人对这几个字母都不会陌生)在谈到阿贝尔时说：“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌五百年。”,阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他还研究了更广的一类代数方程,后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他,后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。,阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如 的积分(现称阿贝尔积分)，其中R(x, y)是x 和y 的
23、有理函数, 且存在二元多项式f, 使 f(x,y)=0。他还证明了关于上述积分之和的定理, 现称阿贝尔定理,它断言: 若干个这种积分之和可以用g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来,其中g只依赖于f, 就是f的亏格。,天才少年伽罗瓦,1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗瓦。,伽罗瓦,1811年10月25日，伽罗瓦出生于法国巴
24、黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特伽罗瓦生于此，卒年20岁，18111832年”。纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。,伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。其父尼古拉加布里埃尔伽罗瓦参与政界活动属自由党人，是拿破仑的积极支持者。主持过供少年就学的学校，任该校校长。又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴。伽罗瓦曾向同监的难友勒斯拜法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的
25、一切”。,可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。 伽罗瓦的母亲玛利亚阿代累达伽罗瓦曾积极参与儿子的启蒙教育。作为古代文化的热烈爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。1848年发表在皮托雷斯克画报上有关伽罗瓦的传记中，特别谈到“伽罗瓦的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课”。这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。,1823年l0月伽罗瓦年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易勒格兰皇家中学。从他的老师们保存的有关他在中学生活的回忆录和笔记中，记载着伽罗瓦是位具有“杰出的才干
26、”，“举止不凡”，但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”性格的人。我们认为这种性格说明他有个性，而且早已显露出强烈的求知欲的标志。,伽罗瓦在路易勒格兰皇家中学领奖学金，完全靠公费生活。在第四、第三和第二年级时他都是优等生，在希腊语作文总比赛中也获得好评，并且在1826年l0月转到修辞班学习。 但是第二学季一开始(伽罗瓦这时刚满15岁)，由于教师们认为他的体格不够强壮，校长认为他的判断力还有待“成熟”，他不得不回到二年级。,重修二年级，使伽罗瓦有机会毫无阻碍地被批准去上初级数学的补充课程。自此他把大部分时间和主要精力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。 伽罗瓦经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学
27、大师，如勒让德的几何原理和拉格朗日的代数方程的解法、解析函数论、微积分学教程进行了认真分析和研究，但他并未失去对其他科目的兴趣。,因此，当1827年伽罗瓦回到修辞班时，他的全面发展甚至比他的数学的天分在同学之中更加出人头地了。但是他对其它科目的教科书的内容以及教师所采用的教学法之潦草马虎感到愤怒。所以有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍，有的教师用七个字“平静会使他激怒”来形容他的行为。,这时伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。到了学年末，他不再去听任何专业课了，而在独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。结果尽管考
28、试失败，但1828年10月，他仍然从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。 路易勒格兰中学的数学专业班教师里夏尔，在科学史上，他作为一个很有才华的教师使人追念。里夏尔不仅讲课风格优雅，而且善于发掘天才。,他遗留下的笔记中记载着：“伽罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作”，“他大大地超过了全体同学”。 里夏尔帮助伽罗瓦于1828年在法国第一个专业数学杂志纯粹与应用数学年报三月号上，发表了他的第一篇论文周期连分数一个定理的证明，并说服伽罗瓦向科学院递送备忘录。1829年，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院。,1829年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满18岁，他在报考巴黎综
29、合技术学校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷德富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他。伽罗瓦在提及这次考试时，曾写道，他不得不听“主考人的狂笑声”。据说“由于被狂笑声所激怒”，他把黑板擦布扔到主考人头上，或是因为他拒绝回答有关关于对数这样的过于简单的问题，所以再次遭到落选，伽罗瓦仍然是一个非正式的预备生。,1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗瓦很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗瓦听从里夏尔的劝告决定进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。1829年10月25日伽罗瓦被作为预备生
30、录取入学。,进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，1828年他的科学研究获得了初步成果。伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折：伽罗瓦的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不久就去世了。因而文章也被遗失了。这些著作的某些抄本落到数学杂志费律萨克男爵通报的杂志社手里，并在1830年的4月号和6月号上把它刊载了出来。,在师范大学学习的第一年，伽罗瓦结认了奥古斯特舍瓦利叶，舍瓦利叶直到伽罗瓦临终前一直是他的唯一亲近的朋友。1830年7月，伽罗瓦将满19岁。他在师范大学的第一年功课行将结束。他这时写成的数学著作，已经使人
31、有可能对他思想的独创性和敏锐性作出评价。,1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。,伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。,这个理论的大意是：每个方
32、程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗瓦群。伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时，这方程是根式可解的。,1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗瓦的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗瓦的工作报告但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，
