1、函数的性质及其应用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法
2、等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。一、函数与反函数例 1 （1）已知 A=1，2，3，B=4，5 ，则以 A 为定义域，B 为值域的函数共有 个（2） 、 （2012徐汇区一模）已知函数 f（x）=x 21 的定义域为 D，值域为 1，0，1，试确定这样的集合 D 最多有 个（3） （2013上海）对区间 I 上有定义的函数 g（x） ，记 g（I ）=y|y=g（x） ，xI已知定义域为0，3的函数 y=f（x）有反函数 y=f1（x） ，且 f1（ 0，1） ）=1，2） ，f1（
3、 2，4 ） =0，1） 若方程 f（x）x=0 有解 x0，则 x0= 二、函数值域及最值求法例 2、 （1） （2011 上海）设 g（x） 是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）=x+g（ x） 在区间0 ，1上的值域为 2，5，则 f（x） 在区间0，3上的值域为 （2） （2013黄浦区二模）已知 ，若存在区间a ，b （0，+） ，使得y|y=f （x） ，xa ，b =ma，mb，则实数 m 的取值范围是 （3） （2012虹口区一模）已知函数 f（x）=2x+a，g（x ）=x 26x+1，对于任意的都能找到 ，使得 g（x 2）=f（x 1） ，则实数 a
4、的取值范围是 三、函数单调性与奇偶性例 3、 （1） （2013 资阳一模）已知函数若 f（2m+1）f（m 22） ，则实数 m 的取值范围是 （2）已知 是 R 上的增函数，那么 a 的取值范围是 （3） （2012上海）已知 y=f（x）是奇函数，若 g（x）=f（x）+2 且 g（1）=1，则 g（1）= （4）f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数且过（ 1，3） ，g（x）=f（x1） ，则f（2012）+f（2013）= 四、函数的周期性例 4、 （1）已知奇函数 满足的值为 。（2）设函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x2）= f（x）对一
5、切 xR 都成立，又当 x1，1时，f（x）=x 3，则下列四个命题：函数 y=f（x）是以 4 为周期的周期函数；当 x1，3时，f （x）=（2x） 3； 函数 y=f（x）的图象关于 x=1 对称；函数 y=f（x）的图象关于（2，0）对称其中正确的命题是 五、函数图像的对称性例 5、 （1）已知函数 为偶函数，则函数 图像关于直线 (21)yfx(2)yfx对称，函数 图像关于直线 对称。()yfx（2）设 则 （3）已知函数 f（x）的定义域为 R，则下列命题中： 若 f（x2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线 x=2 对称； 若 f（x+2）=f （x2） ，则函数 f（x）
6、的图象关于原点对称； 函数 y=f（2+x ）与函数 y=f（2x）的图象关于直线 x=2 对称； 函数y=f（x2）与函数 y=f（2x）的图象关于直线 x=2 对称其中正确的命题序号是 六、函数性质的综合应用例 6、 （2013上海 春季）已知真命题：“函数 y=f（x）的图象关于点 P（a ，b）成中心对称图形” 的充要条件为“ 函数 y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数 g（x）=x 33x2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数 h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）
7、已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象” 的充要条件为“存在实数a 和 b，使得函数 y=f（x+a） b 是偶函数” 判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明） 例 7、已知函数 f（x）=ax 2+bx+1，a，b 为实数，a 0，xR，F（x）= ，（1）若 f（ 1）=0 ，且函数 f（x）的值域为0，+） ，求 F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当 x1，1时，g（x）=f（x）+kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围；（3）设 mn0，m+n0，a0，且函数 f（x）为
