2013年高考理科数学辽宁卷word解析版.doc-道客多多

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1、2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版1 / 132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)注意事项：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 辽宁，理

2、1)复数的模为( ) 1izA B C D222答案：B解析：，1i1ii()z|z| ，故选 B.222(2013 辽宁，理 2)已知集合 Ax|0log 4x1，Bx|x2，则 AB( )A(0,1) B(0,2 C(1,2) D(1,2答案：D解析：0log 4x1log 41log 4xlog 441x 4，即 Ax |1x4 ，A Bx|1 x 2故选 D.3(2013 辽宁，理 3)已知点 A(1,3)，B(4，1) ，则与向量同方向的单位向量为( )A B,53,5C D4,4,答案：A解析：与同方向的单位向量为，故选 A.BAB23,4,54(2013 辽宁，理 4

3、)下面是关于公差 d0 的等差数列a n的四个命题：p1：数列a n是递增数列；p2：数列na n是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列a n3nd是递增数列其中的真命题为( )Ap 1，p 2 Bp 3，p 4Cp 2，p 3 Dp 1，p 4答案：D解析：如数列为2，1,0,1，，则 1a12a 2，故 p2 是假命题；如数列为1,2,3，则 1，na2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版2 / 13故 p3 是假命题故选 D.5(2013 辽宁，理 5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80) ，

4、80,100若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是( )A45 B50 C 55 D60答案：B解析：由频率分布直方图，低于 60 分的同学所占频率为(0.0050.01)200.3，故该班的学生人数为50.故选 B.150.36(2013 辽宁，理 6)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos Ccsin Bcos A，且 ab，则B( )2A B C D3256答案：A解析：根据正弦定理：asin Bcos Cc sin Bcos A 等价于 sin Acos Csin Ccos A ，12b12即 sin(AC) .12又 ab，A C

5、，B .故选 A.567(2013 辽宁，理 7)使 (nN )的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )13xA4 B5 C6 D7答案：B解析：展开式中的第 r1 项为 (3x)nr ，若展开式中含常数项13nxC3252nrrx则存在 nN ，rN，使 0，52r故最小的 n 值为 5，故选 B.8(2013 辽宁，理 8)执行如图所示的程序框图，若输入 n10，则输出 S( )2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版3 / 13A B C D5110365725答案：A解析：当 n10 时，由程序运行得到22222146180S1357921 .故选 A.109(2013

6、辽宁，理 9)已知点 O(0,0)，A (0，b)，B( a，a 3)若OAB 为直角三角形，则必有( )Aba 3B C 331()0aD b答案：C解析：若 B 为直角，则，0OAB即 a2a 3(a3b)0，又 a0，故；1若 A 为直角，则，即 b(a3b) 0，得 ba 3；若 O 为直角，则不可能故 ba 30 或 ba 3 0，故选 C.110(2013 辽宁，理 10)已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上若AB3，AC4 ，AB AC，AA 112，则球 O 的半径为( ) A B C D17222答案：C解析：过 C 点作 AB 的平行

7、线，过 B 点作 AC 的平行线，交点为 D，同理过 C1 作 A1B1 的平行线，过 B12013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版4 / 13作 A1C1 的平行线，交点为 D1，连接 DD1，则 ABCDA 1B1C1D1 恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r .故选 C.2234311(2013 辽宁，理 11)已知函数 f(x)x 22(a2)xa 2，g(x) x 22(a2)x a 28.设 H1(x)max f(x)，g(x)，H 2(x)minf(x )，g(x)(maxp，q表示 p，q 中的较大值，min p，q 表示 p，q 中的较小值)记H1(x)的最小值为

8、 A，H 2(x)的最大值为 B，则 AB( ) A16 B16Ca 22a16 Da 22a16答案：B解析：f( x)g(x )2x 24ax2a 282x (a2)x(a2) ， 1,),(,2fHf2,),(,gxaf可求得 H1(x)的最小值 Af(a2)4a4，H 2(x)的最大值 Bg(a2) 4a12，A B16.故选 B.12(2013 辽宁，理 12)设函数 f(x)满足 x2f(x)2xf( x) ，f(2) ，则 x0 时，f(x )( )e28A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值答案：D解析：令 F(x)x 2f(x)，

9、则 F(x)x 2f(x)2xf(x ) ，exF(2)4f(2) .由 x2f(x)2xf(x ) ，ex得 x2f(x) 2xf( x) ，2fxf(x) .3eF令 (x) ex2 F(x)，则 (x)e x2F(x ) .2e()x(x)在 (0,2)上单调递减，在(2 ，)上单调递增，(x)的最小值为 (2)e 22F(2)0.(x) 0.又 x0，f(x)0.f(x)在(0 ，)单调递增f(x)既无极大值也无极小值故选 D.2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版5 / 13第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22

10、题第 24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 辽宁，理 13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 _答案：1616解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为 2 的正四棱柱，故体积为 22422416 16.14(2013 辽宁，理 14)已知等比数列a n是递增数列，S n是a n的前 n 项和若 a1，a 3 是方程x25x40 的两个根，则 S6_.答案：63解析：因为 x25x 40 的两根为 1 和 4，又数列a n是递增数列，所以 a11，a 34，所以 q2.所以 S6 63.

