1、积分方法总结李利霞摘要：微积分是大学一年级学的基础课，而在以后的课程中，我们会慢慢发现微积分几乎随处都用的到。所以，在这里对积分方法做一个简单的总结。关键字：二重积分 三重积分 曲面积分 曲线积分 散度 旋度一：二重积分对于二重积分比较常用也比较简单，我在这里给出定限方法：如果是 X 型，则将积分区域全部投影到 x 轴上，确定 x 的范围；在 x 范围内取一点作平行于y 轴的射线，与区域的边界的两交点 则为对 y 积分的上下限。同理，21,可得 y 型定限方法。对于极坐标要定 的上下限。二重积分是积分问题的基r，础，以后提到的各种积分方法最终都是通过某种方法换做二重积分。下面给出二重积分的例子
2、： ；积分区域由 围成；dxyD2I 2y2x与y20 x(1,-1)(4,2)x2yY=x-2将积分区域对 x 轴投影可得 x 的上下限为0 ,4。在0,1间，做平行与 y 轴的射线得 y 轴的范围 ；在1,4间，同理得 y 的范围 。从而积,x2-，分式子可以写作： dyxd21041x-2I同理，也可以对 x 先积分，将积分区域投影到 y 轴上，做平行于 x 的射线，定 x 的上下限为 ；y 的范围-1,2 。,2对于极坐标，应先画出在 xy 坐标上的积分区域，把边界值方程化为极坐标下的方程，定 ，定 r 时同样用发射法，从坐标原点发射。 （以上方法简称为与投影发射法） 。二：三重积分（
3、1）在直坐标系中定限法一：将积分区域投影到其中的一个坐标平面，如 xoy 面上，得到；做平行与 z 轴的射线，穿过积分区域时，进入和出来所xyD,x的 积 分 面 范 围y经过的面分别为 ；从而三重积分可化为二重积分：yxsz,:;,:s21。对 z 积分时将 x,y 看做常数。dfdxydxyzzD,21,f定限法二：“先二后一” ；将积分区域在 z 轴投影得到 z 的取值范围；用平行与 xoy 面的平面去截积分区域得关于 z 的面区域 。从而21cz zD三重积分可以化为 。在对 x，y 积分dxyfdzxyzDc,f21时将 z 看作常数。（2）柱坐标计算柱坐标可以看作是直坐标系的一种特
4、殊情况，同样是对一个坐标面投影，柱坐标选用 xoy 面，只不过得到的区域用极坐标表示，而 z 坐标不变。drfdrdxyzrzD sin,co21r ,sin,f（3）球坐标计算首先给出点 P 的球坐标 与直角坐标 的关系：,zy,xcosinxzy其中， 。,0,20定限方法：先画出积分区域，把积分区域投影到 xoy 面上，得到投影区域定 的范围；定 时只有看颈项与 z 轴正向的夹角范围（过原点的射线顺时针旋转） ；定 时，从原点发出射线，进入积分区域与穿出来得到的数值即为上下限 。从而得到球坐标下的三重积分：21， dfdfvs, 2, 2211 cos,ins,cosinin ii,ip
5、f三，曲线积分（1）标量函数曲线积分（第一型曲线积分）用 ds 表示弧长，则 ；若为极坐标，则dtytxdtrs2。若 ，是平面曲线，则dr2dsytxr,。若 ，ttyxfpfl 22, ttzytxr,是空间曲线，则 。 dtzytxfspl 222, 用表示弧长。dttxdsl 222（2）向量值函数曲线积分（第二型曲线积分）具有方向性； ，rpfl ),(, 321 zyxfzfzyxfzyxf；所以tzy,txr dtzftyftxfdzfydxff lll 321321 曲线 的单位切向量为 ，指向参数 增221, tttsr t大的方向。四：曲面积分（1）标量函数曲面积分（第一类
6、）根据合理假设，小曲面块的面积可以被看作以面内两切向量为边的四边形的面积。两切向量分别以 x，y 为参数，可以得到 ，所以ytztx,(常 数 ）；)(,01dtztrdx， 。所以可得面块的大小为：txzy,yzr,102dt,；所以得到yxzyxzkjidrx221 10Sxyzdx2对于第一类曲面积分 ，化为二重积dxyzyxfdSpf x21,分。（2）向量值函数曲面积分（第二类）对于向量值函数，面元具有方向性，所以平面法向量为面内两切向量的矢量积，由可知 ；其中 。1,1021 yxyxzzkjirN dyrxr21;单位切向量为 ；)cos,(cs,)(2 yxyxzzn分别是 x