8、偶函数，判断 F（m ）+F（n）是否大于0例 8、 （2012上海）已知 f（x）=lg（x+1）（1）若 0f（12x）f（x）1，求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0x1 时，g（x）=f（x） ，求函数 y=g（x）（x1，2）的反函数例 9、 （2012卢湾区二模）对于定义域为 D 的函数 y=f（ x） ，若有常数 M，使得对任意的x1D，存在唯一的 x2D 满足等式 ，则称 M 为函数 y=f （x）的“均值 ”（1）判断 1 是否为函数 f（x ）=2x+1（1x 1）的“ 均值” ，请说明理由；（2）若函数 f（x）=ax 22x（1x2，
9、a 为常数）存在“均值”，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 f（x）是单调函数，且其值域为区间 I试探究函数 f（x）的“均值” 情况（是否存在、个数、大小等）与区间 I 之间的关系，写出你的结论（不必证明） 例 10、已知函数 y=f（x） ，x R 满足 f（x+1）=af（x） ，a 是不为 0 的实常数（1）若当 0x1 时，f（x）=x（1x） ，求函数 y=f（x） ，x0，1的值域；（2）在（1）的条件下，求函数 y=f（x） ，x n，n+1） ，nN 的解析式；（3）若当 0x 1 时，f（x）=3 x，试研究函数 y=f（x）在区间（ 0，+）上是否可能是单调函数？若可
10、能，求出 a 的取值范围；若不可能，请说明理由七、实战演练一填空题1、 （2009上海）将函数 （x0 ，6）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 （0） ，得到曲线 C若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 的最大值为 2、 （2013上海）对区间 I 上有定义的函数 g（x） ，记 g（I ）=y|y=g（x） ，xI已知定义域为0，3的函数 y=f（x）有反函数 y=f1（x） ，且 f1（0，1） ）=1，2） ，f 1（2，4）=0，1） 若方程 f（x）x=0 有解 x0，则 x0= 3、 （2008湖南）设函数 y=f（x）存在反函数 y=f1（x） ，且函数 y=x
11、f（x）的图象过点（1，2） ，则函数 y=f1（x）x 的图象一定过点 3、 （2011上海）设 g（x） 是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）=x+g（x） 在区间0，1上的值域为 2，5，则 f（x） 在区间0，3 上的值域为 4、 （2011闸北区二模）设 f（x）是 R 上的奇函数，g（x）是 R 上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为1，3） ，则 f（x）g（x）的值域为 5、在直角坐标系中，如果两点 A（a，b） ，B（a ，b）在函数 y=f（x）的图象上，那么称A，B为函数 f（x）的一组关于原点的中心对称点（A， B与B，A看作一组） 函数g（x
12、）= 关于原点的中心对称点的组数为 6 （2013上海）设 a 为实常数，y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=9x+ +7若 f（x）a+1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为 7 （2012上海）若 f（x）= 为奇函数，则实数 m= 8 （2012上海）已知函数 f（x）=e |xa|（a 为常数） 若 f（x）在区间1，+）上是增函数，则 a 的取值范围是 9 （2012上海）已知 y=f（x）+x 2 是奇函数，且 f（1）=1，若 g（x）=f（x）+2，则 g（1 ）= 10 （2013四川）已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f
13、（x）=x 24x，那么，不等式 f（x+2 ）5 的解集是 11 （2013黄浦区二模）已知 ，若存在区间 ，使得y|y=f（ x） ，xa，b=ma ， mb，则实数 m 的取值范围是 12f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数且过（ 1，3） ，g（x）=f（x1） ，则f（2012）+f（2013）= 13设函数 f（x） ，g（x）的定义域分别为 Df，D g，且 DfDg若对于任意 xDf，都有g（x）=f（x） ，则称函数 g（x）为 f（x）在 Dg 上的一个延拓函数设 f（x）=x2+2x，x（，0，g（x）为 f（x）在 R 上的一个延拓函数，且 g（x）是
