1、1A BC DE F第 5 章 相交线与平行线一、典型例题例 1如图(1)，直线 a 与 b 平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3 的度数。图(1)例 2已知：如图(2)， AB EFCD，EG 平分BEF，B+BED+ D =192，图(2)例 3如图（3） ，已知 ABCD，且B=40，D=70，求DEB 的度数。图（3）例 4平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？A BC DE FG32l ab42例 56 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？例 610 条直线两两相交，最多将平面分成多
2、少块不同的区域？例 7两条直线相交于一点，所形成的的角中有 2 对对顶角，4 对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n 条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？二、巩固练习1平面上有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 2 点作一条直线，一共可以作直线（ ）条A6 B 7 C8 D92平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）A3 B1 或 3 C1 或 2 或 3 D不一定是 1，2，33平面上 6 条直线两两相交，其中仅有 3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）A36 条 B33 条
3、C24 条 D21 条4已知平面中有 个点 三个点在一条直线上， 四个点也在一条直线上，除些之外，nBA, EFA,再没有三点共线或四点共线，以这 个点作一条直线，那么一共可以画出 38 条不同的直线，这时 等于n n（ ）321ABCDEFABCD E（A）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ）A4 对 B8 对 C 12 对 D16 对6如图，已知 FDBE，则 1+2-3=( )A90 B135 C150 D180A BC DEFGH 第 5 题 3 12ABC DEF G第 6 题 第 7 题 7
4、如图，已知 ABCD，1=2，则E 与F 的大小关系 ；8平面上有 5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的 5 点之外这些直线最多还有 交点9平面上 3 条直线最多可分平面为 个部分。10如图，已知 ABCDEF，PSGH 于 P，FRG=110 ，则PSQ 。11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段 AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。12平面内有 4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13已知：如图，DECB ，求证：AED=A+B14已知：如图，ABCD，求证：B+D+F=E+G第 13 题 第 14 题15如图，已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平
5、分CDA，EDC+ECD =90 ，求证：DAAB16一直线上 5 点与直线外 3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？A BC DE FG lA BC DE FGHPQRS第 10题AB CDE第 15 题4例题答案1、解： ab， 34（两直线平行，内错角相等） 1+32+ 4180(平角的定义) 12 (等式性质)则 3x+705x+22 解得 x=24 即1142 3180-138 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组） ，是几何计算常用的方法。B-D=24 ，求GEF 的度数。2、解：ABEFCD B=BEF ，DEF=D （两直线平行，内错角相等）B+BED+D =
6、192（已知）即B+BEF+ DEF+ D=192 2（B+D ）=192 （等量代换）则B+D=96（等式性质）B-D=24 （已知） B=60（等式性质） 即BEF=60（等量代换） EG 平分BEF（已知）GEF= BEF=30 （角平分线定义）213、解：过 E 作 EFAB ABCD （已知） EFCD （平行公理） BEF=B=40 DEF=D=70 （两直线平行，内错角相等） DEB=DEF -BEF DEB =D-B=30 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角” ，则应添出辅助线。 4、解：2 条直线产生 1 个交点，第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加
7、 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个交点；则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)= n(n-1)1评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。5、解：6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条直线，即能确定的直线为 15-2=13 条。另法：3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点与直线上的 3 点最多有 33=9 条直线，
8、加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条5评注：一般地，平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)= n(n-1)216、解：2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成 3 段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加 3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域；同理：4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域； 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成 2+2+3+4+n=1+ n(n
9、+1)= (n2+n+2)块不同的区域21思考：平面内 n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？7、答案1 5 个点中任取 2 点，可以作 4+3+2+110 条直线，在一直线上的 3 个点中任取 2 点，可作 2+13条，共可作 10-3+18（条）故选 C2平面上 3 条直线可能平行或重合。故选 D3对于 3 条共点的直线，每条直线上有 4 个交点，截得 3 条不重叠的线段，3 条直线共有 9 条不重叠的线段对于 3 条不共点的直线，每条直线上有 5 个交点，截得 4 条不重叠的线段，3 条直线共有 12 条不重叠的线段。故共有 21 条不重叠的线段。故选 D4由 个点中每次选取
10、两个点连直线，可以画出 条直线，若 三点不在一条直线上，可n 2)1(nCBA,以画出 3 条直线，若 四点不在一条直线上，可以画出 6 条直线，FEA, 整理得 .38262)1(2n.0)9(1,09n n+90 选 B。,0n5直线 EF、GH 分别“截”平行直线 AB、CD，各得 2 对同旁内角，共 4 对；直线 AB、CD 分别“截”相交直线 EF、GH，各得 6 对同旁内角，共 12 对。因此图中共有同旁内角 4+616 对6FDBE2=AGFAGC=1-31+2-3= AGC+AGF=180 选 B7解：ABCD （已知）BAD=CDA（两直线平行，内错角相等）直线的条数 3 4
11、 5 . n对顶角的对数 6 12 20 . n(n-1)邻补角的对数 12 24 40 . 2n(n-1)21ABCDEFA BC DEFGH 第 5 题3 12ABC DEF G第 6 题61=2 （已知）BAD+1=CDA+ 2（等式性质）即EAD=FDA AEFD EF8解：每两点可确定一条直线，这 5 点最多可组成 10 条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为 9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面上这 5 个点与其余 4 个点均有 4 条连线，这四条直线共有 3+2+16 个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉 56=30 个交点，所以有交点的个数应为
12、 45-3015 个9可分 7 个部分10解 ABCDEFAPQ DQG=FRG=110同理PSQ=APSPSQ=APQ-SPQ= DQG-SPQ=110-90=2011 0 个、1 个或无数个1）若线段 AB 的垂直平分线就是 L，则公共点的个数应是无数个；2）若 ABL，但 L 不是 AB 的垂直平分线，则此时 AB 的垂直平分线与 L 是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为 0 个；3）若 AB 与 L 不垂直，那么 AB 的垂直平分线与直线 L 一定相交，所以此时公共点的个数为 1 个124 条直线两两相交最多有 1+2+36 个交点13证明：过 E 作 EFBA2=A（两直
13、线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B （两个角的两边分别平行，这两个角相等）1+2= B+ A（等式性质）即AED=A+B14证明：分别过点 E、F、G 作 AB 的平行线 EH、PF、GQ，则 ABEHPFGQ（平行公理） ABEH ABEBEH（两直线平行，内错角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDC ABE+EFP+PFG+GDC BEH+ HEF+FGQ+ QGD （等式性质）即 B+D+EFG=BEF+ GFD15证明：DE 平分CDA CE 平分BCD EDC=ADE ECD =BCE (角平分线定义)CDA +BCD=EDC+ADE+ECD+ BCE=2（EDC+ECD）180 DACB又 CBAB DAAB16 直线上每一点与直线外 3 点最多确定 35=15 条直线；直线外 3 点 间最多能确定 3 条直线， 最多能确定 15+3+1=19 条直线 ABCD EFA BE FGDCHQPlA BC DE FGHPQRS第 10题AB CDE第 15 题