11、615(2013 辽宁，理 15)已知椭圆 C： (ab 0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于2=1xyA，B 两点，连接 AF，BF.若 |AB|10，| AF|6，cosABF ，则 C 的离心率 e_.45答案： 57解析：如图所示根据余弦定理|AF| 2| BF|2|AB| 22|AB|BF |cosABF，即| BF|216|BF|640，得 |BF|8.又|OF |2|BF| 2|OB| 22| OB|BF|cos ABF，得 |OF|5.根据椭圆的对称性|AF| BF|2a14，得 a7.2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版6 / 13又|OF |c5，故离心

12、率 e .5716(2013 辽宁，理 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_答案：10解析：设 5 个班级的人数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，则，123457x22137775x4，即 5 个整数平方和为 20，最大的数比 7 大不能超过 3，否则方差超过 4，故最大值为 10，最小值为 4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 辽宁，理 17)(本小题满分 12 分)设向量 a( ，sin x

13、)，b(cos x，sin x)，x .sin0,2(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x) ab，求 f(x)的最大值解：(1)由|a| 2 (sin x)24sin 2x，23sin |b|2(cos x) 2 (sin x)21，及|a |b|，得 4sin2x1.又 x ，从而 sin x ，0,所以 .6(2)f(x)ab cos xsin 2x3sin1si2co，n6x当时，取最大值 1.0,32sin6x所以 f(x)的最大值为 .18(2013 辽宁，理 18)(本小题满分 12 分)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点(1)求

14、证：平面 PAC平面 PBC；(2)若 AB2，AC1，PA1 ，求二面角 CPBA 的余弦值(1)证明：由 AB 是圆的直径，得 ACBC.2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版7 / 13由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC.又 PAACA， PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.因为 BC平面 PBC.所以平面 PBC平面 PAC.(2)解法一：过 C 作 CMAP，则 CM平面 ABC.如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB，CA，CM 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系因为 AB2，AC1，所以 BC .3因为 PA1，

15、所以 A(0,1,0)，B( ，0,0)，P(0,1,1)故 ( ，0,0)， (0,1,1)CB3P设平面 BCP 的法向量为 n1 (x，y，z)，则 10,n所以 3,xyz不妨令 y1，则 n1(0,1，1) 因为 (0,0,1)， ( ，1,0)APB3设平面 ABP 的法向量为 n2( x，y，z)，则所以20,0z不妨令 x1，则 n2(1，，0)，3于是 cosn1，n2 .64所以由题意可知二面角 CPBA 的余弦值为 .64解法二：过 C 作 CMAB 于 M，因为 PA平面 ABC，CM平面 ABC，所以 PACM，故 CM平面 PAB.过 M 作 MNPB 于 N，

16、连接 NC，2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版8 / 13由三垂线定理得 CNPB.所以CNM 为二面角 CPBA 的平面角在 RtABC 中，由 AB2，AC1，得 BC ，CM ，BM ，323在 RtPAB 中，由 AB2，PA1，得 PB .5因为 RtBNMRtBAP，所以，故 MN .315MN0又在 RtCNM 中，CN ，故 cosCNM .64所以二面角 CPBA 的余弦值为 .6419(2013 辽宁，理 19)(本小题满分 12 分)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；

17、(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对35每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和45数学期望解：(1)设事件 A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题 ”，则有 “张同学所取的 3 道题都是甲类题” 因为 P( ) ，3610C所以 P(A)1P( ) .5(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.P(X0) ；02234C515P(X1) ；0212348+C51P(X2) ；201375P(X3) .2436C25所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 8576

18、1所以 E(X)0 1 2 3 2.45857620(2013 辽宁，理 20)(本小题满分 12 分)如图，抛物线 C1：x 24y，C 2：x 22py(p0)点 M(x0，y 0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B (M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)当 x01 时，22013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版9 / 13切线 MA 的斜率为 .12(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)解：(1)因为抛物线 C1：x24y 上任意一点( x，y)的切线斜率为，