14、偶函数，则g（x）= 14 （2013普陀区一模）已知函数 ，设 ab0，若 f（a）=f（b） ，则 bf（a）的取值范围是 15 已知 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意 xR，都有 f（x+3）f（x）+3 和f（x+2）f（x ）+2 ，若 f（998）=1002，则 f（2012）= 16 （2010西城区一模）设函数 f（x）的定义域为 D若存在非零实数 l 使得对于任意xM有 x+lD，且 f（x+l ） f（x） ，则称 f（x）为 M 上的 l 高调函数，如果定义域是1， +）的函数 f（x）=x 2 为1，+）上的 m 高调函数则实数 m 的取值范围是-17定义在 R
15、 上的函数 f（x）满足 f（m+n 2）=f（m ）+2f（n） 2，其中 m，n R，且f（1） 0则 f（2013）= 18 （2013浙江模拟）定义域为a，b的函数 y=f（x）图象的两个端点为A、B，M （x，y）是 f（x）图象上任意一点，其中 x=a+（1 ）ba，b，已知向量，若不等式 恒成立，则称函数 f（x）在a ，b上“k 阶线性近似”若函数 在1 ，2上“k 阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为-二解答题 19 （2012交大附中 ）若函数 f（x）定义域为 R，满足对任意 x1，x 2R，有 f（x 1+x2）f（x 1） +f（x 2） ，则称 f（x）为 “V
16、形函数”；若函数 g（x）定义域为 R，g（x）恒大于0，且对任意 x1，x 2R，有 lgg（x 1+x2）lgg（x 1）+lgg（ x2） ，则称 g（x）为“对数 V 形函数”（1）当 f（x）=x 2 时，判断 f（x）是否为 V 形函数，并说明理由；（2）当 g（x）=x 2+2 时，证明：g（x）是对数 V 形函数；（3）若 f（x）是 V 形函数，且满足对任意 xR，有 f（x）2，问 f（x）是否为对数 V 形函数？证明你的结论20 （2012杨浦区一模）若函数 y=f（x） ，如果存在给定的实数对（a，b） ，使得f（a+x ） f（a x）=b 恒成立，则称 y=f（x）
17、为“ 函数” （1）判断下列函数，是否为“ 函数”，并说明理由；f（x）=x 3 f（x）=2 x（2）已知函数 f（x）=tanx 是一个“ 函数”，求出所有的有序实数对（ a，b） 22给出函数封闭的定义：若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0，都有函数值 f（x 0）D，则称函数 y=f（x）在 D 上封闭（1）若定义域 D1=（0，1） ，判断下列函数中哪些在 D1 上封闭（写出推理过程）：f 1（x）=2x1， f2（x） = +1，f 3（x）=2 x1；（2）若定义域 D2=（1，2） ，是否存在实数 a，使得函数 f（x）= 在 D2 上封闭？若存在，求出 a 的值，并给出
18、证明；若不存在，请说明理由23若函数 f（x）在定义域 D 内某区间 I 上是增函数，而 在 I 上是减函数，则称 y=f（x）在 I 上是“弱增函数”（1）请分别判断 f（x）=x+4，g（x）=x 2+4x 在 x（1，2）是否是“ 弱增函数”，并简要说明理由（2）证明函数 h（x）=x 2+a2x+4（a 是常数且 aR）在（ 0，1 上是“ 弱增函数”函数的性质及其应用 教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域
19、上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。一、函数与反函数例 1 （1）已知 A=1，2，3，B=4，5 ，则以 A 为定义域，
20、B 为值域的函数共有 6 个解：从 A 到 B 建立映射共有 23=8 个，其中由 2 个映射的像集是4 和5，把这 2 个映射去掉，其它映射的像集都是4，5 ，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以 A 为定义域， B 为值域的不同的函数共有 82=6 个，故答案为 6（2） 、 （2012徐汇区一模）已知函数 f（x）=x 21 的定义域为 D，值域为 1，0，1，试确定这样的集合 D 最多有 9 个解： f（x）=x 21，f（0）=1，f（1）=0，f （ ）=1因此，定义域 D 有：0，1， ，0 ， 1， ，0，1， ，0，1， ，0，1，1， ，0，1，1， ，0，