33、讨论已指明的议题。”,然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗瓦的著作，这是一个非常微妙的“事故”。,1830年2月，伽罗瓦将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿。就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了。,1831年1月，伽罗瓦在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗瓦关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然
34、是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗瓦所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。,对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗瓦。虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚持他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索。,伽罗瓦诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易腓力浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团共和派的秘密组织“人民之友”的成员，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。,伽罗瓦敢于对政治上的动摇分子和两面派进行顽强的斗争，年轻热情的伽罗瓦对师范大学教育组织极为不满。
35、由于他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民教育委员会顾问库申起草报告，皇家国民教育委员会1831年1月8日批准立即将伽罗瓦开除出师范大学。,之后，他进一步积极参加政治活动。1831年5月l0日，伽罗瓦以“企图暗杀国王”的罪名被捕。在6月155日陪审法庭上，由于共和党人的律师窦本的努力，伽罗瓦被宣告无罪当场获释。七月，被反动王朝视为危险分子的伽罗瓦在国庆节示威时再次被抓，被关在圣佩拉吉监狱，在这里庆祝过他的20岁生日，渡过了他生命的最后一年的大部分时间。,在监狱中伽罗瓦一方面与官方进行不妥协的斗争，另一面他还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差，生活艰
36、苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。 伽罗瓦在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：“把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。”,请注意到“把数学运算归类”这句话，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，这句话系指点目前所称的群论。由于其后好几代数学家的工作，最终才实现了伽罗瓦的理想。正是他的著作，标志着旧数学史的结束和新数学史的开始。,l832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，
37、仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。,他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。,伽罗瓦对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有有关的混乱是有益的。”,第二天上午，在决斗场上，伽罗瓦被打穿了肠子。死之前，他对在他身
38、边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。,历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。,群论跨越时代的创造,伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在百科评论中。他的论文手稿过了十四年后，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最
39、后将这些论文编辑发表在他的极有影响的纯粹与应用数学杂志上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗瓦的思想，写了论置换与代数方程一书，在这本书里伽罗瓦的思想得到了进一步的阐述。,伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。,伽罗瓦非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的
40、问题。这是伽罗瓦工作中的第一个“突破”，他犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的慧星，开创了置换群论的研究，确立了代数方程的可解性理论，即后来称为的“伽罗瓦理论”，从而彻底解决了一般方程的根式解难题。,作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。 对伽罗瓦来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界。也正因如此，他才受到了冷遇。,在这里，我们后人感受到的是一种孤独与悲哀，一种来自智慧的孤独与
41、悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉。今天由伽罗瓦开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。,历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是 出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家 在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有5年。,在分送伽罗瓦的论文之前，他的兄弟和奥古斯特。谢瓦利埃将它们重 写了一遍，目的是把那些解释整理清楚。伽罗瓦阐述他的思想时总是 急于求成，不够充分，这种习性无疑地由于他只有一个晚上的时间来 概要叙述他多年的研究而更为严重。虽然他们很尽职地将论文抄本送 交卡尔。高斯，卡尔，雅可比和其他一些人
42、，但此后10多年，直到约瑟夫.刘维尔在1846年得到一份之前，伽罗瓦的工作一直未得到承认。,刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图 解释它的意义。最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的纯粹与应用数学杂志上。其他的数学家对此作出了迅速和巨大的反响，因为事实上伽罗瓦已经对如何去寻找五次议程的解作了完整透彻的叙述这是十九世纪数学中由一位它的最悲惨遭的英雄创造的一件杰作。,在对论文的介绍中，刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽
43、力避免这样做。事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，,就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上，而我们可以理解这些杰出的数学家想必认为，通过他们审慎的忠告所表现的苛刻，设法使这个充满才华但尚无经验的初出茅庐者转回到正确的轨道上来是合适的。他们苛评的这位作者，在他们看来是勤奋和富有进取心的，他可以从他们的忠告中获益。,但是现在一切都改变了，伽罗瓦再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后，我看出伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦。,