7、,y,z 轴与平面的法向量的夹角。，所以对于向量值函数曲面积分有：； dSznpfynpfxnpfdSnfSdpfp ,cos,cos,cos321 适用于逐片光滑的有向曲面，以及封闭光滑曲面。另外，如果把曲面面积的微分元分别投影到 oyz,ozx,oxy 面上，并把垂直投影一次记为：； ；可得：dxyzy, dxyzndzxyndzxn),cos(),cos(,cos 。 SSpS pffpfff 321有时候我们会遇到的不完全形式，即缺省某一项时。当 取正号时则为对曲面的上侧积分，或者对封闭曲面的外1,yxzn侧积分。将曲面对 xoy 轴投影，则 式可以有另一种形式 2 dxyzyxfzy
8、xfzyxfdSnfSdpf xyDxp ),()(,)(, 321这将不熟悉的曲面积分换做我们熟悉的三重积分，最终再换做二重积分，从而得到积分结果。五：格林公式与斯托克斯公式1.格林公式对于闭合曲线的第二型积分，若函数 在围线 l（单一围线或者复),(21ff合围线）围成的有界闭区域内连续可微分，则我们可以用格林公式。其中 D 是闭合曲线dxyfdyxfyxfrdpf Dll 1221,围成的闭区域。通过格林公式可以将曲线积分转换成闭区域的二重积分，从而起到化简的作用。值得强调的是函数必须在指定区域连续可微分，否则就要用补围线的方法，把函数不满足条件的点剔除，计算时再将其补上。如闫站立编的微
9、积分第二版中的一个例子：设 为不通过原点（0,0）l的简单闭曲线，求曲线积分 。可知除了原点外函数lyxdI2在围线所围区域有连续偏导数。所以需要补曲线 为),(, 22yxyxf rc足够小的圆 使 完全含在 内，则 与 构成一个复合围线。从而rrcllrc；从而利用格林公式计算第二项结rr clcl yxdyxdyxdI 222果为 0，所以 ；用极坐标可得积分结果为 。rclI 22 22.斯托克斯公式设 S 是以简单闭曲线 （自身不相交的光滑或者逐段光滑的闭曲线）为边l界的光滑或者逐片光滑的双侧曲面，并且指定的一侧与边界曲线 的方向是一致l的（符合右手定则） 。若函数 在包含 Szyx
10、fzfzyxfzyxf ,),( 321的某个（空间）区域上连续可微分，则有斯托克斯公式： dSfffzyxnnffzyxddzfdyxf ssl 321321321 ,cos,s,co或六：旋度与散度1. 曲线积分与路径无关的等价条件有：rdpfAB（1）存在闭合曲线 使得 ；（2）存在位势函数 使得l0rdpflyxu,或者 ，即 u 的导数；（ 3） 在闭合曲线所围dyfxdu21fgra fy21区域处处成立。只需满足以上条件中的一个就可以得到函数积分与路径无关。2.关于空间向量场 ，它为3321 R, zxfzfzyxfzyxf保守场的条件与上述大致相同，存在函数 ，)(u；或者在区
11、域 内有 。定义dzfydxfu321xfzfyxf312321，旋度 ， ；所以斯托克斯公式可以记为frot 321ffzyxkji。dSpnfrotdpfsl环量（循环量）即是沿 内一闭曲线的曲线积分值 ；表示在区llrdf域内某点处有一个“旋涡” ，对于旋度为 0 的向量场函数为无旋场，即保守场。3.奥-高公式设 是以光滑或逐片光滑曲面 S 围成的有界闭区域。若函数3R及其偏导数 在闭区域 上zyxfzfzyxfzyxf , 321 zfyxf321,连续，则 dxyzfyxf321 dxyfzfdyfSnf dSznpfnpfpss 321 321)( ,cos,cos,co 是 S
12、上点 P 处的外法线方向的单位向量。n3.定义向量函数的通量，从曲面 S 另一侧穿过曲面到单位法向量指向的一侧的通量即为曲面积分 。dSnpfdpfsS所以把向量场 穿过封闭曲面 S 的通量与 S 包围的立体体积 之比f v称为通量密度。当 S 包围的立体收缩到点 M 时的极限Sdpfv1，称为向量场在点 M 的散度。Mfivf记 成S0limt在直角坐标系中，根据奥-高公式和三重积分的中值定理可得：；奥-高公式向量 03213210li MMv zfyxfzfyxftfdi 形式为： 。SddpiS根据定义，散度为通量变化率，通量大于 0 表示从曲面 S 流出的量大于流入的。如果通量改变为 0， ，则向量场 为无源场，其满0sSdpff足的充要条件是 。pfdiv,七：总结算符 kzjyix所以，旋度 ；散度 ；312ffyxji zfyxf321以上是关于积分的简单总结，主要是由于目前大三的课程用到积分很多，大二的课程应该也是。这里只是做了一个小结，供大家复习方法之用，所以没有例题。参考文献1 闫站立 .微积分.下册,第二版z.北京：高等教育出版社，2007.11