21、1， ， ，0，1， ， ，0， 1，1， ， 共 9 种情况，故答案为：9（3） （2013上海）对区间 I 上有定义的函数 g（x） ，记 g（I ）=y|y=g（x） ，xI已知定义域为0，3的函数 y=f（x）有反函数 y=f1（x） ，且 f1（ 0，1） ）=1，2） ，f 1（2，4）=0，1） 若方程 f（x）x=0 有解 x0，则 x0= 2 解：因为 g（I）=y|y=g（x） ，x I，f 1（0 ，1） ）=1，2） ，f 1（2，4）=0，1） ，所以对于函数 f（x） ，当 x0，1）时，f （x） （2，4 ，所以方程 f（x） x=0 即f（x）=x 无解；当
22、x1，2）时， f（x） 0，1） ，所以方程 f（x）x=0 即 f（x）=x无解；所以当 x0，2）时方程 f（x）x=0 即 f（x）=x 无解，又因为方程 f（x）x=0 有解 x0，且定义域为0，3 ，故当 x2，3 时，f（x）的取值应属于集合（，0）1，2（4，+） ，故若 f（x 0）=x 0，只有 x0=2，故答案为：2二、函数值域及最值求法例 2、 （1） （2011 上海）设 g（x） 是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）=x+g（ x） 在区间0 ，1上的值域为 2，5，则 f（x） 在区间0，3上的值域为 2，7 解：g（x）为 R 上周期为 1
23、的函数，则 g（x）=g（x+1） 函数 f（x）=x+g （x）在区间0，1【正好是一个周期区间长度】的值域是2，5，令 x+1=t，当 x0，1时，t=x+11，2，此时，f（t）=t+g（t ）= （x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =x+g（x）+1 ，所以，在 t1，2 时，f（t ）1，6（1） 同理，令 x+2=t，在当 x0， 1时，t=x+2 2，3此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2 ）=（x+2）+g（ x） =x+g（x）+2所以，当 t2，3时，f （t） 0，7（2） 由已知条件及（1） （2）得到，f（x）在区间0 ，3上的值域为 2，
24、7故答案为： 2，7（2） （2013黄浦区二模）已知 ，若存在区间a ，b （0，+） ，使得y|y=f（ x） ，x a，b =ma， mb，则实数 m 的取值范围是 （0，4） 解： f（x）=4 在（0，+ ）是增函数，f（x）在 xa，b上值域为f（a） ，f（b） ，所以 f（a）=ma 且 f（b）=mb ，即 4 =ma 且 4 =mb，所以 ma24a+1=0 且 mb24b+1=0，所以 mx24x+1=0 必须有两个不相等的正根，故m0， ，解得 0m4实数 m 的取值范围是（ 0，4） 故答案为：（0，4） （3） （2012虹口区一模）已知函数 f（x）=2x+a，g
25、（x ）=x 26x+1，对于任意的都能找到 ，使得 g（x 2）=f（x 1） ，则实数 a 的取值范围是 2， 6 解： 函数 f（x）=2x+a，g（ x）=x 26x+1，x 11，1时，f（x）的值域就是a2， a+2，要使上述范围内总能找到 x2 满足 g（x 2）=f（x 1） ，即 g（x）的值域要包含a 2，a+2， g（x）是一个二次函数，在 1，1 上单调递减，值域为 4，8，因此 ，解得 2a6故答案为： 2，6三、函数单调性与奇偶性例 3、 （1） （2013 资阳一模）已知函数若 f（2m+1）f（m 22） ，则实数 m 的取值范围是 （1，3） 解： x1 时，
26、函数 y=x2+2x+1=（x 1） 2+2，在（，1上单调递增；x1 时，函数 y=x3+1 在（1，+）上单调递增 ，又 x1 时，x 2+2x+12，x1 时，x3+12，函数 ， 函数在 R 上单调增，2m+1m 22， m22m30， 1m 3，故答案为：（ 1，3）（2）已知 是 R 上的增函数，那么 a 的取值范围是 （1，3） 解： 是 R 上的增函数， a（1 ，3）故答案为：（1，3）（3） （2012上海）已知 y=f（x）是奇函数，若 g（x）=f（x）+2 且 g（1）=1，则 g（1）= 3 解：由题意 y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2g（ x） +g（
27、 x）=f（x）+2+f（x）+2=4，又 g（1）=11+g（ 1）=4，解得 g（ 1）=3，故答案为 3（4）f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数且过（ 1，3） ，g（x）=f（x1） ，则f（2012）+f（2013）= 3 解：由 f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数，得 f（x）=f（x） ，g（x） =g（x） ，且 g（0）=0，由 g（x）=f（x 1） ，得 f（x）=g（x+1）= g（x1）=f（x 2）=f （x+2） ，即 f（ x）= f（x+2） ，所以 f（x+4） =f（x+2）=f（x）=f（x） ，故 f（x）是周期
