1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2015 年浙江，理 1】已知集合 ， ，则 （ ）20Px12Qx()RPQ（A） （B ） （C ） （D ）0,)(0,(,)1,2【答案】C【解析】 ， ， ，故选 C,2,PR()R【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键（2） 【2015 年浙江，理 2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）（A） （B ） （C）
2、（D）38cm31cm32cm340cm【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为 2，正四棱锥底面边长 2，高为 2，所以该几何体的体积 ，故选 C3213V【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力（3） 【2015 年浙江，理 3】已知 是等差数列，公差 不为零，前 项和是 ，若 成等比数列，nadnnS348,a则（ ）（A）（B ）（C） （D）10,nadS10,ndS10,ad10,ndS【答案】B【解析】因为 成等比数列，所以 ，化简得 ，245, 2134ad215a，故选 B21164【点评】本题考查了等差数
3、列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 项和，是基础题n（4） 【2015 年浙江，理 4】命题“ 且 的否定形式是（ ）*,()nNf()fn（A） 且 （B ） 或*,()nNf()f*,()Nf()fn（C） 且 （D ） 或000 000【答案】D【解析】全称命题 ， 的否定是 ， ，所以命题的否定为： ，:pxMpx0:pxMpx *0N或 ，故选 D*0fn0fn【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础（5） 【2015 年浙江，理 5】如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的24yxF点 ，其中点 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是（ ）,
4、ABC,ABCnaAC（A）（B ）（C）（D）1F21F1B21BF【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线 的方程为 ，又由抛物线定义知 ， ，DExAE， ， ，故选1BMF1ANAF1BCFAMSNFA【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键（6） 【2015 年浙江，理 6】设 是有限集，定义 ，其中 表示有限,B(,)()()dcarcardB()cardA2集 A 中的元素个数（ ）命题：对任意有限集 ， “ ”是“ ”的充分必要条件；,AB(,)0dAB命题：对任意有限集 ， C(,),C（A）命题和命题都成立 （B）命题和命题都不成立（C
5、）命题成立，命题不成立 （D）命题不成立，命题成立【答案】A【解析】由题意， ，命题：, 20dABcardrcardA， ，命题成立,rA,0BdA命题：由维恩图易知命题成立，下面给出严格证明： ,CdBC 222caCcrcrrcarcarrcardBCrdAadBadCad，因为AAB且 ，故命题成立，故选 A0c0crcrcrB【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题（7） 【2015 年浙江，理 7】存在函数 满足，对任
6、意 都有（ ）()fxxR（A） （B） （C） （D）(sin2)ifx2sin2(1)fx2()1fx【答案】D【解析】选项 A：当 时， ；当 时， ；41f54xf选项 B：当 时， ；当 时， ；x2625164选项 C：当 时， ；当 时， ；或 为偶函数，然而 并不是0f1x2ffx1yx偶函数；选项 D： ，令 得 ， ，再令 ，则22fxfx1tx2ftt02tm， ，故函数 可以满足要求，故选 D1tm1f【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难（8） 【2015 年浙江，理 8】如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 折成 ，AB
7、CDCAC所成二面角 的平面角为 ，则（ ）ACB（A） （B） （C ） （D）DABB【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若 ，则当 时， ，排除 D，当 时，AB0， ，排除 A，C，故选 B00解法二：当 时， ；ACBD当 时，如图，点 投影在 上， ，连接 ，易得EAOE， ，即 OOD综上所述， ，故选 B【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 3（9） 【2015 年浙江，理 9】双曲线 的焦距是 ，渐近线方程是 21xy【答
8、案】 ；232y【解析】 ， ，焦距 ， 焦距为 ，渐近线 a1b23cab232byxa【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础（10） 【2015 年浙江，理 10】已知函数 ，则 ， 的最小值是 21,()lg)xf()f()fx【答案】0； 23【解析】 ；当 时， （当 时取()log1030fff1x23fx2x最小值）当 时取最小值，当 时， ， ， 的最2x1x2loglog10f0f小值为 3【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题（11） 【2015 年浙江，理 11】函数 的最小正周期是 ，单调递减区间是 2()sinicsf x
9、【答案】 ；37,8kkZ【解析】 ，所以最小正周期 ；21cos223sinicosin1sin42xfxx xT单调递减区间： ，化简得 ，324kk 788kk单调递减区间： 37,8Z【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题（12） 【2015 年浙江，理 12】若 ，则 2logaa【答案】 43【解析】由 可知 ，即 ，所以 2loga43a3a 1432a【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题（13） 【2015 年浙江，理 13】如图，三棱锥 中，ABCD， ，点 分别是 的中点，则异面直线ABCD,MN,ABC所成的角的余弦值是 _,NM