19、且切线 MA 的斜率为，所以=2xy12A 点坐标为，故切线 MA 的方程为 .,1(24因为点 M( ，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，于是，01324y.()p由得 p 2.(2)设 N(x，y)，A ，B ，x1x 2，由 N 为线段 AB 中点知 x ，21,42, 12.218切线 MA，MB 的方程为，211()24xxy.2由得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为， .120x1204y因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 4y 0，0所以 .1126由得，x0.43y当 x1x 2时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 .24

20、3xy因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 .243xy2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版10 / 1321(2013 辽宁，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) (1x)e 2x ，g(x )ax 12xcos x当3x0,1时，(1)求证：1xf(x ) ；1x(2)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围(1)证明：要证 x0,1时，(1 x)e2x 1x，只需证明(1 x)e x (1x)e x.记 h(x)(1x )ex (1x )ex，则 h(x)x(e xe x )，当 x(0,1)时，h(x) 0，因此 h(x)在0,1上是增函数，故 h

21、(x)h(0)0.所以 f(x)1x，x0,1要证 x0,1时，(1x)e 2x ，1只需证明 exx1.记 K(x) exx1，则 K(x) ex1，当 x(0,1)时，K(x )0，因此 K(x)在0,1上是增函数，故 K(x) K(0)0.所以 f(x) ，x0,1综上，1xf(x) ，x0,11(2)解法一：f(x)g( x)(1 x)e 2x 312cosax1xax1 2x cos x3x(a 1 2cos x )设 G(x) 2cos x，则 G(x)x2sin x.2记 H(x)x2sin x，则 H(x) 12cos x，当 x(0,1)时，H(x )0，于是 G(x)在0,

22、1上是减函数，从而当 x(0,1)时，G(x )G(0) 0，故 G(x)在0,1上是减函数于是 G(x)G(0)2，从而 a 1G (x)a3.所以，当 a3 时，f(x )g(x) 在0,1上恒成立下面证明当 a3 时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x) 312cos 3s 2x ，1coxa记 I(x) ，21s ()xaGx2013 年高考理科数学辽宁卷 word 解析版11 / 13则 I(x) ，21()(Gx当 x(0,1)时，I(x)0，故 I(x)在0,1上是减函数，于是 I(x)在0,1上的值域为a 12cos 1， a3 因为当 a3 时，a30，所以存在

23、 x0(0,1)，使得 I(x0)0，此时 f(x0)g(x 0)，即 f(x)g(x) 在0,1上不恒成立综上，实数 a 的取值范围是(，3 解法二：先证当 x0,1时，1 x2cos x1 x2.4记 F(x)cos x1 x2，则 F(x)sin x x.记 G(x)sin x x，则 G(x)cos x1，当 x(0,1)时，G(x )0，于是 G(x)在0,1 上是增函数，因此当 x(0,1)时，G(x )G(0)0，从而 F(x)在0,1 上是增函数因此 F(x)F (0)0，所以当 x0,1时，1 x2cos x.同理可证，当 x0,1时，cos x1 x2.4综上，当 x0,1

24、时，1 x2cos x1 x2.因为当 x0,1时，f(x)g(x) (1x)e 2x 3cosa32114ax(a3) x.所以当 a3 时，f(x)g(x )在0,1上恒成立下面证明当 a3 时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为 f(x)g(x)(1x)e 2x 1cos2321axx2()1 ，33xa所以存在 x0(0,1)(例如 x0 取和中的较小值)满足 f(x0)g( x0)3a12即 f(x)g(x) 在0,1上不恒成立综上，实数 a 的取值范围是(，3 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅2013 年高

25、考理科数学辽宁卷 word 解析版12 / 13笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22(2013 辽宁，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，AB 为 O 的直径，直线 CD 与 O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直AB 于 F，连接 AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD BC.证明：(1)由直线 CD 与 O 相切，得CEB EAB.由 AB 为 O 的直径，得 AEEB，从而 EABEBF ；2又 EFAB，得FEBEBF ，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由 BCCE，EFAB，F

26、EBCEB，BE 是公共边，得 RtBCERtBFE，所以 BCBF.类似可证：Rt ADERtAFE，得 ADAF .又在 RtAEB 中，EF AB，故 EF2AF BF，所以 EF2ADBC.23(2013 辽宁，理 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆 C1，直线 C2 的极坐标方程分别为 4sin ， .cos=24(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标；(2)设 P 为 C1 的圆心，Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点已知直线 PQ 的参数方程为 (tR3,12xtaby为参数)

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