28、为 4 的周期函数，所以 f（2012）=f（4503）=f（0）=g（1）= g（1 ）= 3，f（2013）=f（4503+1）=f（1）=f（1）=g（0）=0 ，所以f（2012）+f（2013）= 3，故答案为：3四、函数的周期性例 4、 （1）已知奇函数 满足的值为 。解：（2）设函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x2）= f（x）对一切 xR 都成立，又当 x1，1时，f（x）=x 3，则下列四个命题：函数 y=f（x）是以 4 为周期的周期函数；当 x1，3时，f （x）=（2x） 3； 函数 y=f（x）的图象关于 x=1 对称；函数 y=f（x）的图象
29、关于（2，0）对称其中正确的命题是 解： 函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x）=f（x） ，f（ x2）= f（x）对一切 xR 都成立，f（x4）=f（x） ，函数 y=f（x）是以 4 为周期的周期函数，故正确当 x1，3 时，x 21，1，f（x2）=（x2） 3=f（x） ，f（ x）=（2x） 3，故正确f （x 2）=f（x） ，f（ 1+x）=f（1x） ，函数 y=f（x）的图象关于 x=1 对称，故 正确当 x1，3 时，f（x）=（2x） 3，f（2）=0， f（x2）=f（x） ，f（ x2）= f（ x）=f（x）=f（x2） ，f（x+2 ）= f（x
30、2） ， 函数 y=f（x）的图象关于（2，0）对称故正确的命题有 ，故答案选 （2）若 f（n）为 n2+1（nN *）的各位数字之和，如 142+1=197，1+9+7=17 则f（14）=17 ，记 f1（n）=f（n） ，f 2（n）=ff 1（n），f k+1（n）=ff k（n） kN*，则 f2010（8）= 8 解：f 1（8）=f（8）=64+1=656+5=11 ，f 2（8）=ff 1（8）=f（11）=121+1=122=1+2+2=5f3（8）=ff 2（8 ）=f（5）=25+1=26=8，f 4（8）=ff 3（8） =f（8）所以 f2010（8）=f 3（8）
31、=8，故答案为：8五、函数图像的对称性例 5、 （1）已知函数 为偶函数，则函数 图像关于直线 (1)yfx(2)yfx对称，函数 图像关于直线 对称。()yfx解： 图像关于直线 对称，函数 图像关于直线 对称。22x()yfx1x（2）设 则 1006 解：若 a+b=1，则 f（a ）+f（ b）= = = =1，所以=f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（ ） +f（ ）+f（ ）=1+1+1=1006故答案为：1006（3）已知函数 f（x）的定义域为 R，则下列命题中：若 f（x 2）是偶函数，则函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称； 若 f（x+2）=f（x2） ，则函数 f（
32、x）的图象关于原点对称； 函数 y=f（2+x）与函数 y=f（2 x）的图象关于直线 x=2 对称； 函数 y=f（x2）与函数 y=f（2x）的图象关于直线 x=2 对称其中正确的命题序号是 解：不正确因为 f（x2）的图象是由 f（x）的图象向右平移两个单位而得到，结合 f（x 2）是偶函数知，f（ x）的图象关于 x=2 对称，由 f（x+2） =f（x2）变形得 f（x+8）=f（x）是周期函数不能得出函数f（x）的图象关于原点对称，故不正确 不正确，因为函数 y=f（2+x）是由f（x）向左平移 2 个单位，函数 y=f（2x）的图象是由 f（x）的图象向右平移 2 个单位，故两函
33、数的图象仍然关于原点对称如图所示，正确故答案为： 六、函数性质的综合应用例 6、 （2013上海 春季）已知真命题：“函数 y=f（x）的图象关于点 P（a ，b）成中心对称图形” 的充要条件为“ 函数 y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数 g（x）=x 33x2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数 h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象” 的充要条件为“存在实数a 和 b，使得函数 y=f（x+a） b 是偶函数”