10、【答案】 78【解析】取 的中点 ，因为 ，则 为异面直线 ， 所成的角E/AEM， ， ，又 ，2A22C， 3CN837cos2【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力（14） 【2015 年浙江，理 14】若实数 满足 ，则 的最小值是 ,xy21y63xyxy【答案】 34【解析】 ， ，即 ，21xy630xy63xyxy如图，直线 将直线 分成了两部分：221在阴影区域内的 满足 ，即 ，, 022此时 ，2 4xyxyxy利用线性规划可知在 处取得最小值 3；34,5A在阴影区域外的 满足 ，即 ，,2022xy此时 ，266834xyxyxyxy利用线
11、性规划可知在 处取得最小值 334,5综上，当 ， 时， 的最小值为 335xy2xyxy【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题（15） 【2015 年浙江，理 15】已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且12,e12eb125,eb对于任意 ， ，则 ， ， ,xyR0120()()(,)bxybxyxyR0x0y【答案】 ， ， 01022【解析】 ， ，不妨设 ， ，2112cos,cs,eee 12,3e13,02e21,0e，则由题意知 ， ，解得 ，,bmnt13bmn25bm5， ，3253,2t，113,2bxeyxy
12、xt2221513bxeyxyxt，由题意，当 ， 时，22224457t t eey取到最小值 1，此时 ，故 23yxyt 2t225382bt【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题三、解答题：本大题共 5 题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16） 【2015 年浙江，理 16】 （本小题满分 14 分）在 中，内角 所对边分别为()nf*,()Nfn已知 ， *,()nNf4A221bac（）求 的值；taC（）若 的面积为 7，求 的值nf解：（）由 及正弦定理得 ，故 又由 ，即 ，221bc221sinsinBC2cosinBC4A3
13、4BC得 ，解得 osinicoBCta（）由 得 ， ，又 ，故 ，由ta2C55ssisiA310sin5正弦定理得 ，又 ， ，故 ，故 23cb4A1sin32bcA62bc3b【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（17） 【2015 年浙江，理 17】 （本小题满分 15 分）如图，在三棱柱 中， ，1BCA09BC，2ABC， 在底面 的射影为 的中点， 为 的中点141ABCD1（）证明： 平面 ；D1（）求二面角 的平面角的余弦值1解：解法一：（）设 为 的中点，连 由题 平面 ，故 因 ，故EC1,
14、E1AEBC1AEBAC， 从而 平面 由 分别 的中点，得 且AB, 1/DE，1D从而 ，且 ，所以 为平行四边形，故 又 平面1/1D1D1/，1故 平面 11C（）作 于 ，连 ，由题 ， ，得AFB1F2AEB0119AEB14B由 ， ，得 由 ，得 ，因此1D111D1FD11AFB为二面角 的平面角由 ， ， ，得 ， 4032D，由余弦定理得 13AF1cos8AFB解法二：（）如图，以 中点为原点 ， 方向为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正BCOCxOAy1OAz方向，建立空间直角坐标系 ， ， ，易知2B2A2114， ， ， ， ，10,4A2,0,0,0,D，1
15、2,B， ， ， ，1,D,214D12,B2,0BC， ， ，又 ， ，又04O10AOAO1A1A， 平面 1ABC1C（）设平面 的法向量为 ，知 ， ，1,nxyz1120nDy111240nDxyz则取 ，设平面 的法向量为 ，则 ，17,0n1BD22,xz21222B，则取 ， ，22BDx20,7n 112cos 8nn又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为 8【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题（18） 【2015 年浙江，理 18】 （本小题满分 15 分）已知函数 ，记 是 在2,fxabR,Mab|fx区
16、间 上的最大值1,6（）证明：当 时， ；|2a,2Mab（）当 满足 ，求 的最大值,b,|解：（）由 ，得对称轴为直线 ，由 ，得 ，24fx 2ax|12a故 在 上单调，因此 1, ,m|1|,|abff当 时， ，故 ， ，即2af4max|,|2ff；当 时， ，故 ，,Mb2a1ff4|1f，即 综上，当 时， mx|,|ff,2M2,Mb（）由 得 ， ，故 ， ，,1|bf|abf|3|a由 ，得 当 ， 时， ，且 在|0|aba|31|2|1|x1,的最大值为 2，即 ，故 的最大值为 3 ,12|ab【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解
17、 是 在区间,Mabfx上的最大值，以及利用三角不等式变形,（19） 【2015 年浙江，理 19】 （本小题满分 15 分）已知椭圆 上两个不同的点 关21xy,AB于直线 对称12ymx（）求实数 的取值范围；（）求 面积的最大值（ 为坐标原点） AOBO解：（）由题知 ，可设直线 ： ，代入椭圆方程并整理得0AB1yxbm 因直线 与椭圆 有两个不同的交点，故2240mxbm AB21xy将 中点 代入直线方程 得 2822,mbM2mx2b由得 或 63（）令 ，则 ，且 到 的距离为 ，故 的面积210,tm2186|ttABOAB1tdAOB，当且仅当 时，等号成立，故 面积的最大
18、值为2|Stdt12t2【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题（20） 【2015 年浙江，理 20】 （本小题满分 15 分）已知数列 满足 且 ，数列na1221nnaN的前 项和为 ，证明：2nanS（） ；12nN7（） 1122nSN解：（）由题 ，即 ，故 10nna1na12na由 得 ，110故 ，从而 ，即 02n,nn 1n（）由题 ，故 由 和 得， ，1na1Sa1=nna12n12na故 ，因此 ，1n122Nn由得 2nS【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题