34、判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明） 解：（1）平移后图象对应的函数解析式为 y=（x+1） 33（x+1） 2+2，整理得y=x33x，由于函数 y=x33x 是奇函数，由题设真命题知，函数 g（x）图象对称中心的坐标是（1，2） （2）设 h（x）= 的对称中心为 P（a，b） ，由题设知函数 h（x+a）b 是奇函数设 f（x）=h（x+a） b 则 f（x）= b，即 f（x）=由不等式 的解集关于原点对称，得 a=2此时 f（x）= b，x （ 2，2） 任取 x（2，2） ，由 f（x）+f（
35、x）=0，得 b=1，所以函数 h（x）= 图象对称中心的坐标是（2，1） （3）此命题是假命题举反例说明：函数 f（x）=x 的图象关于直线 y=x 成轴对称图象，但是对任意实数 a 和 b，函数 y=f（x+a） b，即 y=x+ab 总不是偶函数修改后的真命题：“函数 y=f（x）的图象关于直线 x=a 成轴对称图象 ”的充要条件是“函数 y=f（x+a）是偶函数” 例 7、已知函数 f（x）=ax 2+bx+1，a，b 为实数，a 0，xR，F（x）= ，（1）若 f（ 1）=0 ，且函数 f（x）的值域为0，+） ，求 F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当 x1，1时，g（x
36、）=f（x）+kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围；（3）设 mn0，m+n0，a0，且函数 f（x）为偶函数，判断 F（m ）+F（n）是否大于0解：（1）依题意，有 ，解得 ，f（x）=x 2+2x+1，（2）由（1）得 g（x）=f（x）+kx=x 2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，函数 g（x）的对称轴 x= ， g（x）在区间1，1 上是单调函数， 解得 k0，或 k4实数 k 的取值范围为（ ， 40，+） ，（3）f （x）=ax 2+bx+1 为偶函数， b=0，即 f（x）=ax 2+1（a0） ，mn0，m+n0，a0，不妨设 n0m ，则有 0 n m，mn
37、 0，m+n0 F（m）+F（n）=am 2+1an21=a（m+n） （m n） ，F（ m）+F （n）0例 8、 （2012上海）已知 f（x）=lg（x+1）（1）若 0f（12x）f（x）1，求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0x1 时，g（x）=f（x） ，求函数 y=g（x）（x1，2）的反函数解：（1）由 解得：1x1由 0lg（22x） lg（x+1 ）=lg 1 得：1 10，x+10， x+122x10x+10， 由 得： （2）当 x1，2 时，2 x0，1，y=g （x）=g（x 2）=g（2x）=f（2x）=lg （3x） ，由单
38、调性可知 y0，lg2，又x=310 y，所求反函数是 y=310x，x0，lg2 例 9、 （2012卢湾区二模）对于定义域为 D 的函数 y=f（ x） ，若有常数 M，使得对任意的x1D，存在唯一的 x2D 满足等式 ，则称 M 为函数 y=f （x）的“均值 ” （1）判断 1 是否为函数 f（x）=2x+1（ 1x1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数 f（x）=ax 22x（1x2，a 为常数）存在“均值”，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 f（x）是单调函数，且其值域为区间 I试探究函数 f（x）的“均值” 情况（是否存在、个数、大小等）与区间 I 之间的关系，写出你的结论
39、（不必证明） 解：（1）对任意的 x11， 1，有x 11，1，当且仅当 x2=x1 时，有 ，故存在唯一 x21，1，满足 ，所以 1 是函数 f（x）=2x+1 （1x 1）的“ 均值”（2）当 a=0 时，f（x）=2x（1x2）存在“均值” ，且“均值” 为 3；当 a0 时，由 f（x）=ax 22x（1x2）存在均值，可知对任意的 x1，都有唯一的 x2 与之对应，从而有 f（x）=ax 22x（1x2）单调，故有 或，解得 a1 或 a0 或 ，综上，a 的取值范围是 或 a1 （3）当 I=（a ，b）或a，b 时，函数 f（x）存在唯一的“均值” 这时函数 f（x）的“均值”
40、 为 ； 当 I 为（ ，+）时，函数 f（x）存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数 f（x）的 “均值”； 当 I=（a，+）或（，a）或a，+）或（，a或a，b）或（a ，b 时，函数 f（x）不存在“均值” 当且仅当 I 形如（a ，b） 、 a，b其中之一时，函数 f（x）存在唯一的“ 均值”这时函数 f（x）的“均值” 为 ； 当且仅当 I 为（，+）时，函数 f（x）存在无数多个“ 均值”这时任意实数均为函数 f（x）的 “均值”； 当且仅当 I 形如（a ，+ ） 、 （ ，a） 、a，+ ） 、 （， a、a ，b） 、 （a，b其中之一时，函数 f（x）不存在“均值 ”例
41、 10、已知函数 y=f（x） ，x R 满足 f（x+1）=af（x） ，a 是不为 0 的实常数（1）若当 0x1 时，f（x）=x（1x） ，求函数 y=f（x） ，x0，1的值域；（2）在（1）的条件下，求函数 y=f（x） ，x n，n+1） ，nN 的解析式；（3）若当 0x 1 时，f（x）=3 x，试研究函数 y=f（x）在区间（ 0，+）上是否可能是单调函数？若可能，求出 a 的取值范围；若不可能，请说明理由解：（1） ， （2）当 nxn+1（n 0，nZ）时，f n（x）=af n1（x 1）=a 2fn1（x 2）anf1（xn） ，f n（x）=a n（xn） （n+
42、1x） （3）当 nxn+1（n 0，nZ）时，f n（x）=af n1（x 1）=a 2fn1（x 2）anf1（xn） ，f n（x）=a n3xn；显然 fn（x）=a n3xn，xn，n+1，n0，nZ 当a0 时是增函数，此时f n（x） an，3a n，若函数 y=f（x）在区间0，+）上是单调增函数，则必有 an+13an，解得： a3；显然当 a0 时，函数 y=f（x）在区间0，+ ）上不是单调函数；所以 a3七、实战演练一填空题1、 （2009上海）将函数 （x0 ，6）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 （0） ，得到曲线 C若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都是一个函数的图
43、象，则 的最大值为 arctan 解：先画出函数 （x 0，6）的图象，这是一个圆弧，圆心为M（3，2） ，由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MAB 时，曲线C 都不是一个函数的图象，MAB=arctan，故答案为：arctan2、 （2013上海）对区间 I 上有定义的函数 g（x） ，记 g（I ）=y|y=g（x） ，xI已知定义域为0，3的函数 y=f（x）有反函数 y=f1（x） ，且 f1（0，1） ）=1，2） ，f 1（2，4）=0，1） 若方程 f（x）x=0 有解 x0，则 x0= 2 解：因为 g（I）=y|y=g（x） ，x I，f 1（0 ，1） ）=1，
44、2） ，f 1（2，4）=0，1） ，所以对于函数 f（x） ，当 x0，1）时，f （x） （2，4 ，所以方程 f（x） x=0 即f（x）=x 无解；当 x1，2）时， f（x） 0，1） ，所以方程 f（x）x=0 即 f（x）=x无解；所以当 x0，2）时方程 f（x）x=0 即 f（x）=x 无解，又因为方程 f（x）x=0 有解 x0，且定义域为0，3 ，故当 x2，3 时，f（x）的取值应属于集合（，0）1，2（4，+） ，故若 f（x 0）=x 0，只有 x0=2，故答案为：23、 （2008湖南）设函数 y=f（x）存在反函数 y=f1（x） ，且函数 y=xf（x）的图象
45、过点（1，2） ，则函数 y=f1（x）x 的图象一定过点 （ 1，2） 解析：由函数 y=xf（x）的图象过点（1，2）得：f （1）=1，即函数 y=f（x）过点（1，1 ） ，则其反函数过点（ 1，1） ，所以函数 y=f1（x）x 的图象一定过点（1 ，2 ） 3、 （2011上海）设 g（x） 是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）=x+g（x） 在区间0，1上的值域为 2，5，则 f（x） 在区间0，3 上的值域为 2，7 解：g（x）为 R 上周期为 1 的函数，则 g（x）=g（x+1） ，函数 f（x）=x+g （x）在区间0，1【 正好是一个周期区间长度】的值域是2，5，令 x+1=t，当 x0，1时，t=x+1 1， 2，此时，f（t）=t+g（t ）= （x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =x+g（x）+1 ，所以，在 t1，2 时，f（t ）1，6（1） 同理，令 x+2=t，在当 x0， 1时，t=x+2 2，3，此时，f （t ）=t+g （t）=（x+2）+g （x
